Paano Kalkulahin ang Standard Deviation
Ang standard deviation ay isa sa mga pinakamadalas na ginagamit na istatistikal na panukat upang matukoy kung gaano "kumalat" ang datos mula sa mean nito. Sa totoong buhay, ang standard deviation ay nakakatulong sa atin na maunawaan ang katatagan o pagkakaiba-iba ng isang phenomenon: halimbawa, mga pagkakaiba-iba sa mga marka ng pagsusulit, mga pagbabago-bago ng benta, mga pagkakaiba sa taas, at maging ang mga panganib sa datos pinansyal. Kung mas maliit ang standard deviation, mas malapit ang datos sa mean. Sa kabaligtaran, ang isang malaking standard deviation ay nagpapahiwatig na ang datos ay malayo sa mean at may mataas na pagkakaiba-iba.
Tatalakayin ng artikulong ito ang kahulugan ng standard deviation, ang pormulang ginamit, at ang mga hakbang para manu-manong kalkulahin ito sa pamamagitan ng mga halimbawang madaling maunawaan.
1. Kahulugan ng Standard Deviation
Ang standard deviation ay ang square root ng variance. Ang variance mismo ay ang average ng mga square ng mga pagkakaiba sa pagitan ng bawat data point at mean. Bakit gagamit ng square? Dahil ang mga pagkakaiba sa pagitan ng mga data point at mean ay maaaring negatibo o positibo. Kung direktang idadagdag, ang mga negatibo at positibong pagkakaiba ay maaaring magkansela sa isa't isa, na magreresulta sa mga nakaliligaw na resulta. Sa pamamagitan ng pag-square ng mga pagkakaiba, lahat ng halaga ay nagiging positibo, na nagbibigay-daan para sa mas tumpak na pagsukat ng distribusyon ng datos.
Simple lang:
– Baryansa = sukat ng pagkalat sa mga yunit na "nakaparis".
– Standard deviation = isang sukat ng pagkalat na bumalik sa orihinal na yunit ng datos.
Halimbawa: kung ang datos ay nasa anyo ng mga marka ng pagsusulit (mga yunit ng puntos), ang variance ay nasa puntos, habang ang standard deviation ay nasa puntos muli, na gagawing mas madali itong bigyang-kahulugan.
2. Populasyon vs. Sample Standard Deviation
Bago kalkulahin, mahalagang malaman kung anong uri ng datos ang mayroon ka:
1. Populasyon: kabilang sa datos ang lahat ng miyembrong sasaliksikin.
Ang pormula ng karaniwang paglihis ng populasyon ay gumagamit ng divisor N (bilang ng datos).
2. Sample: ang datos ay bahagi lamang ng populasyon, karaniwang ginagamit upang kumatawan sa mas malaking populasyon.
Ang halimbawang pormula ng standard deviation ay gumagamit ng isang divisor (n − 1) upang itama ang estimation bias. Ang pagwawasto na ito ay tinatawag na Bessel's correction.
Sa pang-araw-araw na gawain (hal. pananaliksik, mga survey, pagsusuri ng klase), ang datos ay kadalasang itinuturing na isang sample, kaya ang divisor ay (n − 1).
3. Pormula ng Pamantayang Paglihis
A. Pormula ng Pamantayang Paglihis ng Populasyon
Ipagpalagay na ang datos ay: \( x_1, x_2, \dots, x_N \)
Karaniwang populasyon:
\[
\mu = \frac{\sum_{i=1}^{N} x_i}{N}
\]
Pagkakaiba-iba ng populasyon:
\[
\sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{N}(x_i – \mu)^2}{N}
\]
Pamantayang paglihis ng populasyon:
\[
\sigma = \sqrt{\sigma^2}
\]
B. Halimbawang Pormula ng Standard Deviation
Halimbawang mean:
\[
\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}
\]
Sample na pagkakaiba-iba:
\[
s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i – \bar{x})^2}{n – 1}
\]
Halimbawang karaniwang paglihis:
\[
s = \sqrt{s^2}
\]
4. Mga Hakbang sa Manu-manong Kalkulahin ang Standard Deviation
Para mas madaling maintindihan, gagamitin natin ang halimbawa ng datos ng marka sa pagsusulit ng 5 estudyante:
Datos: 60, 70, 70, 80, 90
Ipagpalagay na ang datos na ito ay isang sample (karaniwan sa mga halimbawa ng pagkatuto).
Hakbang 1: Kalkulahin ang average
\[
\bar{x} = \frac{60 + 70 + 70 + 80 + 90}{5} = \frac{370}{5} = 74
\]
Kaya ang karaniwang iskor ay 74.
