Poiseuille denklemi hakkında makale
Poiseuille denklemi Jean Louis Marie Poiseuille (1799-1869) tarafından keşfedilmiştir. Açıklandığı gibi, her akışkan ideal bir akışkan olarak kabul edilebilir. İdeal akışkanın viskozitesi yoktur. İdeal bir akışkanın bir boruda aktığını varsayarsak, akışkanın her bir parçası aynı hızda (v) hareket eder. İdeal akışkanın aksine, günlük hayatta karşılaştığımız gerçek akışkanın viskozitesi vardır. Viskozitesi olduğu için, örneğin bir boruda akarken, akışkanın her bir parçasının hızı değişir. Ortadaki akışkan tabakası daha hızlı hareket eder (yüksek v), aksine boruya yapışık akışkan tabakası hareket etmez (v = 0). Bu nedenle, borunun ortasından kenarına kadar, akışkanın her bir parçası farklı hızlarda hareket eder. Anlamanızı kolaylaştırmak için aşağıdaki resme bakın.
R = borunun/tüpün yarıçapı
v 1 = ortadaki / boru eksenindeki akışkan akış hızı
v 2 = borunun kenarından r 2 uzaklıktaki akışkan akış hızı
v 3 = borunun kenarından geçen akışkan akış hızı r 3
v 4 = borunun kenarından geçen akışkan akış hızı r 4
r = mesafe
Sıvının her bir bölümünün akış hızının aynı olması için, sıvının geçtiği borunun veya herhangi bir tüpün her iki ucunda bir basınç farkı olması gerekir. Burada sıvıdan kastedilen gerçek sıvıdır; örneğin, bir borudan akan su veya yağ, bir kan damarında akan kan vb. Basınç farkı, gerçek bir sıvının düzgün akmasına yardımcı olmanın yanı sıra, farklı yüksekliklerdeki borularda sıvıların akmasını da sağlayabilir.
Eski Fransız bilim insanı Jean Louis Marie Poiseuille, insan kan dolaşımının fiziksel yönleriyle ilgilenmiş ve basınç farklılıkları, tüp kesit alanı ve tüp boyutu gibi faktörlerin gerçek sıvı akış hızını nasıl etkilediğini araştırmıştır. Jean Louis Marie Poiseuille'nin elde ettiği sonuçlar, Poiseuille denklemi olarak bilinmektedir.
Poiseuille denklemi, daha önce hesaplanmış olan viskozite katsayısı denklemi yardımıyla türetilebilir. Durumlar aynı olmasa da benzer olduğu için viskozite denklemini kullanıyoruz. Viskozite katsayısı denklemini türetirken, 2 paralel plaka arasındaki gerçek akışkan tabakasının akışını inceliyoruz ve akışkan, çekim kuvveti (F) nedeniyle hareket edebiliyor. Fark şu ki, türeteceğimiz Poiseuille denklemi, boru/tüp içindeki gerçek akışkanın akışını ve basınç farkından dolayı akan akışkanı etkileyen faktörleri belirtiyor. Bu nedenle, viskozite katsayısı denkleminin tekrar ayarlanması gerekiyor.
Akışkan, basınç farkı nedeniyle akabilir (akışkan yüksek basınçlı bir yerden düşük basınçlı bir yere akar), bu durumda F'yi p 1 – p 2 (p 1 > p 2 ) ile değiştiririz.
Viskozite katsayısı denklemini türetirken, 2 paralel plaka arasındaki gerçek akışkan tabakasının akışını inceliyoruz. Akışkanın her bir parçası, l mesafesine kadar düzenli hızını değiştirir. Bu durumda, akışkan akış hızı, boru ekseninden borunun kenarına kadar düzenli olarak değişir. Boru eksenindeki akışkan daha yüksek (v) bir hızda akar. Kenar ne kadar uzaksa, akışkan hızı o kadar küçüktür. Boru yarıçapı = boru ekseni ile borunun kenarı arasındaki mesafe = R. Akışkanın her bir parçası ile borunun kenarı arasındaki mesafe = r. Akışkanın her bir parçasının miktarı çok büyük ve borunun kenarından uzaklık da farklı olduğundan, bunu şu şekilde yazabiliriz:
v 1 = tüpün kenarından r 1 mesafesindeki akışkanın hızı (r 1 = R)
v 2 = tüpün kenarından r 2 mesafesinde bulunan akışkanın hızı (r 2 < r 1 )
v 3 = tüpün kenarından r 3 mesafesindeki akışkanın hızı (r 3 < r 2 < r 1 )
v 4 = borunun kenarından r 4 mesafesinde bulunan akışkanın hızı (r 4 < r 3 < r 2 < r 1 )
............................................. ..
