Phương trình này được gọi là phương trình Poiseuille vì nó được phát hiện bởi Jean Louis Marie Poiseuille (1799-1869). Như đã giải thích, mọi chất lỏng đều có thể được coi là chất lỏng lý tưởng. Chất lỏng lý tưởng không có độ nhớt. Nếu ta tưởng tượng một chất lỏng lý tưởng chảy trong một đường ống, mọi phần của chất lỏng đều chuyển động với cùng một tốc độ (v). Không giống như chất lỏng lý tưởng, chất lỏng thực, hay chất lỏng mà chúng ta gặp trong cuộc sống hàng ngày, đều có độ nhớt. Vì chúng có độ nhớt, nên khi chảy trong một đường ống, ví dụ, tốc độ của mỗi phần chất lỏng sẽ khác nhau. Lớp chất lỏng ở giữa chuyển động nhanh hơn (v lớn), trong khi lớp chất lỏng bám vào thành ống không chuyển động, tức là đứng yên (v = 0). Vì vậy, từ tâm đến mép ống, mọi phần của chất lỏng đều chuyển động với tốc độ khác nhau. Để dễ hiểu hơn, hãy quan sát hình ảnh bên dưới…
Thông tin :
R = bán kính của ống/đường ống
v 1 = tốc độ dòng chảy của chất lỏng ở tâm/trục của ống
v 2 = lưu lượng chất lỏng ở khoảng cách r 2 từ mép ống
v 3 = lưu lượng chất lỏng ở khoảng cách r 3 từ mép ống
v 4 = lưu lượng chất lỏng ở khoảng cách r 4 từ mép ống
r = khoảng cách
Để đảm bảo lưu lượng của mỗi chất lỏng là như nhau, phải có sự chênh lệch áp suất ở hai đầu của bất kỳ đường ống nào mà chất lỏng chảy qua. Ở đây, chất lỏng được hiểu là các chất lỏng thực tế, chẳng hạn như nước hoặc dầu chảy qua đường ống, máu chảy qua mạch máu, v.v. Bên cạnh việc giúp chất lỏng thực tế chảy trơn tru, sự chênh lệch áp suất cũng cho phép chất lỏng chảy trong các đường ống ở các độ cao khác nhau.
Jean Louis Marie Poiseuille, một nhà khoa học người Pháp quan tâm đến các khía cạnh vật lý của sự tuần hoàn máu ở người, đã tiến hành nghiên cứu để tìm hiểu xem các yếu tố như chênh lệch áp suất, diện tích mặt cắt ngang của ống và kích thước của ống ảnh hưởng như thế nào đến vận tốc của chất lỏng thực. Kết quả thu được của Jean Louis Marie Poiseuille được gọi là phương trình Poiseuille.
Phương trình Poiseuille có thể được suy ra bằng cách sử dụng phương trình hệ số độ nhớt đã được suy ra trước đó. Chúng ta sử dụng phương trình độ nhớt vì trường hợp này tương tự, mặc dù không hoàn toàn giống nhau. Khi suy ra phương trình hệ số độ nhớt, chúng ta xem xét dòng chảy của một lớp chất lỏng thực giữa hai tấm song song, và chất lỏng có thể chuyển động do lực căng (F). Sự khác biệt là phương trình Poiseuille mà chúng ta sẽ suy ra thực sự nêu rõ các yếu tố ảnh hưởng đến dòng chảy của chất lỏng thực trong ống, và chất lỏng chảy do sự chênh lệch áp suất. Do đó, phương trình hệ số độ nhớt cần được điều chỉnh lại.
Chất lỏng có thể chảy do sự khác biệt về áp suất (chất lỏng chảy từ nơi có áp suất cao đến nơi có áp suất thấp), vì vậy ta thay thế F bằng p 1 – p 2 (p 1 > p 2 ).
Khi thiết lập phương trình cho hệ số độ nhớt, ta xét dòng chảy của một lớp chất lỏng thực giữa hai tấm song song. Mỗi phần của chất lỏng trải qua sự thay đổi vận tốc đều đặn theo khoảng cách l. Trong trường hợp này, lưu lượng chất lỏng thay đổi đều đặn từ trục của ống đến mép ống. Chất lỏng tại trục của ống chảy với tốc độ lớn hơn (v). Càng về phía mép, tốc độ chất lỏng càng giảm. Bán kính của ống = khoảng cách giữa trục của ống và mép ống = R. Khoảng cách giữa mỗi phần của chất lỏng và mép ống = r. Vì số lượng mỗi phần của chất lỏng rất lớn và khoảng cách của chúng đến mép ống cũng thay đổi, ta chỉ cần viết như sau:
v 1 = tốc độ của chất lỏng ở khoảng cách r1 từ mép ống (r1 = R)
v2 = tốc độ của chất lỏng ở khoảng cách r2 từ mép ống (r2 < r1)
v 3 = tốc độ của chất lỏng ở khoảng cách r3 từ mép ống (r3 < r2 < r1)
v 4 = tốc độ của chất lỏng ở khoảng cách r4 từ mép ống (r4 < r3 < r2 < r1)
.............................................. ..
