努力和精力

如果你用力推动桌子上的书，直到它移动，你就对书做了功。如果一个物体因为受到重力作用而落到地球表面，那么重力就对物体做了功。反之，如果你使出浑身解数推动一个物体，直到汗流浃背，但物体纹丝不动，那么你并没有对物体做功。在日常生活中，人们可能会说你做了功或者很努力地推动了物体，但根据物理学，你并没有对物体做功，因为物体并没有发生位移。

对物体做功的力可以是恒力（力的大小和方向始终保持不变），也可以是变力（力的大小和方向始终发生变化）。例如，当物体位于地球表面附近时，其所受的引力就是一个大小和方向都恒定的力。当物体在地球表面附近自由落体时，由于作用于物体的引力大小和方向恒定，因此物体的自由落体加速度的大小和方向也保持不变。另一个例子是弹簧的弹力，它的大小和方向虽然保持不变，但作用力却在不断变化。拉伸弹簧时，弹簧长度增加越多，拉伸的力就越大。弹簧所受的力的大小随着弹簧的拉伸而变化。另一个例子是火箭进入太空或返回地球表面。当火箭运动时，作用于火箭的引力大小与火箭到地心的距离的平方成反比。

从数学角度来说，恒力对物体所做的功定义为位移与力的乘积，或者说是力在物体位移方向上的分量的乘积。

非恒力（例如弹簧）所做的功不能用恒力做功的公式来计算。如果弹簧被拉伸，随着拉伸量的增加，拉伸弹簧所需的拉力也会增大。同样，如果弹簧被压缩，弹簧越紧，所需的推力也越大。只要弹簧处于压缩或拉伸状态，其弹力就会从 0 (x = 0) 变化到最大值 (F = kx)，因此弹力的计算需要使用平均值。

问题示例

1. 2018年全国统考题

质量为 m 的物块位于光滑的水平面上。如图所示，物块静止于位置 (1)，并在时间间隔 t 内受到力 F 的拉动而移动到位置 (2)。

通过改变质量和力，得到以下数据：

根据上表，物体从大到小所做的功依次为……

讨论

我们都知道：

初始速度（v₀ _） = 0

问：

Jawab：

工作公式：

W = F s ……….公式 1

GLBB 公式：

s = v _o t + 1/2 at ²

s = 1/ ^2，2

代入公式 1

W = F ( 1/2 at ² ) ……….公式 2

力公式：

F = ma

a = F /米

代入公式 2

W = 0,5 F (F/m) t ²

W = 0,5 (F ² /m) t ² ……….公式 3

使用公式 3 计算努力量。

1) W = 0,5 (F ² /m) t ² = 0,5 (3 ² /12)(4 ² ) = (0,5)(9/12)(16) = (9/12) 8 = 6

2) W = 0,5 (F ² /m) t ² = 0,5 (4 ² /16)(3 ² ) = (0,5)(16/16)(9) = (1) 4,5 = 4,5

3) W = 0,5 (F ² /m) t ² = 0,5 (5 ² /20)(2 ² ) = (0,5)(25/20)(4) = (1,25) 2 = 2,5

4) W = 0,5 (F ² /m) t ² = 0,5 (6 ² /24)(1 ² ) = (0,5)(36/24)(1) = (1,5) 0,5 = 0,75

从大到小，这些物体所做的功分别为 1、2、3、4。

2. SOAL UN SMA/MA 2017

一个质量为 6 kg 的箱子以 8 m/s 的速度在一个粗糙的斜面上滑动，^斜面与水平面的倾角为α 。如果箱子受到的摩擦力为 5 N，且 tan α = 3/4，那么要使箱子在斜面底部停止滑动，必须施加多大的力 F 呢？

A. 15 北

B. 25 北

C. 45 北

D. 55 北

东 69,4 北

讨论

已知：

箱子的质量 (m) = 6 kg

重力加速度 (g) = 10 m/ ^s²

箱子的初始速度 (v₀ ₎ = 8 m/s

箱子的最终速度（v _t ）= 0 米/秒（箱子必须在到达斜面底部之前停止）

摩擦力（F_{_摩擦}）= 5 N

切线角 α = 前边 / 底边 = 3/4

斜边 = 5 米

问： F

回答 ：

机械功-能定理：

非保守力所做的功 = 机械能的变化

非保守力所做的功 = 动能和势能的变化。

存在两种非保守力，即动摩擦力和 F 力。

动摩擦力对箱子所做的功：

W = -(F _ges )(s) = -(5)(5) = -25

为负值，因为摩擦力的方向与箱子的运动方向相反。

力 F 所做的功：

W = (F)(s) = (F)(5) = -5F

结果为负，因为力 F 的方向与箱子的运动方向相反。

动能变化：

Δ EK = 1/2 m (v _t ² – v _o ² ) = 1/2 (6)(0 ² – 8 ² ) = (3)(0-64) = (3)(-64) = -192

重力势能的变化：

ΔEP = mgh = (6)(10)(-3) = -180

h 为负值，因为最终位置低于初始位置。

机械功-能定理：

W _nc = Δ EM

W _ges + W _F = Δ EP + Δ EK

-25 – 5F = -180 -192

-25 – 5F = -372

-5F = -372 + 25

-5°F = -347

F = -347 / -5

F = 69,4 牛顿

正确答案是 E。

3. SOAL UN SMA/MA 2017

如图所示，一个质量为 10 kg 的物块从 A 点沿 B 点下滑，最终停在 C 点。物块与粗糙表面之间的动摩擦系数为 0,2，因此物块运动路径 ABC 的长度为……

