การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร

การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร

สมการเชิงเส้นพร้อมกัน หรือที่เรียกว่าระบบสมการ คือชุดสมการที่มีตัวแปรหลายตัว สมการเหล่านี้เรียกว่าสมการเชิงเส้นพร้อมกันเพราะต้องแก้พร้อมกัน หมายความว่าคำตอบต้องสอดคล้องกับทุกสมการในเวลาเดียวกัน การแก้สมการเชิงเส้นพร้อมกันเป็นทักษะพื้นฐานในคณิตศาสตร์ที่มีการประยุกต์ใช้ในหลากหลายสาขา เช่น ฟิสิกส์ เศรษฐศาสตร์ วิศวกรรม และวิทยาการคอมพิวเตอร์ บทความนี้มีจุดมุ่งหมายเพื่อให้ภาพรวมที่ครอบคลุมของวิธีการที่ใช้กันทั่วไปในการแก้สมการเชิงเส้นพร้อมกัน

แนวคิดพื้นฐาน

ก่อนที่จะเจาะลึกไปถึงวิธีการแก้ระบบสมการเชิงเส้นหลายตัวแปร จำเป็นอย่างยิ่งที่จะต้องเข้าใจคำศัพท์และแนวคิดพื้นฐานบางประการเสียก่อน

– ตัวแปร: สัญลักษณ์ที่ใช้แทนค่าที่ไม่ทราบค่า โดยปกติจะใช้ตัวอักษร เช่น x, y และ z
– สมการเชิงเส้น: สมการที่ตัวแปรยกกำลังหนึ่งและอยู่ในรูปเชิงเส้น (เช่น 2x + 3y = 6)
– สมการไม่เชิงเส้น: สมการที่เกี่ยวข้องกับตัวแปรที่ยกกำลังมากกว่าหนึ่ง สมการที่เกี่ยวข้องกับผลคูณของตัวแปร ฟังก์ชันตรีโกณมิติ ฯลฯ (เช่น x² + y² = 9)
– ระบบสมการ: ชุดของสมการตั้งแต่สองสมการขึ้นไปที่มีตัวแปรชุดเดียวกัน

ลองพิจารณาตัวอย่างมาตรฐานของระบบสมการเชิงเส้นกัน:

\[
\begin{กรณี}
2x + 3y = 6
4x – y = 5
\end{กรณี}
\]

คำตอบของระบบสมการนี้คือคู่ x, y ใดๆ ที่สอดคล้องกับสมการทั้งสองพร้อมกัน

วิธีการแก้ระบบสมการเชิงเส้นหลายตัวแปร

1. วิธีการทางกราฟิก

วิธีการทางกราฟิกเกี่ยวข้องกับการพล็อตสมการแต่ละสมการลงบนตารางพิกัด และระบุจุดที่กราฟตัดกัน จุดตัดเหล่านี้แสดงถึงคำตอบของระบบสมการ

ขั้นตอน:
1. แปลงสมการแต่ละสมการให้อยู่ในรูปแบบ y = mx + c โดยที่ m คือความชัน และ c คือจุดตัดแกน y
2. วาดเส้นตรงที่แสดงโดยสมการเหล่านี้ลงบนกราฟ
3. หาจุดตัดของเส้นตรงทั้งสอง

ตัวอย่าง:
พิจารณาระบบสมการต่อไปนี้:
\[
\begin{กรณี}
2x + 3y = 6
4x – y = 5
\end{กรณี}
\]

แปลงสมการเหล่านี้ให้อยู่ในรูปแบบสมการเส้นตรงความชัน-จุดตัดแกน:
\[
\begin{กรณี}
y = -\frac{2}{3}x + 2 \\
y = 4x - 5
\end{กรณี}
\]

ลากเส้นตรงลงบนกราฟเพื่อหาจุดตัดซึ่งแสดงถึงคำตอบ ในตัวอย่างนี้ คำตอบคือ \((x, y) = (1.5, 1)\)

2. วิธีการทดแทน

วิธีการแทนค่าเกี่ยวข้องกับการแก้สมการหนึ่งเพื่อหาค่าตัวแปรหนึ่ง แล้วนำค่าที่ได้ไปแทนในสมการอีกสมการหนึ่ง

ขั้นตอน:
1. จงแก้สมการหนึ่งสมการเพื่อหาค่าตัวแปรหนึ่งตัว
2. แทนค่าสมการนี้ลงในสมการอีกสมการหนึ่ง จะได้สมการเดียวที่มีตัวแปรเดียว
3. จงแก้สมการตัวแปรเดียวนี้
4. แทนค่าที่ได้กลับเข้าไปในนิพจน์ที่พบในขั้นตอนที่ 1 เพื่อหาค่าของตัวแปรที่สอง