v n = tüpün kenarından rn mesafedeki akışkanın akış hızı (rn <…… <r 4 <r 3 <r 2 <r 1 )
Sıvının her bir parçasının miktarı çok büyüktür ve miktarın tam olarak ne kadar olduğunu da bilmiyoruz, bu nedenle n sembolüyle yazılması yeterlidir. Sıvının her bir parçası, tüp ekseninden (r 1 = R) tüpün kenarına (rn) kadar düzenli olarak hızını (v) değiştirir. Tüp ekseninden ( r 1 = R ) tüpün kenarına (rn) kadar, sıvının her bir parçasının hızı daha küçüktür (v 1 > v 2 > v 3 > v 4 > ….> v n ).
Yukarıdaki açıklamadan, R'den rn'ye doğru akış hızının azaldığını görebiliriz. Boru uzunluğu = L. Elde edilen denklem:
İncelediğimiz şey akışkanın akış hızı olduğundan , denklem 2 şu hale gelir:
Bu, yarıçapı R olan bir borudan r mesafesindeki akışkan akış hızı denklemidir. Yukarıdaki resme bakarken kafanız karıştıysa… Lütfen akışkanın bir boru içinde aktığını ve bu nedenle akışkan hacminin akış hızını gözden geçirmemiz gerektiğini unutmayın.
Tüpün içinde sıvı bulunur. Örneğin, sıvıyı her birinin birim alanı dA olan, tüp ekseninden belirli bir mesafede bulunan ve akış hızı v olan küçük parçalara ayırırız. Matematiksel olarak şu şekilde yazılabilir:
dA 1 = akışkan kısım 1, bu da tüp ekseninden dr 1 mesafesindedir.
dA 2 = akışkan kısım 2, bu da tüp ekseninden dr 2 mesafesindedir.
dA 3 = akışkan kısım 3, bu da tüp ekseninden dr 3 mesafesindedir.
..................................
dAn = akışkan kısım n, yani tüp ekseninden dn uzaklık
Akışkanın miktarı çok fazla olduğundan, daha pratik olması için sadece n sembolüyle yazılmıştır. Akışkanın her bir parçasının hacimsel akış hızı matematiksel olarak şu şekilde yazılabilir:
Sıvının her bir parçası, r = 0 ile r = R (R = boru yarıçapı) arasında bir mesafede bulunur. Başka bir deyişle, sıvının her bir parçasının mesafesi, boru ekseninden ölçüldüğünde değişir. Borudaki sıvı hacimsel akış hızı denklemini elde edeceğiz:
Q = Debi, R = boru veya tüpün yarıçapı, η = viskozite katsayısı, P 1 – p 2 = Borunun iki ucu arasındaki basınç farkı, L = boru uzunluğu, p 1 -p 2 / L = Basınç gradyanı (akışkan akışı her zaman basınç düşüşü yönündedir)
Yukarıdaki Poiseuille denklemine göre, akışkan hacminin akış hızı (Q), boru yarıçapı (R₄), basınç gradyanı (p₂ – p₁/L) ile doğru orantılı ve viskozite ile ters orantılı görünmektedir . Boru yarıçapı eklenirse ( viskozite katsayısı ve sabit basınç gradyanı), akışkan akış hızı 16 kat artar.
Boru tasarımının temel konseptinde bu denklem kullanılır. Sıvı deşarjı R⁴ ile orantılıdır ( R = boru yarıçapı). Şırınga veya boru uçlarının yarıçapı dikkatlice hesaplanmalıdır. Örneğin, iğnenin yarıçapını iki katına çıkarırsak (rx²), püskürtülen sıvı deşarjı, başparmak sıkıştırma kuvvetini 16 kat artırır.
Poiseuille denklemi ayrıca yarıçapın (r⁴) borunun iki ucu arasındaki basınç farkıyla ters orantılı olduğunu da gösterir . Örneğin, kan önce iç yarıçapı r olan bir kan damarında akar. Eğer atardamarlarda daralma varsa (örneğin, r/2 = kan damarlarının yarıçapı iki katına çıkarsa),
O zaman kan akışının eskisi gibi devam etmesi (yani akış hızının sabit kalması) için 16 katlık bir basınç farkına ihtiyaç duyulur.
