İstatistiklerde Mann-Whitney Testi
İstatistik, verilerin toplanması, analizi, yorumlanması ve sunulmasıyla ilgilenen bir matematik dalıdır. İstatistik, veriye dayalı kararlar almak için çeşitli alanlarda kullanılır. İstatistikte sık kullanılan tekniklerden biri Mann-Whitney testidir (Mann-Whitney U testi veya Wilcoxon sıra toplamı testi olarak da bilinir). Bu, eşleştirilmemiş iki grup arasında anlamlı bir fark olup olmadığını belirlemek için kullanılan parametrik olmayan bir yöntemdir .
Mann-Whitney Testine Giriş
Mann-Whitney testi, t-testine parametrik olmayan bir alternatif olarak 1947'de Henry Mann ve Donald Whitney tarafından tanıtılmıştır. Bu yöntem normallik varsayımını gerektirmez. Bu nedenle, verilerin normal dağılıma uymadığı veya örneklem büyüklüğünün normallik varsayımını doğrulamak için çok küçük olduğu durumlarda özellikle kullanışlıdır.
Mann-Whitney Testinin Temel Prensipleri
Mann-Whitney testi, iki grubun medyanlarını karşılaştırmak için kullanılır. Temel prensibi şöyledir:
1. Sıralama Gözlemi: Her iki gruptaki tüm veriler birleştirilir ve en küçükten en büyüğe doğru sıralanır. Eğer aynı değerler varsa, her gözlem kendi sıralamasının ortalamasına göre sıralanır.
2. İstatistiksel Test Hesaplaması: İstatistiksel test değeri (U), her grup için sıralamaların toplamına göre hesaplanır. Hesaplamanın iki yolu vardır: biri birinci gruptan başlayarak, diğeri ikinci gruptan başlayarak.
– U için genel formül şöyledir:
\[
U_1 = n_1 \times n_2 + \frac{n_1 \times (n_1 + 1)}{2} – R_1
\]
veya
\[
U_2 = n_1 \times n_2 + \frac{n_2 \times (n_2 + 1)}{2} – R_2
\]
Nerede:
– \(n_1\) ve \(n_2\), her gruptaki gözlem sayısıdır,
– \(R_1\) ve \(R_2\), her gruptaki sıra sayısıdır.
3. Anlamlılık Testi: Anlamlılık testi, p-değerini belirlemek için yapılır. Büyük örneklem boyutlarında, U dağılımı normal dağılımla yaklaşık olarak ifade edilebilir.
Mann-Whitney Testindeki Varsayımlar
Mann-Whitney testi parametrik olmayan bir test olup normal dağılım varsayımını gerektirmese de, sonuçların geçerliliği için karşılanması gereken birkaç ilgili varsayım vardır:
1. Bağımsızlık: Her iki gruptaki her gözlem birbirinden bağımsız olmalıdır.
2. Sıralı veya Aralıklı Ölçek: Veriler sıralı veya aralıklı bir ölçekte olmalıdır. Bu, verilerin sıralanabilir olduğu ve sıralama bilgisi içerdiği anlamına gelir.
3. Dağılım Aralığı: Her iki grubun dağılımı aynı şekle sahip olmalıdır (medyan farklı olsa bile).
Mann-Whitney Testinin Uygulanma Aşamaları
Mann-Whitney testinin uygulanmasında genellikle izlenen adımlar şunlardır:
1. Verileri Birleştirme ve Sıralama: Her iki gruptaki verileri birleştirin ve genel olarak sıralayın. Sıralamalar, ortalama değere bağlı sıralama ayarlamalarıyla birlikte, sıralama sırasına göre atanır.
2. Sıralama Sayısını Hesaplayın: Her grup için sıralama sayısını hesaplayın.
3. İstatistiksel Değerlerin U-Değerinin Belirlenmesi: Her iki grup için de U-değerini hesaplamak üzere daha önce açıklanan formülü kullanın.
4. Kritik Değerin veya p-Değerinin Belirlenmesi: Gruplar arasındaki farkın istatistiksel olarak anlamlı olup olmadığını belirlemek için elde edilen U-değerini U-dağılım tablosundaki kritik değerle karşılaştırın (veya p-değerini hesaplayın).
Örneğin, A ve B olmak üzere iki veri kümemiz olduğunu varsayalım. Bu veriler, belirli bir hastalık için iki farklı tedavi yöntemini temsil edebilir ve biz bu tedavilerden birinin diğerinden daha etkili olup olmadığını bilmek istiyoruz.
Pratik Örnek
Diyelim ki iki terapi grubumuz var:
– Terapi A: [85, 90, 88, 75, 91]
– Terapi B: [80, 78, 95, 87, 92]
1. Verilerin Birleştirilmesi ve Sıralanması:
– Bileşik: [85, 90, 88, 75, 91, 80, 78, 95, 87, 92]
– Sıralama ve Derecelendirme: [75(1), 78(2), 80(3), 85(4), 87(5), 88(6), 90(7), 91(8), 92(9), 95(10)]
2. Sıralama Sayısının Hesaplanması:
– A sınıfı terapi değerlendirmelerinin sayısı: 4 + 7 + 6 + 1 + 8 = 26
– B tipi terapi değerlendirmelerinin sayısı: 3 + 2 + 10 + 5 + 9 = 29
3. U Değerinin Hesaplanması:
\[
U_A = n_1 \times n_2 + \frac{n_1 \times (n_1 + 1)}{2} – R_A = 5 \times 5 + \frac{5 \times (5 + 1)}{2} – 26 = 25 + 15 – 26 = 14
\]
\[
U_B = n_1 \times n_2 + \frac{n_2 \times (n_2 + 1)}{2} – R_B = 5 \times 5 + \frac{5 \times (5 + 1)}{2} – 29 = 25 + 15 – 29 = 11
\]
Daha küçük bir U değeri seçin, yani U = 11.
4. Önemin Belirlenmesi:
Elde edilen U değerini kritik U değeriyle karşılaştırın. dağıtım tablosu Mann-Whitney testini uygulayın veya p-değerini hesaplayın. Eğer U kritik değerden küçükse veya p-değeri alfa değerinden (örneğin 0,05) düşükse, hipotezi reddederiz. sıfır hipotezi ve iki grup arasında önemli bir fark olduğu sonucuna vardı.
Mann-Whitney Testinin Avantajları ve Sınırlamaları
Avantajlar:
1. Parametrik Olmayan: Normal dağılım varsayımını gerektirmez.
2. Esneklik: Veriler sıralı ölçekte olduğunda veya aykırı değerler içerdiğinde kullanılabilir.
3. Basit ve Etkili: Hesaplaması ve yorumlaması kolay.
Keterbatasan:
1. Verimlilik Kaybı: Normal dağılımda t-testi daha verimlidir.
2. Aynı Dağılım Şekli Varsayımı: Bu test, iki grup arasında aynı dağılım şeklinin olduğunu varsayar.
3. Küçük Örneklem Boyutlarına İlişkin Sınırlama: Asimptotik dağılım, çok küçük örneklemlerde daha az doğru olabilir.
Sonuç
Mann-Whitney testi, eşleştirilmemiş iki grup arasındaki farklılıkları belirlemek için güçlü ve esnek bir parametrik olmayan araçtır. Temel prensiplerini ve uygulama adımlarını anlayarak, bu testi çeşitli araştırma alanlarındaki çeşitli uygulamalarda kullanabiliriz. Bazı sınırlamaları olsa da, belirli koşullar altında sahip olduğu avantajlar onu istatistikte çok değerli bir yöntem haline getirmektedir.
