วิธีการคำนวณค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน

วิธีการคำนวณค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน

ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานเป็นหนึ่งในมาตรวัดทางสถิติที่ใช้บ่อยที่สุดในการกำหนดว่าข้อมูลนั้น "กระจายตัว" จากค่าเฉลี่ยมากน้อยเพียงใด ในชีวิตจริง ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานช่วยให้เราเข้าใจความคงที่หรือความผันแปรของปรากฏการณ์ต่างๆ เช่น ความผันแปรของคะแนนสอบ ความผันผวนของยอดขาย ความแตกต่างของส่วนสูง และแม้แต่ความเสี่ยงในข้อมูลทางการเงิน ยิ่งค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานน้อย ข้อมูลก็จะยิ่งอยู่ใกล้ค่าเฉลี่ย ในทางกลับกัน ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานที่สูงแสดงว่าข้อมูลอยู่ห่างจากค่าเฉลี่ยและมีความผันแปรสูง

บทความนี้จะกล่าวถึงความหมายของค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน สูตรที่ใช้ และขั้นตอนการคำนวณด้วยตนเองโดยใช้ตัวอย่างที่เข้าใจง่าย

1. นิยามของค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน

ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานคือรากที่สองของค่าความแปรปรวน ค่าความแปรปรวนเองคือค่าเฉลี่ยของกำลังสองของผลต่างระหว่างแต่ละจุดข้อมูลกับค่าเฉลี่ย ทำไมต้องใช้กำลังสอง? เพราะผลต่างระหว่างจุดข้อมูลกับค่าเฉลี่ยอาจเป็นค่าลบหรือค่าบวกก็ได้ หากนำผลต่างที่เป็นลบและบวกมาบวกกันโดยตรง ผลต่างเหล่านั้นอาจหักล้างกัน ทำให้ได้ผลลัพธ์ที่คลาดเคลื่อน การยกกำลังสองผลต่างจะทำให้ค่าทั้งหมดเป็นบวก ซึ่งช่วยให้วัดการกระจายของข้อมูลได้แม่นยำยิ่งขึ้น

อย่างง่าย:

– ค่าความแปรปรวน = การวัดการกระจายตัวในหน่วย “กำลังสอง”
– ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน = การวัดการกระจายตัวที่กลับคืนสู่หน่วยเดิมของข้อมูล

ตัวอย่างเช่น หากข้อมูลอยู่ในรูปของคะแนนสอบ (หน่วยเป็นคะแนน) ค่าความแปรปรวนจะมีหน่วยเป็นคะแนน ในขณะที่ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานก็จะมีหน่วยเป็นคะแนนเช่นกัน ทำให้ตีความได้ง่ายขึ้น

2. ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากรเทียบกับค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของกลุ่มตัวอย่าง

ก่อนทำการคำนวณ จำเป็นอย่างยิ่งที่จะต้องทราบว่าคุณมีข้อมูลประเภทใด:

1. ประชากร: ข้อมูลประกอบด้วยสมาชิกทั้งหมดที่จะทำการวิจัย
สูตรค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากรใช้ตัวหารคือ N (จำนวนข้อมูล)

2. ตัวอย่าง: ข้อมูลเป็นเพียงส่วนหนึ่งของประชากร โดยปกติจะใช้เพื่อเป็นตัวแทนของประชากรกลุ่มใหญ่กว่า
สูตรค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวอย่างใช้ตัวหาร (n − 1) เพื่อแก้ไขความคลาดเคลื่อนจากการประมาณค่า การแก้ไขนี้เรียกว่าการแก้ไขของเบสเซล

ในทางปฏิบัติทั่วไป (เช่น การวิจัย การสำรวจ การวิเคราะห์ชั้นเรียน) ข้อมูลมักถูกพิจารณาว่าเป็นตัวอย่าง ดังนั้นตัวหารจึงเป็น (n − 1)

3. สูตรค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน

ก. สูตรค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากร
สมมติว่าข้อมูลคือ: \( x_1, x_2, \dots, x_N \)
ค่าเฉลี่ยประชากร:
\[
μ = ∑_{i=1}^{N} x_i}{N}
\]
ความแปรปรวนของประชากร:
\[
σ² = ∑ᵢ=1ᵢⁿ(xᵢ – μ)²/N
\]
ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากร:
\[
σ = √σ²
\]

B. สูตรค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวอย่าง
ค่าเฉลี่ยตัวอย่าง:
\[
x = ∑_{i=1}^{n} x_i}{n}
\]
ความแปรปรวนของตัวอย่าง:
\[
s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i – \bar{x})^2}{n – 1}
\]
ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวอย่าง:
\[
s = √s²
\]

4. ขั้นตอนการคำนวณค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานด้วยตนเอง

เพื่อให้เข้าใจง่ายขึ้น เราจะใช้ข้อมูลคะแนนสอบของนักเรียน 5 คนเป็นตัวอย่าง:

ข้อมูล: 60, 70, 70, 80, 90

สมมติว่าข้อมูลนี้เป็นตัวอย่าง (ซึ่งพบได้ทั่วไปในตัวอย่างการเรียนรู้)

ขั้นตอนที่ 1: คำนวณค่าเฉลี่ย
\[
x = 60 + 70 + 70 + 80 + 90 / 5 = 370 / 5 = 74
\]

ดังนั้นคะแนนเฉลี่ยคือ 74

ขั้นตอนที่ 2: คำนวณความแตกต่างระหว่างข้อมูลแต่ละค่ากับค่าเฉลี่ย
สร้างคอลัมน์ผลต่าง \( (x_i – \bar{x}) \):

