卡方独立性检验
卡方（χ²）独立性检验是一种非参数统计方法，常用于判断两个分类变量（名义变量或顺序变量）是否相关。在许多社会、健康、教育、市场营销和政策分析研究中，研究人员经常会遇到分类数据，例如性别（男/女）、吸烟状况（是/否）、教育程度（高中/大专/本科）、品牌偏好（A/B/C）等等。卡方独立性检验有助于回答一个核心问题：一个变量的分布在其他变量类别中是否存在显著差异？
基本概念：什么是独立性？
如果第一个变量的类别信息不能帮助预测第二个变量的类别，则称这两个变量是独立的。例如，如果“性别”和“饮料偏好”是独立的，那么男性和女性群体中饮料偏好的比例将相对接近。相反，如果这两个比例存在显著差异，则表明这两个变量不是独立的（相关的）。
卡方独立性检验的工作原理是将观测频率（我们看到的实际数据）与预期频率（如果两个变量真正独立，“应该出现”的频率）进行比较。观测值与预期值之间的差异越大，χ² 统计量的值就越大，表明变量之间存在关联的证据就越强。
列联表
本测试的数据以列联表的形式呈现，该表显示了两个变量分类组合的频率。例如，我们来考察吸烟状况（是/否）与慢性咳嗽发生率（是/否）之间的关系。我们将创建一个 2x2 列联表，其中包含每种组合的受访者人数。
一般来说，表格可以是 2×2、2×3、3×4 等等，具体取决于每个变量的类别数。只要满足某些条件，卡方独立性检验可以用于任意大小的表格。
假设检验
卡方独立性检验的假设是：
– H0（零假设）：两个变量是独立的（没有关系/关联）。
– H1（备择假设）：这两个变量不是独立的（存在关系/关联）。
该检验的目的是确定数据是否提供了足够的证据来拒绝原假设 H0。
卡方统计公式
卡方检验统计量的计算公式如下：
\[
\chi^2 = \sum \frac{(O_{ij} – E_{ij})^2}{E_{ij}}
\]
凯特兰甘（Keterangan）：
– \(O_{ij}\) 是单元格第 i 行第 j 列的观测频率。
– \(E_{ij}\) 是第 i 行第 j 列单元格中的期望频率。
预期频数由行总计和列总计计算得出：
\[
E_{ij} = \frac{(\text{第 i 行总计}) \times (\text{第 j 列总计})}{\text{总计}}
\]
该公式反映了如果每一行和每一列中的分布互不影响（相互独立）时，预期会发生什么情况。
自由度
该检验的自由度（df）由表格的大小决定：
\[
自由度 = (r – 1)(c – 1)
\]
和：
– \(r\) = 行数（第一个变量类别）
– \(c\) = 列数（第二个变量类别）
自由度会影响用于确定 p 值的卡方分布的形状。
执行卡方独立性检验的步骤
以下是执行此测试的一般步骤：
1. 将数据整理成列联表。
请确保数据以频数形式呈现，而不是百分比形式。
2. 使用公式 \(E_{ij}\) 计算每个单元格的期望频率。
3. 对所有单元格的 \((OE)^2/E\) 分量求和，计算 χ² 的值。
4. 使用 \((r-1)(c-1)\) 确定 df。
5. 根据自由度为 df 的卡方分布计算 p 值（或将计算出的 χ² 与显著性水平 α（例如 0,05）下的 χ² 表进行比较）。
6. 做出决定。
– 如果 p 值 ≤ α → 拒绝 H0 → 存在关系/依赖性。
– 如果 p 值 > α → 无法拒绝 H0 → 没有证据表明存在关系。
7. 实质解释。
请解释该关系在研究背景下的意义，而不仅仅是“显著”或“不显著”。
解释示例（不包含详细计算）
假设一位研究者正在评估“学习方法”（独立学习/小组学习）与“毕业”（通过/未通过）之间的关系。进行卡方检验后，p值为0,02。在α=0,05的显著性水平下，结论是拒绝原假设H0，表明学习方法与毕业之间存在关联。接下来，研究者需要确定哪些因素对差异的贡献最大（例如，小组学习是否提高了毕业率）。在实践中，可以通过考察标准化残差或效应量来扩展分析。
重要术语和假设
虽然卡方检验是非参数检验，但它有几个重要的要求：
1. 数据以计数（频率）的形式呈现，每个对象只能属于一个类别（互斥）。
2. 独立观察，意味着一个受访者不能被多次计数，并且观察之间没有配对关系。
3. 期望频数足够大。一个常用的经验法则是：大多数 \(E_{ij}\) 值应 ≥ 5。如果期望值较小的单元格过多，则卡方检验结果可能无效。
对于频数较小的 2×2 列联表，常用的替代方法是 Fisher 精确检验。对于配对数据（例如，同一受访者的前后对比数据），则可使用 McNemar 检验。
效应量：不仅仅是显著
结果显著并不一定意味着存在“强”关系。因此，通常建议报告效应量，例如：
– 2×2 表的 Phi (φ)
– Cramér 的 V 用于较大的桌子
克莱默V系数的取值范围为0到1，数值越大表示关联性越强。报告效应量有助于读者理解关系的强度，而不仅仅是关系的存在。
优势与局限性
优点：
– 易于处理分类数据。
不需要假设正态性。
– 适用于多个研究领域。
主旨：
对样本量敏感：大样本量可能使微小的差异变得“显著”。
– 不直接显示关系的方向，而只显示是否存在关联。
– 如果许多细胞的预期频率都很小，那就存在问题。
– 解释必须有其他分析支持（例如，查看比例或残差）。
关闭
卡方独立性检验是评估两个分类变量之间是否存在关系的重要工具。通过构建列联表、计算期望频数并使用 χ² 统计量将其与观测频数进行比较，研究人员可以客观地检验独立性假设。然而，为了进行稳健的分析，研究人员不应仅仅局限于判断是否存在显著效应；他们还应报告效应量、检验期望频数要求，并将研究结果与研究的实质性背景联系起来。因此，卡方检验不仅仅是一种数学程序，更是科学推理的一部分，有助于理解分类数据中的关系模式。
