Bu denkleme Poiseuille denklemi denmesinin sebebi, merhum Jean Louis Marie Poiseuille (1799-1869) tarafından keşfedilmiş olmasıdır. Açıklandığı gibi, her akışkan ideal bir akışkan olarak kabul edilebilir. İdeal akışkanların viskozitesi yoktur. İdeal bir akışkanın bir boruda aktığını hayal edersek, akışkanın her parçası aynı hızda (v) hareket eder. İdeal akışkanların aksine, gerçek akışkanlar veya günlük hayatta karşılaştığımız akışkanlar viskoziteye sahiptir. Viskoziteye sahip oldukları için, örneğin bir boruda akarken, akışkanın her parçasının hızı değişir. Ortadaki akışkan tabakası daha hızlı hareket eder (v büyüktür), boruya yapışık akışkan tabakası ise hareket etmez, yani durgundur (v = 0). Dolayısıyla, borunun merkezinden kenarına kadar, akışkanın her parçası farklı hızlarda hareket eder. Daha kolay anlamanız için aşağıdaki resme bakın…
Bilgi:
R = borunun/tüpün yarıçapı
v 1 = borunun merkezindeki/eksenindeki akışkan akış hızı
v 2 = borunun kenarından r 2 mesafesindeki akışkan akış hızı
v 3 = borunun kenarından r 3 mesafesindeki akışkan akış hızı
v 4 = borunun kenarından r 4 mesafesindeki akışkan akış hızı
r = mesafe
Her bir sıvının akış hızının aynı olmasını sağlamak için, sıvının aktığı herhangi bir boru veya tüpün her iki ucunda da basınç farkı olmalıdır. Burada sıvıdan kastımız, borudan akan su veya yağ, kan damarlarından akan kan vb. gibi gerçek sıvılardır. Basınç farkları, gerçek bir sıvının düzgün akmasına yardımcı olmanın yanı sıra, sıvıların borularda farklı yüksekliklerde akmasına da olanak tanır.
Eski Fransız bilim insanı Jean Louis Marie Poiseuille, insan kan dolaşımının fiziksel yönleriyle ilgilenmiş ve basınç farklılıkları, bir tüpün kesit alanı ve tüpün boyutu gibi faktörlerin gerçek bir sıvının hızını nasıl etkilediğini araştırmak için çalışmalar yürütmüştür. Jean Louis Marie Poiseuille tarafından elde edilen sonuçlar Poiseuille denklemi olarak bilinir.
Poiseuille denklemi, daha önce türetilen viskozite katsayısı denklemi kullanılarak elde edilebilir. Viskozite denklemini kullanıyoruz çünkü durum benzer, ancak tamamen aynı değil. Viskozite katsayısı denklemini türetirken, iki paralel plaka arasında gerçek bir akışkan tabakasının akışını ele alıyoruz ve akışkan, çekme kuvveti (F) nedeniyle hareket edebiliyor. Fark şu ki, türeteceğimiz Poiseuille denklemi aslında bir boru/tüp içindeki gerçek bir akışkanın akışını etkileyen faktörleri belirtiyor ve akışkan basınç farkları nedeniyle akıyor. Bu nedenle, viskozite katsayısı denkleminin tekrar ayarlanması gerekiyor.
Akışkanlar basınç farkları nedeniyle akabilir (akışkanlar yüksek basınçlı yerlerden düşük basınçlı yerlere doğru akar), bu nedenle F'yi p 1 – p 2 (p 1 > p 2 ) ile değiştiririz.
Viskozite katsayısı denklemini türetirken, iki paralel plaka arasında gerçek bir akışkan tabakasının akışını ele alıyoruz. Akışkanın her bir bölümü, l mesafesi boyunca düzenli bir hız değişimi yaşar. Bu durumda, akışkan akış hızı, tüpün ekseninden tüpün kenarına doğru düzenli olarak değişir. Tüpün eksenindeki akışkan daha yüksek bir hızda (v) akar. Kenara doğru gidildikçe akışkan hızı azalır. Tüpün yarıçapı = tüpün ekseni ile tüpün kenarı arasındaki mesafe = R. Akışkanın her bir bölümü ile tüpün kenarı arasındaki mesafe = r. Akışkanın her bir bölümünün sayısı çok fazla olduğundan ve tüpün kenarına olan mesafeleri de değiştiğinden, bunu şu şekilde yazabiliriz:
v 1 = tüpün kenarından r1 mesafedeki akışkanın hızı (r1 = R)
v 2 = tüpün kenarından r2 mesafedeki akışkanın hızı (r2 < r1)
v 3 = tüpün kenarından r3 mesafedeki akışkanın hızı (r3 < r2 < r1)
v 4 = tüpün kenarından r4 mesafedeki akışkanın hızı (r4 < r3 < r2 < r1)
............................................. ..
