Arşimet prensibi hakkında makale
Çok büyük kütleli bir gemi batmazken, küçük bir taş batabilir. Bunun sebebi nedir? Kaldırma kuvveti kavramını ve Arşimet prensibini anlarsanız cevap oldukça basittir.
Günlük hayatta, bir sıvının içine konulan cisimlerin, örneğin bir kayanın, sıvının dışında olduklarından daha hafif olduğunu görürüz. Bir taşı yerden kaldırmak zor olabilir, ancak aynı taş deniz suyunun dibinden zahmetsizce kaldırılır. Bunun nedeni kaldırma kuvvetidir. Kaldırma kuvveti, farklı derinliklerdeki sıvı basıncı farklılıklarından kaynaklanır. Sıvı basıncı derinlikle artar; sıvı ne kadar yoğunsa, basıncı da o kadar yüksek olur. Bir cisim sıvının içine konulduğunda, cismin üstündeki sıvı ile altındaki sıvı arasında bir basınç farkı olacaktır. Cismin altındaki sıvının basıncı, üstündeki sıvının basıncından daha yüksektir.
Şekilde, suda yüzen bir cisim görebilirsiniz. Cismin altındaki sıvının basıncı, cismin üstündeki sıvının basıncından daha yüksektir. Bunun nedeni, cismin altındaki sıvının, cismin üstündeki sıvıya göre daha derin olmasıdır (p).2 > h1).
h 2 derinliğindeki akışkan basıncı miktarı şöyledir:
h 1 derinliğindeki akışkan basıncı miktarı şöyledir:
F 2 = cismin alt kısmına sıvının uyguladığı kuvvet, F 1 = cismin üst kısmına sıvının uyguladığı kuvvet, A = cismin yüzey alanı
F2 ve F1 arasındaki fark, sıvının cisim üzerindeki toplam kuvvetidir ve biz buna kaldırma kuvveti diyoruz. Kaldırma kuvvetinin miktarı şöyledir:
Kaldırma kuvveti F = F 2 − F 1
F kaldırma kuvveti = (ρ gh 2 A) − (ρ gh 1 A)
F kaldırma kuvveti = ρ g A (h 2 − h 1 )
F kaldırma kuvveti = ρ F g A h
F kaldırma kuvveti = ρ F g V
ρ F = akışkan yoğunluğu, g = yerçekimi ivmesi, V = akışkan içindeki nesnelerin hacmi
Dolayısıyla, kaldırma kuvvetinin miktarını (F kaldırma kuvveti) ifade eden denklemi yukarıda yazabiliriz:
F kaldırma kuvveti = ρ F g V → m = ρ V
F kaldırma kuvveti = m F g
F kaldırma kuvveti = w F
m F g = w F = daldırılan cismin hacmiyle aynı hacme sahip sıvının ağırlığı.
Yukarıdaki denkleme dayanarak, kaldırma kuvvetinin yer değiştiren sıvının ağırlığına eşit olduğunu, yer değiştiren sıvının hacminin ise sıvıya batırılan cismin hacmine benzer olduğunu söyleyebiliriz.
Eğer cisim sıvıya batırılırsa, yani yüzeyde yüzerse ve cismin batırılan kısmı sadece bir parçası ise,
O halde yer değiştiren sıvının hacmi, cismin sıvıya batırılan kısmının hacmine eşittir. Cismin ne olduğu ve şekli ne olursa olsun, herkes aynı şeyi deneyimleyecektir. Bu, Arşimet'in (MÖ 287-212) çalışmasının sonucudur ve Arşimet Prensibi olarak bilinir.
Arşimet ilkesi şunu belirtir:
Bir cisim tamamen veya kısmen bir sıvıya batırıldığında, sıvı cisme yukarı doğru bir kuvvet (kaldırma kuvveti) uygular; bu yukarı doğru kuvvetin (kaldırma kuvvetinin) miktarı, yer değiştiren sıvının ağırlığına eşittir.
Arşimet'in hikayesi
MÖ 287-212 yılları arasında yaşamış olan Arşimet, Kral II. Hieron tarafından kral için yaptırılan tacın saf altından mı yoksa başka metallerden mi yapıldığını araştırmakla görevlendirilmişti. Tacın saf altından mı yoksa başka metallerden mi yapıldığını bulmakta Arşimet ilk başta zorlandı. Sorun şu ki, tacın şekli düzensizdi ve saf altından mı yoksa başka metallerden mi yapıldığını belirlemek için önce tacı parçalamak mümkün değildi.
Bir tacın saf altından yapılıp yapılmadığını belirlemenin yolu, öncelikle tacın ağırlığını belirlemek ve ardından bunu altının özgül ağırlığıyla karşılaştırmaktır. Eğer taç saf altından yapılmışsa, tacın özgül ağırlığı altının özgül ağırlığına eşittir.
Bir cismin özgül ağırlığı, cismin havadaki ağırlığı ile cismin hacmiyle aynı hacme sahip suyun ağırlığı arasındaki orandır. Matematiksel olarak şu şekilde ifade edilir:
Hacmi cisimlerin hacmiyle aynı olan suyun ağırlığı nasıl belirlenir?
Arşimet'e göre, bir cismin hacmiyle aynı hacme sahip suyun ağırlığı, cismin batması (cismin tamamının suya batırılması) sırasında oluşan kaldırma kuvvetine eşittir. Bu, suya batırıldığında tartılan cisimlerin kaybettiği ağırlıkla aynıdır. Dolayısıyla:
Tacın özgül ağırlığını belirlemek için, taç önce havada tartılır (tacın havadaki ağırlığı). Daha sonra taç suya batırılır ve tekrar tartılarak tacın kaybettiği ağırlık elde edilir. Yani:
Tacın özgül ağırlığı elde edildikten sonra, altının özgül ağırlığı ile karşılaştırılır. Altının özgül ağırlığı 19.3'tür. Eğer tacın özgül ağırlığı altının özgül ağırlığına eşitse, taç saf altından yapılmıştır. Ancak taç saf altından yapılmamışsa, tacın özgül ağırlığı altının özgül ağırlığına eşit değildir.