– 60 − 74 = −14
– 70 − 74 = −4
– 70 − 74 = −4
– 80 − 74 = 6
– 90 − 74 = 16

ขั้นตอนที่ 3: ยกกำลังสองผลต่าง
คำนวณ \( (x_i – \bar{x})^2 \):

– (−14)² = 196
– (−4)² = 16
– (−4)² = 16
– 6² = 36
– 16² = 256

ขั้นตอนที่ 4: บวกกำลังสองของผลต่างเข้าด้วยกัน
\[
∑(x_i – x)² = 196 + 16 + 16 + 36 + 256 = 520
\]

ขั้นตอนที่ 5: คำนวณค่าความแปรปรวน (สำหรับตัวอย่าง ให้หารด้วย n − 1)
เนื่องจาก n = 5 ดังนั้น n − 1 = 4:
\[
s^2 = \frac{520}{4} = 130
\]

ดังนั้นค่าความแปรปรวนของตัวอย่างคือ 130

ขั้นตอนที่ 6: หาค่ารากที่สองของค่าความแปรปรวนเพื่อให้ได้ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน
\[
s = √130 ≈ 11,40
\]

ดังนั้น ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลจึงอยู่ที่ประมาณ 11,40 ซึ่งหมายความว่า โดยเฉลี่ยแล้ว คะแนนของนักเรียนจะเบี่ยงเบนไปจากค่าเฉลี่ย 74 ประมาณ 11 คะแนน

5. วิธีลัด: สูตรทางเลือก (การคำนวณ)

นอกเหนือจากวิธีการคำนวณด้วยมือข้างต้นแล้ว ยังมีสูตรคำนวณที่มักใช้เพื่อเร่งความเร็วในการคำนวณ โดยเฉพาะอย่างยิ่งหากมีข้อมูลจำนวนมาก:

ความแปรปรวนของตัวอย่าง:
\[
s^2 = \frac{\sum x_i^2 – \frac{(\sum x_i)^2}{n}}{n – 1}
\]

สูตรนี้ช่วยหลีกเลี่ยงการคำนวณผลต่างทีละรายการ แต่ยังคงต้องการความแม่นยำเมื่อคำนวณผลรวมของกำลังสองของข้อมูล

อย่างไรก็ตาม เพื่อความเข้าใจในเชิงแนวคิด วิธีการทีละขั้นตอน (ผลต่าง → กำลังสอง → ผลรวม) มักจะง่ายกว่าและปลอดภัยกว่าจากข้อผิดพลาด

6. การตีความค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน

ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานไม่ได้หยุดอยู่แค่ที่ตัวเลข แต่ต้องมีการตีความด้วย:

– ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานน้อย: ข้อมูลกระจุกตัวอยู่ใกล้ค่าเฉลี่ย ความแปรปรวนต่ำ ผลลัพธ์มีความสม่ำเสมอมากขึ้น
– ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานสูง: ข้อมูลกระจายตัวห่างจากค่าเฉลี่ยมาก ความแปรปรวนสูง ผลลัพธ์ไม่สม่ำเสมอ

ตัวอย่างเช่น สมมติว่าสองชั้นเรียนมีคะแนนเฉลี่ยเท่ากันคือ 74 ถ้าชั้นเรียน A มีค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน 5 และชั้นเรียน B มีค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน 15 คะแนนในชั้นเรียน A จะมีความสม่ำเสมอและเสถียรมากกว่า ส่วนชั้นเรียน B มีความผันแปรมากกว่า คือมีทั้งคะแนนต่ำมากและคะแนนสูงมาก

7. ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

ข้อผิดพลาดทั่วไปบางประการในการคำนวณค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน:

1. ลืมแยกความแตกต่างระหว่างตัวอย่างและประชากร ดังนั้นตัวหารจึงผิด (N เทียบกับ n − 1)
2. การคำนวณค่าเฉลี่ยผิดพลาด ส่งผลให้ขั้นตอนต่อๆ ไปทั้งหมดผิดพลาดไปด้วย
3. ลืมยกกำลังสองผลต่าง หรือทำผิดพลาดตอนถอดรากที่สองในตอนท้าย
4. ข้อผิดพลาดทางคณิตศาสตร์เมื่อบวกหรือคำนวณกำลังสองของตัวเลข

การป้องกันข้อผิดพลาดสามารถทำได้โดยการสร้างตารางคำนวณและตรวจสอบผลลัพธ์ซ้ำอีกครั้ง

ปิด

การคำนวณค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานนั้นไม่ยากเลย หากคุณทำตามขั้นตอนอย่างถูกต้อง: คำนวณค่าเฉลี่ย หาผลต่างระหว่างชุดข้อมูลแต่ละชุด ยกกำลังสองผลต่างเหล่านั้น นำมารวมกัน หาร (ด้วย n หรือ n − 1) แล้วจึงถอดรากที่สอง การเข้าใจค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานจะช่วยให้คุณประเมินได้ว่าข้อมูลของคุณมีความสม่ำเสมอมากน้อยเพียงใด และมีความแปรปรวนมากน้อยแค่ไหน

ถ้าคุณต้องการ ผมสามารถสร้างตัวอย่างเพิ่มเติมที่มีข้อมูลมากขึ้น ตัวอย่างข้อมูลแบบจัดกลุ่ม (ตารางความถี่) หรือวิธีการคำนวณค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานโดยใช้ Excel/Google Sheets ได้ครับ