统计学中的曼-惠特尼检验
统计学是数学的一个分支，主要研究数据的收集、分析、解释和呈现。统计学被广泛应用于各个领域，以辅助数据驱动的决策。统计学中常用的一种方法是曼-惠特尼U检验（也称为曼-惠特尼U检验或威尔科克森秩和检验）。这是一种非参数检验方法，用于判断两个非配对组之间是否存在显著差异。
曼-惠特尼检验简介
Mann-Whitney检验由Henry Mann和Donald Whitney于1947年提出，作为t检验的一种非参数替代方法。该方法无需假设数据服从正态分布。因此，当数据不服从正态分布或样本量过小而无法验证正态性假设时，Mann-Whitney检验尤为有用。
曼-惠特尼检验的基本原理
Mann-Whitney U 检验用于比较两组数据的中位数。其基本原理是：
1. 排序观察：将两组数据合并，并按从小到大的顺序排序。如果存在相同值，则每个观察值按其对应排名的平均值排序。
2. 统计检验计算：统计检验值（U）是根据各组秩的总和计算得出的。计算方法有两种：一种是从第一组开始，另一种是从第二组开始。
U 的通用公式为：
\[
U_1 = n_1 \times n_2 + \frac{n_1 \times (n_1 + 1)}{2} – R_1
\]
atau
\[
U_2 = n_1 \times n_2 + \frac{n_2 \times (n_2 + 1)}{2} – R_2
\]
di mana:
– \(n_1\) 和 \(n_2\) 分别是每个组中的观测值数量，
– \(R_1\) 和 \(R_2\) 分别是每个组中的排名数。
3. 显著性检验：进行显著性检验是为了确定 p 值。在大样本量的情况下，U 分布可以用正态分布近似。
曼-惠特尼检验的假设
虽然曼-惠特尼检验是一种非参数检验，不需要假设正态分布，但为了保证结果的有效性，必须满足几个相关的假设：
1. 独立性：两组中的每一次观察都必须是相互独立的。
2. 序数尺度或区间尺度：数据必须采用序数尺度或区间尺度。这意味着数据可以排序并包含排名信息。
3. 分布范围：两组的分布必须具有相同的形状（尽管中位数可能不同）。
进行曼-惠特尼检验的步骤
以下是进行曼-惠特尼检验通常遵循的步骤：
1. 合并并排序数据：将两组数据合并，并进行整体排序。排名根据顺序分配，并根据平均值进行排名调整。
2. 计算排名数量：计算每个组的排名数量。
3. 确定统计量的 U 值：使用前面解释的公式计算两组的 U 值。
4. 确定临界值或 p 值：将获得的 U 值与 U 分布表中的临界值进行比较（或计算 p 值），以确定组之间的差异是否具有统计学意义。
例如，假设我们有两组数据 A 和 B。这些数据可能代表针对某种特定疾病的两种不同疗法，我们想知道哪种疗法更有效。
实践示例
假设我们有两个治疗小组：
– 疗法 A：[85, 90, 88, 75, 91]
– 疗法 B：[80, 78, 95, 87, 92]
1. 数据合并与排序：
– 综合：[85, 90, 88, 75, 91, 80, 78, 95, 87, 92]
– 排名：[75(1), 78(2), 80(3), 85(4), 87(5), 88(6), 90(7), 91(8), 92(9), 95(10)]
2. 计算排名数量：
– 治疗A级评级数量：4 + 7 + 6 + 1 + 8 = 26
– B级治疗评级数量：3 + 2 + 10 + 5 + 9 = 29
3. 计算U值：
\[
U_A = n_1 \times n_2 + \frac{n_1 \times (n_1 + 1)}{2} – R_A = 5 \times 5 + \frac{5 \times (5 + 1)}{2} – 26 = 25 + 15 – 26 = 14
\]
\[
U_B = n_1 \times n_2 + \frac{n_2 \times (n_2 + 1)}{2} – R_B = 5 \times 5 + \frac{5 \times (5 + 1)}{2} – 29 = 25 + 15 – 29 = 11
\]
选择较小的 U 值，即 U = 11。
4. 确定重要性：
将得到的 U 值与 Mann-Whitney 分布表中的临界 U 值进行比较，或者计算 p 值。如果 U 值小于临界值或 p 值小于显著性水平 α（例如 0,05），则拒绝原假设，并得出结论：两组之间存在显著差异。
曼-惠特尼检验的优点和局限性
优点：
1. 非参数方法：不需要假设正态分布。
2. 灵活性：可用于处理有序尺度数据或存在异常值的数据。
3. 简单有效：易于计算和解释。
主旨：
1. 效率损失：在正态分布中，t 检验效率更高。
2. 假设分布形式相同：本检验假设两组数据具有相同的分布形式。
3. 小样本量的界限：渐近分布在非常小的样本上可能不太准确。
结论
Mann-Whitney U 检验是一种强大而灵活的非参数检验工具，用于识别两个非配对组之间的差异。通过理解其基本原理和实施步骤，我们可以将此检验应用于各个研究领域的多种应用场景。尽管它存在一些局限性，但在某些情况下，其优势使其成为统计学中一种非常有价值的方法。