Hakbang 2: Kalkulahin ang pagkakaiba sa pagitan ng bawat datos at ng average
Gumawa ng kolum ng pagkakaiba \( (x_i – \bar{x}) \):
– 60 − 74 = −14
– 70 − 74 = −4
– 70 − 74 = −4
– 80 − 74 = 6
– 90 − 74 = 16
Hakbang 3: Kuwadrado ang pagkakaiba
Kalkulahin \( (x_i – \bar{x})^2 \):
– (−14)² = 196
– (−4)² = 16
– (−4)² = 16
– 6² = 36
– 16² = 256
Hakbang 4: Idagdag ang mga parisukat ng mga pagkakaiba
\[
\kabuuan (x_i – \bar{x})^2 = 196 + 16 + 16 + 36 + 256 = 520
\]
Hakbang 5: Kalkulahin ang variance (para sa isang sample, hatiin sa n − 1)
Dahil n = 5, kung gayon n − 1 = 4:
\[
s^2 = \frac{520}{4} = 130
\]
Kaya ang variance ng sample ay 130.
Hakbang 6: Kuwadradong ugat ng variance upang makuha ang standard deviation
\[
s = \sqrt{130} \approx 11{,}40
\]
Kaya ang standard deviation ng datos ay humigit-kumulang 11,40. Nangangahulugan ito na, sa karaniwan, ang mga marka ng mga mag-aaral ay lumihis ng humigit-kumulang 11 puntos mula sa mean na 74.
5. Mabilisang Paraan: Alternatibong Pormula (Pagkalkula)
Bukod sa manu-manong pamamaraan sa itaas, mayroong isang pormula sa pagkalkula na kadalasang ginagamit upang mapabilis ang mga kalkulasyon, lalo na kung maraming datos:
Sample na pagkakaiba-iba:
\[
s^2 = \frac{\sum x_i^2 – \frac{(\sum x_i)^2}{n}}{n – 1}
\]
Iniiwasan ng pormulang ito ang pagkalkula ng mga pagkakaiba nang paisa-isa, ngunit nangangailangan pa rin ng katumpakan kapag kinakalkula ang kabuuan ng mga parisukat ng datos.
Gayunpaman, para sa konseptwal na pag-unawa, ang sunud-sunod na pamamaraan (pagkakaiba → parisukat → kabuuan) ay karaniwang mas madali at mas ligtas mula sa mga pagkakamali.
6. Interpretasyon ng Standard Deviation
Ang standard deviation ay hindi lamang natatapos sa mga numero, kundi dapat ding bigyang-kahulugan:
– Maliit na standard deviation: ang datos ay nakakumpol malapit sa mean, mababa ang baryasyon, at mas pare-pareho ang mga resulta.
– Malaking standard deviation: ang datos ay nakakalat nang malayo sa average, mataas ang variation, at hindi gaanong consistent ang mga resulta.
Halimbawa, ipagpalagay na ang dalawang klase ay may parehong mean score, 74. Kung ang class A ay may standard deviation na 5 at ang class B ay may standard deviation na 15, kung gayon ang mga iskor sa class A ay mas pantay at matatag. Ang Class B ay may mas malaking baryasyon: ang ilan ay napakababa at ang ilan ay napakataas.
7. Mga Karaniwang Pagkakamali
Ilan sa mga karaniwang pagkakamali sa pagkalkula ng standard deviation:
1. Nakalimutang pag-iba-ibahin ang sample at populasyon, kaya mali ang divisor (N vs n − 1).
2. Maling pagkalkula ng average, na nagreresulta sa pagkakamali ng lahat ng kasunod na hakbang.
3. Nakakalimutang ikuwadrado ang diperensya, o nagkakamali kapag kinukuha ang square root sa huli.
4. Mga pagkakamali sa aritmetika kapag nagdadagdag o nagkakalkula ng mga parisukat ng mga numero.
Ang pag-iwas sa mga pagkakamali ay maaaring gawin sa pamamagitan ng paglikha ng isang talahanayan ng pagkalkula at pag-double check sa mga resulta.
Pagsara
Ang pagkalkula ng standard deviation ay hindi naman talaga mahirap kung susundin mo nang tama ang mga hakbang: kalkulahin ang mean, hanapin ang pagkakaiba sa pagitan ng bawat set ng datos, parisukatin ang mga pagkakaiba, idagdag ang mga ito, hatiin (sa n o n − 1), at pagkatapos ay kunin ang square root. Sa pamamagitan ng pag-unawa sa standard deviation, masusuri mo kung gaano ka-consistent ang iyong datos at kung gaano kalaki ang pagkakaiba-iba nito.
Kung gusto mo, puwede rin akong gumawa ng mga karagdagang halimbawa na may mas maraming datos, mga halimbawa ng pinagsama-samang datos (mga talahanayan ng dalas), o kung paano kalkulahin ang standard deviation gamit ang Excel/Google Sheets.