Gemi neden batmıyor?
Bir cismin yoğunluğu suyun yoğunluğundan küçükse, cisim yüzer. Tersine, bir cismin yoğunluğu suyun yoğunluğundan büyükse, cisim batar. Çoğu gemi demir ve çelikten yapılmıştır. Demir ve çeliğin yoğunluğu = 7.8 x 10³ kg/m³ iken suyun yoğunluğu = 1.00 x 10³ kg/m³'tür. Demir ve çeliğin yoğunluğunun suyun yoğunluğundan büyük olduğu görülmektedir . Bu durumda, demir ve çeliğin özgül ağırlığı = 7.8'dir. Gemi batmalıdır. Peki gemi neden batmaz? Geminin toplam yoğunluğu, suyun veya deniz suyunun yoğunluğundan daha küçüktür.
Örnek problem 1:
Kütlesi 40 kg olan bir taş, bir göletin dibinde bulunmaktadır. Taşın hacmi 0.2 m³ ise, taşı kaldırmak için gereken minimum kuvvet nedir?
Bilinen:
Taşın kütlesi (m) = 40 kg
Taşın hacmi (V) = 0.02 m³
Suyun yoğunluğu = 1000 kg/ m³
Yerçekimi ivmesi (g) = 10 m/ s²
Aranan: En az F
Çözüm:
F kaldırma kuvveti = w F
F kaldırma kuvveti = m F g → m = pV
F kaldırma kuvveti = ρ F g V
Kaldırma kuvveti F = (1000 kg/m³ ) (10 m/s² ) (0.02 m³ )
Kaldırma kuvveti F = 200 kg m/ s²
Kaldırma kuvveti F = 200 N
taşın ağırlığı (w) = mg
Taşın ağırlığı = (40 kg)(10 m/ s² )
Taşın ağırlığı = 400 kg m/ s²
Taşın ağırlığı = 400 N
Taşı kaldırmak için gereken minimum kuvvet :
Taşın ağırlığı – kaldırma kuvveti = 400 N – 200 N = 200 N
Örnek problem 2:
Suyun içindeki cismin ağırlığı = 5000 kg m/s² ve suyun içindeki cismin ağırlığı = 4000 kg m/s² . Cismin yoğunluğu = 2000 kg/m³ ise , cismin kütlesi ve hacmi nedir? g = 10 m/ s²
Çözüm
Yerçekimi ivmesi (g) = 10 m/ s²
Nesnenin yoğunluğu = 2000 kg/ m³
Suyun yoğunluğu = 1000 kg/ m³
Cismin havadaki ağırlığı = 5000 kg m/ s²
Suyun içindeki cismin ağırlığı = 4000 kg m/ s²
Kaldırma kuvveti (Fkaldırma kuvveti) = cismin havadaki ağırlığı – cismin sudaki ağırlığı
Kaldırma kuvveti F = 5000 kg m/s² – 4000 kg m/ s²
Kaldırma kuvveti F = 1000 kg m/ s²
Kaldırma kuvveti F = yer değiştiren suyun ağırlığı
Kaldırma kuvveti F = (suyun kütlesi)(g)
Kaldırma kuvveti F = (yer değiştiren suyun hacmi)(suyun yoğunluğu)(g)
Yer değiştiren suyun hacmi = suyun içindeki cismin hacmi
Nesnenin hacmi = 0.1 m³
Nesnenin kütlesi = ?
ρ = m / V
m = ρ V
m = (2000 kg / m3 ) (0.1 m3 )
m = 200 kg
Cismin kütlesi = 200 kg
Örnek problem 3:
Bir balonun 500 kg yükü kaldırması için ne kadar helyum gerekir?
Çözüm:
Helyumun yoğunluğu = 0.1786 kg/ m³
Havanın yoğunluğu = 1.293 kg/ m³
Kaldırma kuvveti = yer değiştiren havanın ağırlığı = cismin ağırlığı + helyumun ağırlığı
Kaldırma kuvveti = cismin ağırlığı + helyumun ağırlığı
Kaldırma kuvveti = (yükün kütlesi)(g) + (helyumun kütlesi)(g)
Kaldırma kuvveti = (yükün kütlesi + helyumun kütlesi)g —- denklem 1
Kaldırma kuvveti = yer değiştiren havanın ağırlığı
Kaldırma kuvveti = (yer değiştiren havanın kütlesi)(g) — denklem 2
1. denklemi ve 2. denklemi birleştiriyoruz:
(Yükün kütlesi + helyumun kütlesi)(g) = (Yer değiştiren havanın kütlesi)(g)
Yükün kütlesi + helyumun kütlesi = yer değiştiren havanın kütlesi
500 kg + (ρ helyum)(V helyum) = (ρ su)(V su)
500 kg = (ρ su)(V su) – (ρ helyum)(V helyum)
Yer değiştiren havanın hacmi (V hava) = Balondaki helyumun hacmi (V helyum)
500 kg = (ρ su – ρ helyum)(V)
Bu, yeryüzünde ağırlık kaldırmak için gereken minimum helyum hacmidir. Balonun daha yükseğe çıkması için helyum hacminin artırılması gerekir. Helyum hacminin artırılması gerekir çünkü havanın yoğunluğu yükseklikle azalır.
