Àpẹẹrẹ Àwọn Ìbéèrè àti Ìjíròrò nípa Òfin Gauss
Òfin Gauss jẹ́ òpó pàtàkì nínú ìmọ̀ ẹ̀rọ itanna. Ó pèsè ọ̀nà tó gbéṣẹ́ láti ṣírò pápá iná mànàmáná tí ìpínkiri agbára iná mànàmáná ń mú jáde. Nínú àpilẹ̀kọ yìí, a ó jíròrò ọ̀pọ̀lọpọ̀ àpẹẹrẹ ìṣòro àti láti jíròrò àwọn ìlò Òfin Gauss ní onírúurú ipò.
Ìpìlẹ̀ Ẹ̀kọ́ Òfin Gauss
Kí a tó bẹ̀rẹ̀ pẹ̀lú àwọn ìṣòro àpẹẹrẹ, ẹ jẹ́ kí a ṣe àtúnyẹ̀wò èrò ìpìlẹ̀ ti Òfin Gauss. Òfin Gauss sọ pé àpapọ̀ ìṣàn iná mànàmáná \( \Phi_E \) tí ó ń jáde láti ojú tí a ti pa jẹ́ ìbámu pẹ̀lú àpapọ̀ ìsanwó \( q_{in} \ ) tí ojú ilẹ̀ náà ká. Ní ti ìṣirò, a ṣe àfihàn Òfin Gauss gẹ́gẹ́ bí:
\[ \Phi_E = \oint_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = \frac{q_{in}}{\epsilon_0} \]
iṣẹ́ mi:
– \( \Phi_E \) ni ìṣàn iná mànàmáná.
– \( \mathbf{E} \) ni aaye ina.
– \( \mathbf{A} \) ni fekito agbegbe oju ilẹ.
– \( q_{in} \) ni agbara ti o wa ninu oju ti a ti pa.
– \( \epsilon_0 \) ni ìyọ̀ǹda ìgbàfẹ́ (\( \epsilon_0 \approx 8.85 \times 10^{-12} \, \text{C}^2/(\text{N} \cdot \text{m}^2) \)).
Àpẹẹrẹ Ìbéèrè 1: Pápá Iná Mọ̀nàmọ́ná nínú Ayípo Atọ́nà Oníhò
Ìbéèrè:
O ni aaye idari oniho ti o ni radius ita \( R \) ati idiyele lapapọ \( Q \). Pinnu aaye ina ti o wa ninu itọsọna oniho ti o wa ni iho naa.
Ìjíròrò:
– Ìpinnu ojú ilẹ̀ Gaussian:
Gba pé a yan ojú ilẹ̀ Gaussian onígun mẹ́rin tí ó ní radius \( r \) nínú ihò ìdarí (níbi tí \( r < R \)).
– Iṣiro Iṣiro ati Gbigba agbara:
Nítorí pé inú ìsàlẹ̀ oníṣẹ́ náà jẹ́ ihò òfo, agbára tí ó wà nínú ojú Gaussian jẹ́ òdo (\( q_{in} = 0 \)).
– Lilo Ofin Gauss:
Gẹ́gẹ́ bí òfin Gauss:
\[
\oint_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = \frac{q_{in}}{\epsilon_0}
\]
Nítorí \( q_{in} = 0 \), nígbà náà ìṣàn iná mànàmáná náà jẹ́ òdo:
\[
\oint_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = 0
\]
- Ipari:
Níwọ́n ìgbà tí ìṣàn iná mànàmáná náà jẹ́ òdo, ó túmọ̀ sí wípé pápá iná mànàmáná \( \mathbf{E} \) ní gbogbo ibi tí ó wà nínú ihò náà jẹ́ òdo pẹ̀lú.
Nítorí náà, pápá iná mànàmáná tí ó wà nínú ihò ìdarí ni \( 0 \, \text{N/C} \).
Àpẹẹrẹ 2: Pápá Inánáákì nípasẹ̀ Àwo Àìlópin
Ìbéèrè:
Ṣírò pápá iná mànàmáná tó wà nítòsí àwo irin aláìlópin tó ní ìwọ̀n agbára ìgbóná ojú ilẹ̀ \( \sigma \).
Ìjíròrò:
– Ìpinnu ojú ilẹ̀ Gaussian:
Yan ojú ilẹ̀ Gaussian onígun mẹ́rin tí a pè ní “Gaussian pillbox” pẹ̀lú àwọn ojú ilẹ̀ tí ó wà lókè àti ní ìsàlẹ̀ àwo náà, ọ̀kọ̀ọ̀kan pẹ̀lú agbègbè \(A \).
– Iṣiro Iṣiro ati Gbigba agbara:
Àpapọ̀ ìṣàn iná mànàmáná láti inú àwọn ìpẹ̀kun méjèèjì ojú ilẹ̀ náà ni:
\[
\Phi_E = 2EA
\]
níbi tí \( E \) jẹ́ pápá iná mànàmáná ní ẹ̀gbẹ́ méjèèjì àwo náà. Àròpọ̀ agbára ìgbóná \( q_{in} \) tí ojú Gaussian yí ká ni:
\[
q_{in} = \sigma \cdot A
\]
– Lilo Ofin Gauss:
Gẹ́gẹ́ bí òfin Gauss:
\[
\oint_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = \frac{q_{in}}{\epsilon_0}
\]
Nítorí náà:
\[
2EA = \frac{\sigma A}{\epsilon_0}
\]
Nípa ṣíṣe ìrọ̀rùn:
\[
E = \frac{\sigma}{2\epsilon_0}
\]
- Ipari:
Aaye ina ti o wa nitosi awo irin ailopin ni:
\[
E = \frac{\sigma}{2\epsilon_0} \, \text{(N/C)}
\]
Àpẹẹrẹ 3: Pápá Iná Mọ̀nàmọ́ná ní àyíká Àkójọpọ̀ Ibùdó
Ìbéèrè:
Ṣírò pápá iná mànàmáná ní ìjìnnà \( r \) láti ibi tí a ti ń gba agbára \( q \).