ตัวอย่าง:
ลองพิจารณาระบบนี้:
\[
\begin{กรณี}
2x + 3y = 6
4x – y = 5
\end{กรณี}
\]

จงแก้สมการแรกเพื่อหาค่า y:
\[
y = 2 – \frac{2}{3}x
\]

แทนค่านิพจน์นี้ลงในสมการที่สอง:
\[
4x – (2 – \frac{2}{3}x) = 5
\]

ลดรูปและแก้หาค่า \( x \):
\[
4x – 2 + \frac{2}{3}x = 5 \\
14x / 3 = 7
x = \frac{3}{2}
\]

แทนค่า \( x = \frac{3}{2} \) กลับเข้าไปใน \( y = 2 – \frac{2}{3}x \):
\[
y = 2 – \frac{2}{3} \times \frac{3}{2} = 2 – 1 = 1
\]

ดังนั้น คำตอบคือ \( (x, y) = \left(\frac{3}{2}, 1\right) \).

3. วิธีการคัดออก

วิธีการกำจัดตัวแปรเกี่ยวข้องกับการบวกหรือลบสมการเพื่อกำจัดตัวแปรหนึ่งตัว ทำให้สามารถหาค่าตัวแปรที่เหลือได้

ขั้นตอน:
1. คูณสมการหนึ่งหรือทั้งสองสมการด้วยค่าคงที่ เพื่อให้สัมประสิทธิ์ของตัวแปรตัวใดตัวหนึ่งมีค่าตรงข้ามกัน
2. นำสมการมาบวกหรือลบกันเพื่อกำจัดตัวแปรหนึ่งตัว
3. แก้สมการที่ได้เพื่อหาค่าตัวแปรที่เหลือ
4. แทนค่านี้ลงในสมการเดิมสมการใดสมการหนึ่ง เพื่อหาค่าของตัวแปรที่ถูกตัดออก

ตัวอย่าง:
ลองพิจารณาระบบนี้:
\[
\begin{กรณี}
2x + 3y = 6
4x – y = 5
\end{กรณี}
\]

คูณสมการที่สองด้วย 3:
\[
4x – y = 5
12x – 3y = 15
\]

นำสมการที่สองที่แก้ไขแล้วไปบวกกับสมการแรก:
\[
2x + 3y + 12x – 3y = 6 + 15
14x = 21 \\
x = \frac{21}{14} = \frac{3}{2}
\]

แทนค่า \( x = \frac{3}{2} \) ลงในสมการดั้งเดิมสมการใดสมการหนึ่ง:
\[
2 \left(\frac{3}{2}\right) + 3y = 6 \\
3 + 3y = 6
3y = 3 \\
ย = 1
\]

ดังนั้น คำตอบคือ \( \left(x, y\right) = \left(\frac{3}{2}, 1\right) \).

4. วิธีเมทริกซ์ (การกำจัดแบบเกาส์และการหาเมทริกซ์ผกผัน)

สำหรับระบบขนาดใหญ่ วิธีการทางเมทริกซ์ เช่น การกำจัดแบบเกาส์ หรือการใช้เมทริกซ์ผกผัน อาจมีประสิทธิภาพมากกว่า

การกำจัดแบบเกาส์เซียน:
1. เขียนระบบในรูปเมทริกซ์เสริม
2. ใช้การดำเนินการแถวเพื่อแปลงเมทริกซ์ให้อยู่ในรูปแบบขั้นบันไดแถว
3. แทนค่ากลับเพื่อหาคำตอบ

ตัวอย่าง:
ระบบ:
\[
\begin{กรณี}
2x + 3y = 6
4x – y = 5
\end{กรณี}
\]

เมทริกซ์เสริม:
\[
\begin{pmatrix}
2 & 3 & | & 6 \\
4 & -1 & | & 5
\end{pmatrix}
\]

การดำเนินการแถวเพื่อแปลงเป็นรูปแบบขั้นบันไดแถว:
1. \( R2 \leftarrow R2 – 2R1 \):
\[
\begin{pmatrix}
2 & 3 & | & 6 \\
0 & -7 & | & -7
\end{pmatrix}
\]

ตัวสำรอง:
\[
-7y = -7 หมายความว่า y = 1
2x + 3(1) = 6 หมายความว่า 2x =