常態分佈函數範例問題及討論
常態分佈，又稱高斯分佈，是統計學和資料分析中最基本的機率分佈之一。此分佈的特徵是圍繞著平均值對稱的鐘形曲線，資料離散程度反映了平均值周圍的標準差。常態分佈是推論統計學中許多概念的基礎，並廣泛應用於經濟學、心理學和社會科學等各個領域。
本文將討論一些例題及其解法，以便更好地理解常態分佈函數。
常態分佈的基本概念
常態分佈由兩個主要參數來描述：
1. 平均值 (μ)：資料集的平均值。
2. 標準差（σ）：衡量資料圍繞平均值的離散程度。
常態分佈的機率密度函數為：
\[ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{ -\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} } \]
以下是使用常態分佈解決問題的一些基本步驟：
1. 決定 Z 值：Z 值衡量資料與平均數之間的距離，以標準差為單位，計算公式為：
\[ Z = \frac{X – \mu}{\sigma} \]
2. 使用 Z 表：Z 表或標準常態分佈表用於尋找低於或高於某個 Z 值的資料的機率或百分比。
常態分佈範例問題及討論
問題 1
一個班級的數學考試平均分為 70 分，標準差為 10 分。如果考試成績呈現常態分佈，那麼有多少百分比的學生得分超過 85 分？
討論：
1. 決定 Z 分數：首先，計算 X = 85 的 Z 分數。
\[ Z = \frac{X – \mu}{\sigma} = \frac{85 – 70}{10} = 1.5 \]
2. 檢視 Z 值表：我們從 Z 值表中找出 Z = 1.5 的機率值。 Z = 1.5 的機率值為 0.9332。這意味著 93.32% 的值小於 Z = 1.5。
3. 計算百分比：因為我們需要得分超過 85 分的學生的百分比，所以我們計算 1 – 0.9332 = 0.0668。
因此，6.68% 的學生得分超過 85 分。
問題 2
某國成年男性的身高服從常態分佈，平均值為175厘米，標準差為6厘米。求身高在170公分到180公分之間的男性所佔的百分比。
討論：
1. 求 170 公分的 Z 分數：
\[ Z_{170} = \frac{170 – 175}{6} = – \frac{5}{6} \approx -0.83 \]
2. 求 180 公分的 Z 分數：
\[ Z_{180} = \frac{180 – 175}{6} \approx 0.83 \]
3. 查看表格 Z：
– Z = -0.83 的機率為 0.2033。
– 當 Z = 0.83 時，概率為 0.7967。
4. 計算百分比：
身高在 170 公分到 180 公分之間的機率為 0.7967 – 0.2033 = 0.5934。
– 因此，59.34% 的男性身高在 170 公分到 180 公分之間。
問題 3
智商測驗採常態分佈，平均值為 100，標準差為 15。哪一個分數位於第 85 百分位？
討論：
1. 求第 85 個百分位數的 Z 值：從 Z 表或使用計算機，第 85 個百分位數對應的 Z 值為 1.04。
2. 計算智商分數：
\[ X = Z\sigma + \mu \]
\[ X = 1.04 \times 15 + 100 \]
\[ X = 15.6 + 100 \]
\[ X = 115.6 \]
因此，智商分數處於第 85 百分位的人大約是 115.6。
問題 4
已知高中生認知測驗成績的平均值分為 65 分，標準差為 12 分，那麼第 25 百分位數的分數是多少？
討論：
1. 求第 25 個百分位數的 Z 值：從 Z 表或使用計算器，第 25 個百分位數的 Z 值約為 -0.674。
2. 計算考試分數：
\[ X = Z\sigma + \mu \]
\[ X = -0.674 \times 12 + 65 \]
\[ X = -8.088 + 65 \]
\[ X \approx 56.912 \]
因此，第 25 個百分位數的值約為 56.912。
結論
常態分佈是統計學中的重要概念，它使我們能夠從機率的角度分析和理解數據。運用常態分佈方法，我們可以計算百分比，根據百分位數確定具體數值，並將資料與平均值進行比較。
運用常態分佈解決問題不僅對考試和學術研究有用，而且在心理學、商業和社會科學等許多實際領域也有廣泛的應用。透過上述範例和討論，我們希望您能更好地理解常態分佈函數及其在不同情境中的應用。