Ìjíròrò:
– Ìpinnu ojú ilẹ̀ Gaussian:
Yan ojú ilẹ̀ Gaussian oníyípo ti radius \( r \) ti agbara ojuami \( q \).
– Iṣiro Iṣiro ati Gbigba agbara:
Àpapọ̀ ìṣàn iná mànàmáná tí ó ń jáde kúrò ní ojú ilẹ̀ Gaussian ni:
\[
\Phi_E = E \cdot 4\pi r^2
\]
Àpapọ̀ owó ìsanwó \( q_{in} \) tí ojú Gaussian yí ká ni owó ìsanwó \( q \).
– Lilo Ofin Gauss:
Gẹ́gẹ́ bí òfin Gauss:
\[
\oint_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = \frac{q_{in}}{\epsilon_0}
\]
Nítorí náà:
\[
E \cdot 4\pi r^2 = \frac{q}{\epsilon_0}
\]
Nípa ṣíṣe ìrọ̀rùn:
\[
E = \frac{q}{4\pi \epsilon_0 r^2}
\]
- Ipari:
Pápá iná mànàmáná ní ìjìnnà \( r \) láti ibi tí a ti ń gba agbára \( q \) ni:
\[
E = \frac{q}{4\pi \epsilon_0 r^2} \, \text{(N/C)}
\]
Àpẹẹrẹ 4: Pápá Iná Mọ̀nàmọ́ná Nínú àti Òde Sphere kan tí ó ní agbára ìṣiṣẹ́ kan náà
Ìbéèrè:
Sẹ́ẹ̀lì tó lágbára ti rédíọ̀mù \( R \) ní àpapọ̀ agbára \( Q \) tí a pín ní ọ̀nà kan náà. Ṣírò pápá iná mànàmáná ní ojú kan nínú ṣẹ́ẹ̀lì náà (\( r < R \)) àti níta ṣẹ́ẹ̀lì náà (\( r > R \)).
Ìjíròrò:
Fún \( r < R \):
– Ìpinnu ojú ilẹ̀ Gaussian:
Yan ojú ilẹ̀ Gaussian onígun mẹ́rin pẹ̀lú radius \( r \) nínú àlàfo líle náà.
– Iṣiro fifuye:
Níwọ́n ìgbà tí a pín owó ìdíyelé náà ní ọ̀nà kan náà, owó ìdíyelé náà láàrín rédíọ̀sì \( r \) ni:
\[
q_{in} = \rho \cdot \frac{4}{3}\pi r^3
\]
ibi ti \( \rho = \frac{Q}{\frac{4}{3}\pi R^3} \).
\[
q_{in} = \frac{Q}{\frac{4}{3}\pi R^3} \cdot \frac{4}{3}\pi r^3 = Q \left(\frac{r^3}{R^3}\ọtun)
\]
– Lilo Ofin Gauss:
\[
\oint_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = \frac{q_{in}}{\epsilon_0}
\]
Nítorí náà:
\[
E \cdot 4\pi r^2 = \frac{Q \left(\frac{r^3}{R^3}\right)}{\epsilon_0}
\]
Nípa ṣíṣe ìrọ̀rùn:
\[
E = \frac{Q r}{4\pi \epsilon_0 R^3}
\]
Nítorí náà, pápá iná mànàmáná tó wà nínú sílífù náà (\( r < R \)) ni: \[ E = \frac{Q r}{4\pi \epsilon_0 R^3} \] Fún \( r > R \):
– Ìpinnu ojú ilẹ̀ Gaussian:
Yan ojú ilẹ̀ Gaussian onígun mẹ́rin pẹ̀lú radius \( r \) níta àyíká onígun mẹ́rin náà.
– Iṣiro fifuye:
Àpapọ̀ agbára ìgbówó lórí ojú ilẹ̀ Gaussian ni àpapọ̀ agbára ìgbówó lórí ilẹ̀ \(Q \).
– Lilo Ofin Gauss:
\[
\oint_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = \frac{q_{in}}{\epsilon_0}
\]
Nítorí náà:
\[
E \cdot 4\pi r^2 = \frac{Q}{\epsilon_0}
\]
Nípa ṣíṣe ìrọ̀rùn:
\[
E = \frac{Q}{4\pi \epsilon_0 r^2}
\]
Nítorí náà, pápá iná mànàmáná tí ó wà níta sàlàyé (\( r > R \)) ni:
\[
E = \frac{Q}{4\pi \epsilon_0 r^2}
\]
Ipari
Òfin Gauss pèsè irinṣẹ́ tó lágbára fún ṣíṣàyẹ̀wò àwọn pápá iná mànàmáná ní onírúurú ipò. Nípa yíyan ojú ilẹ̀ Gaussian tó yẹ àti lílo àwọn ìlànà ìpìlẹ̀ rẹ̀, a lè ṣírò ìpínkiri pápá iná mànàmáná dáadáa. Nípasẹ̀ àwọn àpẹẹrẹ tó wà lókè yìí, a ti rí ìlò òfin Gauss ní àwọn ipò bíi pápá iná mànàmáná nínú àyíká onígun mẹ́rin, àwo irin tí kò lópin, agbára ìdarí, àti àyíká tí ó ní agbára ìdarí kan náà. Òye àti ìṣe déédéé yóò rí i dájú pé òfin Gauss lo òfin dáadáa nínú onírúurú ohun èlò electromagnetism.