vn = vận tốc chất lỏng ở khoảng cách rn từ mép ống (rn < …… < r4 < r3 < r2 < r1 )
Số lượng mỗi phần của chất lỏng rất lớn và chúng ta cũng không biết chính xác lượng của nó là bao nhiêu, vì vậy chỉ cần viết nó bằng ký hiệu n là đủ. Mỗi phần của chất lỏng trải qua sự thay đổi về tốc độ (v) một cách đều đặn, từ trục của ống (r1 = R) đến mép ống (rn). Từ trục của ống (r1 = R) đến mép ống (rn), tốc độ của mỗi phần chất lỏng giảm dần (v1 > v2 > v3 > v4 > …. > vn).
Từ giải thích ở trên, ta có thể thấy rằng từ R đến rn, lưu lượng chất lỏng giảm. Chiều dài của ống = L. Phương trình thu được là:
Vì chúng ta đang xem xét tốc độ (v) của dòng chảy chất lỏng, nên phương trình 2 trở thành:
Đây là phương trình biểu diễn lưu lượng chất lỏng tại khoảng cách r từ một đường ống có bán kính R. Nếu bạn cảm thấy khó hiểu khi nhìn vào hình ảnh trên... Xin lưu ý rằng chất lỏng chảy trong một đường ống, vì vậy chúng ta cần xem xét lại lưu lượng thể tích của chất lỏng.
Bên trong ống là một chất lỏng. Ví dụ, ta chia chất lỏng thành những phần rất nhỏ, mỗi phần có diện tích đơn vị dA, cách trục của ống một khoảng và có lưu lượng v. Về mặt toán học, điều này có thể được viết như sau:
dA1 = tiết diện chất lỏng 1, là khoảng cách 1 từ trục ống.
dA2 = tiết diện chất lỏng 2, là khoảng cách 2 từ trục ống.
dA3 = tiết diện chất lỏng 3, là khoảng cách 3 từ trục ống.
..................................
dA n = tiết diện chất lỏng n, là khoảng cách dA n từ trục ống.
Có rất nhiều thành phần chất lỏng nên việc viết chúng bằng ký hiệu n rất tiện lợi. Tốc độ dòng chảy thể tích của mỗi thành phần chất lỏng có thể được viết bằng công thức toán học như sau:
Mỗi phần tử chất lỏng nằm ở khoảng cách từ r = 0 đến r = R (R = bán kính của ống). Nói cách khác, khoảng cách của mỗi phần tử chất lỏng thay đổi khi đo từ trục của ống. Nếu ta sử dụng phép tính vi phân (tích phân), ta sẽ thu được phương trình cho lưu lượng thể tích của chất lỏng trong ống:
Thông tin :
Q = Ghi nợ
R = Bán kính trong của ống.
η = Hệ số độ nhớt
P1 – p2 = Hiệu áp suất giữa hai đầu ống
L = Chiều dài của ống
p 1 -p 2 /L = Độ chênh lệch áp suất (dòng chảy chất lỏng luôn theo chiều giảm áp suất)
Dựa trên phương trình Poiseuille ở trên, có vẻ như lưu lượng thể tích của chất lỏng, hay còn gọi là lưu lượng xả (Q), tỷ lệ thuận với lũy thừa bậc bốn của bán kính ống (R⁴ ) , độ chênh lệch áp suất (p₂ – p₁ / L) và tỷ lệ nghịch với độ nhớt. Nếu bán kính ống tăng lên (hệ số độ nhớt và độ chênh lệch áp suất không đổi), thì lưu lượng chất lỏng tăng lên gấp 16 lần.
Khái niệm cơ bản trong thiết kế ống dẫn, ống tiêm và các vật dụng khác sử dụng phương trình này. Tốc độ dòng chảy của chất lỏng tỷ lệ thuận với R⁴ ( R = bán kính của ống). Bán kính của ống tiêm hoặc bán kính của ống cần được tính toán cẩn thận. Ví dụ, nếu ta tăng gấp đôi bán kính của kim (r x 2), thì tốc độ dòng chảy của chất lỏng phun ra sẽ tăng lên, đồng thời lực ép của ngón tay cái cũng tăng lên 16 lần.
Phương trình Poiseuille cũng cho thấy lũy thừa bậc bốn của bán kính (r⁴ ) tỷ lệ nghịch với hiệu áp suất giữa hai đầu ống. Ví dụ, ban đầu máu chảy trong một mạch máu có bán kính trong là r. Nếu mạch máu bị thu hẹp (ví dụ, r/2 = bán kính trong của mạch máu giảm đi 2 lần), thì cần hiệu áp suất gấp 16 lần để máu chảy như trước (để lưu lượng hoặc tốc độ dòng chảy thể tích máu không đổi).