vn = tüpün kenarından rn mesafedeki akışkan hızı (rn < …… < r4 < r3 < r2 < r1 )
Sıvının her bir parçasının sayısı çok fazladır ve tam olarak ne kadar olduğunu da bilmiyoruz, bu nedenle n sembolüyle yazmak yeterlidir. Sıvının her bir parçası, tüpün ekseninden (r1 = R) tüpün kenarına (rn) kadar düzenli olarak bir hız değişimine (v) maruz kalır. Tüpün ekseninden (r1 = R) tüpün kenarına (rn) doğru, sıvının her bir parçasının hızı küçülür (v1 > v2 > v3 > v4 > …. > vn).
Yukarıdaki açıklamadan, R'den rn'ye doğru akış hızının azaldığı fikrini edinebiliriz. Borunun uzunluğu = L. Elde edilen denklem şöyledir:
Akışkan akış hızını (v) dikkate aldığımız için, denklem 2 şu hale gelir:
Bu, yarıçapı R olan bir borudan r mesafesindeki akışkanın akış hızının denklemidir. Yukarıdaki resme bakarken kafanız karıştıysa... Lütfen akışkanın bir boru veya tüp içinde aktığını, bu nedenle akışkanın hacimsel akış hızını incelememiz gerektiğini unutmayın.
Tüpün içinde bir sıvı bulunmaktadır. Örneğin, sıvıyı her birinin birim alanı dA olan, tüpün ekseninden belirli bir mesafede bulunan ve akış hızı v olan çok küçük parçalara ayırıyoruz. Matematiksel olarak bu şu şekilde yazılabilir:
dA1 = tüp ekseninden 1 birim uzaklıktaki akışkan kesiti 1
dA2 = tüp ekseninden 2 birim uzaklıktaki akışkan kesiti 2
dA3 = tüp ekseninden 3 birim uzaklıktaki akışkan kesiti 3
..................................
dA n = akışkan kesiti n, bu da boru ekseninden dA n uzaklığıdır.
Çok sayıda akışkan parçacığı olduğundan, bunları n sembolüyle yazmak uygundur. Her bir akışkan parçacığının hacimsel akış hızı matematiksel olarak şu şekilde yazılabilir:
Her bir sıvı parçası, r = 0 ile r = R (R = tüpün yarıçapı) arasında bir mesafede bulunur. Başka bir deyişle, her bir sıvı parçasının mesafesi, tüpün ekseninden ölçüldüğünde değişir. Eğer diferansiyel ve integral hesaplamaları yaparsak, tüpteki sıvının hacimsel akış hızı için denklemi elde ederiz:
Bilgi:
Q = Borç
R = Borunun veya tüpün iç yarıçapı
η = Viskozite katsayısı
P 1 – p 2 = Borunun iki ucu arasındaki basınç farkı
L = Borunun uzunluğu
p 1 -p 2 /L = Basınç gradyanı (akışkan akışı her zaman azalan basınç yönündedir)
Yukarıdaki Poiseuille denklemine göre, akışkanın hacimsel akış hızı, yani debi (Q), boru yarıçapının (R⁴), basınç gradyanının (p₂ – p₁/L) dördüncü kuvvetiyle doğru orantılı ve viskoziteyle ters orantılı görünmektedir . Boru yarıçapı artırılırsa ( viskozite katsayısı ve basınç gradyanı sabit kalırsa), akışkan akış hızı 16 kat artar.
Boruların, şırıngaların ve diğer şeylerin tasarımındaki temel kavram bu denkleme dayanır. Akışkan akış hızı R⁴ ile orantılıdır ( R = borunun yarıçapı). Şırınganın veya borunun yarıçapı dikkatlice hesaplanmalıdır. Örneğin, iğnenin yarıçapını iki katına çıkarırsak (r x 2), püskürtülen akışkan akış hızı başparmağın basınç kuvvetini 16 kat artırır.
Poiseuille denklemi ayrıca yarıçapın dördüncü kuvvetinin (r⁴) borunun iki ucu arasındaki basınç farkıyla ters orantılı olduğunu da gösterir . Örneğin, başlangıçta kan, iç yarıçapı r olan bir kan damarında akar. Kan damarında bir daralma olursa (örneğin, r/2 = kan damarının iç yarıçapı 2 kat azalırsa), kanın eskisi gibi akması için (deşarj veya kan hacmi akış hızının sabit kalması için) 16 katlık bir basınç farkı gerekir.