A. 250厘米

B. 200 厘米

C. 150厘米

直径 100 厘米

E. 80 厘米

讨论

已知：

物块质量 (m) = 10 kg

重力加速度 (g) = 10 m/ ^s²

物体的重量 (w) = mg = (10 kg)(10 m/s ² ) = 100 牛顿

斜面高度 (h) = 30 厘米 = 0,3 米

斜面长度 (s) = 50 厘米 = 0,5 米

动摩擦系数（μk _）= 0,2

动摩擦力 (f _k ) = μ _k N = μ _k w = (0,2)(100 N) = 20 N

问题：路径ABC的长度

回答 ：

考虑物体从AB点出发的运动。

A点的初始机械能 = 重力势能 = mgh = (10)(10)(0,3) = (10)(3) = 30 焦耳

B点的最终机械能 = 动能

机械能守恒定律：

初始机械能 = 最终机械能

30焦耳 = 动能

因此，B点的动能为30焦耳。

考虑物体从 BC 点出发的运动。

功-机械能定理指出，非保守力所做的功等于物体机械能的变化。机械能的变化 = 末机械能 – 初机械能。数学表达式为：

W _NC = Δ EM

W _NC = EM ₂ – EM ₁

物体位于平面上，因此重力势能为零。机械能（EM）= 动能（EK）。

初始动能（EK1 _）= B点的动能 = 30焦耳

最终动能（EK ₂ ）= C 点的动能 = 0（滑块停止）。

BC 的非保守力所做的功就是动摩擦力所做的功。

W _NC = – f _k s = – 20 s

所以

W _NC = EK ₂ – EK ₁

– 20 秒= 0 – 30

– 20 秒 = – 30

20 秒 = 30

s = 30/20 = 3/2 = 1,5 米 = 1,5 x 100 厘米 = 150 厘米。

轨道 ABC 的长度 = 50 厘米 + 150 厘米 = 200 厘米。

正确答案是 B。

4. 2014/2015学年高中/硕士物理全国统考试题第8题

请看下图！一个物块在一个粗糙的斜面上滑动，斜面与水平面的摩擦系数为 0,4。如果g = 10 m/ ^s²，那么物块到达斜面底部时的速度是多少？

一个2√5毫秒^-1

B. 2√7 ms ^-1

C. 2√14 ms ^-1

D. 2√19 ms ^-1

E. 2√23 ms ^-1

讨论

看着下图

已知：

初始高度（h _{_o} ）= 6 米

最终高度（h_{_t} ）= 0 米

初始速度（v₀ _）= 0 （初始时物体静止）

动摩擦系数（μk ）= 0,4（滑块滑动_，因此是动摩擦系数，而不是静摩擦系数）

重力加速度 (g) = 10 m ^/s²

cos θ = 底部/斜角 = 8/10

垂直方向的重力分量 = w _y = w cos θ = mg cos θ = m (10) (8/10) = m (10)(4/5) = m (40/5) = 8 m

法向力 = N = w _y = 8 m

动摩擦力 = f _k = μ _k N = μ _k w _y = (0,4)(8 m) = 3,2 m

问题：末速度（v _t ）

回答 ：

动能定理指出，非保守力对物体所做的功等于物体机械能的变化。动摩擦力就是非保守力的一个例子。

W_nc = ΔEM

W _nc = Δ EK + Δ EP

信息：

W _nc = 非保守力所做的功，Δ EM = 机械能的变化，Δ EK = 动能的变化，Δ EP = 势能的变化。

动能变化：

ΔEK = 1/2 m (v_t² -v_o²) = 1/2 m (v_t² – 0) = 1/2 mv_t²

势能变化：

ΔEP = mg (h _t – h _o ) = m (10)(0-6) = m (10)(-6) = – 60 m

动摩擦力所做的功：

Wnc = – f _k s = – ( 3,2 米)(10) = – 32 米

因为动摩擦力做负功，所以它是负的，动摩擦力的方向（向上）与物体位移的方向（向下）相反。

计算末速度（v _t）：

Wnc = ΔEK + ΔEP

– 32 m = 1/2 mv _t ² – 60 m

– 32 米= 米 (1/2 v _t ² – 60)

– 32 = 1/2 v _t ² – 60

– 32 + 60 = 1/2 v _t ²

28 = 1/2 v _t ²

2 (28) = v _t ²

56 = v _t ²

v _t = √4.14

v _t = 2 √14 ms ^-1

正确答案是C。

5. 2014/2015学年高中/硕士物理全国统考试题第8题

看看旁边的图片！

一个滑块沿粗糙斜面下滑，到达斜面底部时的速度为 10 ms⁻¹ ^。如果摩擦力为 2 N，g = 10 ms⁻² ^，那么 h 的值是……

A. 10米

B. 8米

C. 6米

D. 4米

东 2 米

讨论

已知：

物块质量 (m) = 1 kg

初始速度（v₀ _） = 0 （初始时物体静止）

末速度（v _t）= 10 ms ^-1

初始高度（h₀ _） = h

最终高度（h_{_t}）= 0

动摩擦力 (f _k ) = 2 N

重力加速度 (g) = 10 m ^/s²

问：身高（h）

回答 ：

动摩擦力所做的功：

Wnc = – f _k s = – (2 )(15) = – 30

因为动摩擦力做负功，所以它是负的，动摩擦力的方向（向上）与物体位移的方向（向下）相反。

动能变化：

ΔEK = 1/2 m (v_t² -v_o²) = 1/2 (1)(10² – 0) = 1/2 (10²) = 1/2 (100）= 50

势能变化：

ΔEP = mg(ht _– ho ₎ = (1)(10)(0-h) = (10)(-h) = -10 h

机械功-能定理的公式：

Wnc = ΔEK + ΔEP

– 30 = 50 – 10 小时

10 小时 = 50 + 30

10 小时 = 80

小时=80/10

h = 8 米

正确答案是 B。