Dağılım Diyagramı Örneği Tartışma Sorusu
Saçılım grafiği, veri analizi ve istatistikte temel bir araçtır. İki sayısal değişken arasındaki ilişkiyi, veri noktalarını iki boyutlu bir düzlemde çizerek anlamamıza yardımcı olur. Bu makale, saçılım grafiklerine ilişkin örnekler ve açıklamalar içerecektir.
Dağılım grafiği nedir?
Saçılım grafiği, iki sayısal veri kümesi arasındaki ilişkiyi görsel olarak temsil eden bir grafiktir. Saçılım grafiğindeki her nokta, iki farklı değişken için bir değer çiftini temsil eder. Örneğin, çalışma saatleri ve sınav puanları arasındaki ilişkiyi analiz etmek istiyorsak, çalışma saatleri X ekseniyle, sınav puanları ise Y ekseniyle temsil edilebilir.
Dağılım Diyagramlarının Faydaları
1. Desenleri Belirleme: Saçılım grafikleri, verilerdeki desenleri veya eğilimleri belirlememize yardımcı olabilir. Bu desenler doğrusal, doğrusal olmayan veya hiç desen içermeyebilir.
2. Korelasyonun Belirlenmesi: Bir saçılım grafiği kullanarak, iki değişken arasında bir korelasyon olup olmadığını belirleyebiliriz. Korelasyon pozitif, negatif veya sıfır (korelasyon yok) olabilir.
3. Aykırı Değer Tespiti: Dağılım grafikleri, veri kümesinin geri kalanından oldukça uzak olan veri noktaları olan aykırı değerleri tespit etmeyi de kolaylaştırır.
Contoh Soal ve Pembahasan
Örnek Soru 1: Dağılım Grafiği Oluşturma
Soru :
Beş öğrencinin çalışma saatleri (X) ve sınav puanları (Y) ile ilgili aşağıdaki veriler verilmiştir:
| Öğrenciler | Çalışma Saatleri (X) | Sınav Puanı (Y) |
|——-|——————|——————–|
| A | 2 | 70 |
| B | 3 | 75 |
| C | 1 | 65 |
| D | 4 | 80 |
| E | 5 | 85 |
Yukarıdaki verileri kullanarak bir dağılım grafiği oluşturun.
Tartışma :
Dağılım diyagramı oluşturmak için izlenebilecek adımlar şunlardır:
1. X ve Y eksenlerini belirleyin: X ekseni için çalışma saatleri değişkenini, Y ekseni için ise sınav puanlarını seçin.
2. Veri noktalarını çizin: Her bir (X, Y) çiftini bir grafiğe çizin.
İşte verilerin grafiği:
| X ekseni (Çalışma Saatleri) | Y ekseni (Sınav Puanı) |
|———————–|———————–|
| 2 | 70 |
| 3 | 75 |
| 1 | 65 |
| 4 | 80 |
| 5 | 85 |
Örnek Soru 2: Korelasyon Türünün Belirlenmesi
Soru :
Örnek Soru 1'de verilen verilere dayanarak, çalışma saatleri ile sınav puanları arasındaki korelasyon türünü belirleyin.
Tartışma :
Korelasyon türünü belirlemek için, dağılım grafiğindeki veri noktalarının oluşturduğu desene dikkat etmemiz gerekir.
Şema, çalışma saatleri arttıkça test puanlarının da arttığını göstermektedir. Bu, çalışma saatleri ile test puanları arasında pozitif bir korelasyon olduğunu gösterir. Bu korelasyon pozitif olarak kabul edilir çünkü her iki değişken de aynı yönde hareket etmektedir.
Örnek 3: Pearson Korelasyon Katsayısının Hesaplanması
Soru :
Örnek Problem 1'deki verilerden Pearson korelasyon katsayısını hesaplayın.
Tartışma :
Pearson korelasyon katsayısı (r), iki değişken arasındaki doğrusal ilişkinin gücünü ve yönünü ölçer. r'nin formülü şöyledir:
\[ r = \frac{n(\sum XY) – (\sum X)(\sum Y)}{\sqrt{[n\sum X^2 – (\sum
Mana'da:
– \( n \) veri çiftlerinin sayısıdır.
– \( \sum XY \) ifadesi, X ve Y'nin çarpımlarının toplamıdır.
– \( \sum X \) X'in tüm değerlerinin toplamıdır.
– \( \sum Y \) tüm Y değerlerinin toplamıdır.
– \( \sum X^2 \) ifadesi, X'in tüm değerlerinin karelerinin toplamıdır.
– \( \sum Y^2 \) tüm Y değerlerinin karelerinin toplamıdır.
Öncelikle, gerekli değerleri hesaplayalım:
\[ \sum X = 2 + 3 + 1 + 4 + 5 = 15 \]
\[ \sum Y = 70 + 75 + 65 + 80 + 85 = 375 \]
\[ \sum
\[ \sum
\[ \sum Y^2 = 70^2 + 75^2 + 65^2 + 80^2 + 85^2 = 4900 + 5625 + 4225 + 6400 + 7225 = 28375 \]
Ardından, formüle şu değerleri yerleştirin:
\[ r = \frac{5(1175) – (15)(375)}{\sqrt{[5(55) – (15)^2][5(28375) – (375)^2]}} \]
\[ r = \frac{5875 – 5625}{\sqrt{[275 – 225][141875 – 140625]}} \]
\[ r = \frac{250}{\sqrt{50 1250}} \]
\[ r = \frac{250}{\sqrt{62500}} \]
\[ r = \frac{250}{250} \]
\[ r = 1 \]
Dolayısıyla, yukarıdaki verilerin Pearson korelasyon katsayısı 1'dir; bu da mükemmel bir pozitif doğrusal ilişkiyi gösterir.
Örnek Soru 4: Aykırı Değerleri Tespit Etme
Soru :
Örnek Soru 1'deki verilerden yola çıkarak, saçılım grafiğinde aykırı değer olup olmadığını belirleyin.
Tartışma :
Aykırı değer, veri kümesinin geri kalanından oldukça farklı olan bir veri noktasıdır. Verilerden:
| X ekseni (Çalışma Saatleri) | Y ekseni (Sınav Puanı) |
|———————–|———————–|
| 2 | 70 |
| 3 | 75 |
| 1 | 65 |
| 4 | 80 |
| 5 | 85 |
Tüm veri noktaları birbirine yakın görünüyor ve hiçbiri diğerlerinden önemli ölçüde farklı değil. Bu nedenle, bu veri setinde aykırı değer bulunmadığı sonucuna varabiliriz.
Sonuç
Saçılım grafiği, iki sayısal değişken arasındaki ilişkiyi belirlemek için veri analizinde çok kullanışlı bir görsel araçtır. Yukarıdaki örnekler aracılığıyla, saçılım grafiği oluşturmayı, korelasyon türünü belirlemeyi, Pearson korelasyon katsayısını hesaplamayı ve aykırı değerleri tespit etmeyi anlayabiliriz. Bu kavramları anlamak, verileri analiz etmek ve bu analize dayanarak bilinçli kararlar almak için çok önemlidir.
Dolayısıyla, dağılım grafikleri yalnızca verileri daha derinlemesine anlamaya yardımcı olmakla kalmaz, aynı zamanda daha ileri istatistiksel analizlerin yolunu da açar.
