ความเร็วแก๊สที่มีประสิทธิภาพ

ในชั้นบรรยากาศของโลกไม่มีก๊าซฮีเลียมและไฮโดรเจนอิสระ มีเพียงไนโตรเจน (78%), ออกซิเจน (21%), อาร์กอน (0,90%), คาร์บอนไดออกไซด์ ฯลฯ ชั้นบรรยากาศของดาวศุกร์เกือบทั้งหมดเป็นคาร์บอนไดออกไซด์ (CO₂ ₎ชั้นบรรยากาศของดาวพฤหัสบดีมีฮีเลียมและไฮโดรเจนอิสระอยู่มาก ดวงจันทร์ไม่มีชั้นบรรยากาศ ทำไมชั้นบรรยากาศของแต่ละดาวเคราะห์จึงแตกต่างกัน? ทำไมในชั้นบรรยากาศของโลกจึงไม่มีฮีเลียมและไฮโดรเจนอิสระ?

ความเร็วรากกำลังสองเฉลี่ย

ความเร็วเฉลี่ยกำลังสอง (Root mean square velocity) = รากกำลังสองเฉลี่ย = v _rmsเราสามารถหาอนุพันธ์ของสมการ v _rms ได้ โดยการเปลี่ยนสมการอุณหภูมิและพลังงานจลน์ให้เป็นสมการการเคลื่อนที่เชิงเส้น

ข้อสังเกต:

v _rms = ค่าเฉลี่ยกำลังสองของความเร็ว หรือ อัตราเร็ว (เมตร/วินาที)

k = ค่าคงที่ของโบลต์ซมันน์ n (k = 1,38 x 10 ^‐23 J/K)

T = อุณหภูมิสัมบูรณ์ (K = เคลวิน)

ม. = มวล (กก.)

ข้อสังเกต:

v rms = ค่าเฉลี่ยกำลังสองของความเร็ว หรือ อัตราเร็ว (เมตร/วินาที)

R = ค่าคงที่ของแก๊สสากล (R = 8,315 J/mol.K = 8315 kJ/kmol.K)

NA = จำนวนโมเลกุลต่อโมล = เลขอะโวกาโด (NA = 6,02 x 10²³ ^/โมล = 6,02 x ^10²⁶ /กิโลโมล)

T = อุณหภูมิ (เคลวิน)

M = มวลโมเลกุล = มวลโมลาร์ (กิโลกรัม/กิโลโมล หรือ กรัม/โมล)

ค่า v rms ที่คำนวณได้ข้างต้นคือความเร็วเฉลี่ยของโมเลกุลในแก๊ส โมเลกุลบางตัวมีความเร็วมากกว่า v rms ในขณะที่โมเลกุลบางตัวมีความเร็วต่ำกว่า v rms ในปี ค.ศ. 1859 เจมส์ คลาร์ก แม็กซ์เวลล์ (ค.ศ. 1831–1879) ได้ค้นพบการกระจายความเร็วของโมเลกุลในแก๊สในเชิงทฤษฎี การกระจายความเร็วของโมเลกุลของแม็กซ์เวลล์ได้มาจากทฤษฎีจลน์ ดังนั้นจึงมีความแม่นยำมากกว่าสำหรับโมเลกุลของแก๊สในอุดมคติ การกระจายความเร็วของโมเลกุลของแม็กซ์เวลล์ปรากฏดังแสดงในกราฟด้านล่าง

ในปี ค.ศ. 1920 นักวิทยาศาสตร์หลายคนได้ทำการทดลองเพื่อตรวจสอบการกระจายความเร็วของโมเลกุลก๊าซจริง ปรากฏว่าการกระจายความเร็วของโมเลกุลก๊าซจริงที่พบจากการทดลองนั้นตรงกับผลการค้นพบของแม็กซ์เวลล์อย่างแม่นยำ

เมื่อความหนาแน่นของแก๊สสูงมากพอ การกระจายความเร็วของโมเลกุลแก๊สจริงที่ได้จากการทดลองจะไม่ตรงกับการกระจายความเร็วทางทฤษฎีที่ได้จากแม็กซ์เวลล์ ดังนั้น การกระจายความเร็วของแม็กซ์เวลล์ ซึ่งอิงตามทฤษฎีจลน์ของแก๊สโดยใช้กลศาสตร์นิวตัน จึงมีข้อจำกัด การกระจายความเร็วของโมเลกุลแก๊สที่ความหนาแน่นสูงสามารถอธิบายได้ด้วยหลักการควอนตัม

การกระจายตัวของอัตราโมเลกุลก๊าซจริงที่ได้จากการทดลองมีลักษณะดังรูปด้านล่าง

รูปนี้แสดงการกระจายความเร็วของโมเลกุลก๊าซจริงที่อุณหภูมิสองค่าที่แตกต่างกัน กราฟการกระจายความเร็วของโมเลกุลที่ได้จากการทดลองนี้สอดคล้องกับสมการ v rms ข้างต้น (v rms เป็นสัดส่วนโดยตรงกับอุณหภูมิ) เนื่องจาก v rms เป็นสัดส่วนโดยตรงกับอุณหภูมิ เมื่ออุณหภูมิเพิ่มขึ้น (T)₂) เส้นโค้งการกระจายอัตราโมเลกุลจะเลื่อนไปทางขวามากขึ้น (v rms มีค่ามากขึ้น) EA (พลังงานกระตุ้น) คือพลังงานจลน์ขั้นต่ำที่จำเป็นสำหรับการเกิดปฏิกิริยาเคมี

จากกราฟข้างต้น จะเห็นได้ว่ายิ่งอุณหภูมิสูง โมเลกุลก็จะยิ่งมีพลังงานจลน์มากกว่าพลังงานกระตุ้น (EA) มากขึ้น นี่คือเหตุผลที่ยิ่งอุณหภูมิสูง ปฏิกิริยาเคมีก็จะยิ่งเร็วขึ้น ยิ่งอุณหภูมิสูง พลังงานจลน์ของโมเลกุลก็จะยิ่งมากขึ้น เนื่องจากโมเลกุลมีพลังงานจลน์สูง เมื่อพวกมันชนกัน พวกมันจึงสามารถยึดติดกันได้

ตัวอย่างคำถามข้อที่ 1:

จงหาค่า rms v ของโมเลกุลไนโตรเจน (N₂ ₎ในอากาศที่อุณหภูมิ 20 ^องศาเซลเซียส (มวลโมเลกุลของไนโตรเจน = 28 กรัม/โมล = 28 กิโลกรัม/กิโลโมล)

การอภิปราย

k = 1,38 x 10 ^‐23 J/K = 1,38 x 10 ^‐23 (kg m ² /s ² )/K

T = 20 ^° C + 273 = 293 K

มวลโมลาร์หรือมวลโมเลกุลของ N₂ ₍ M) = 2 x 14 u = 2 x 14 กรัม/โมล = 28 กรัม/โมล = 28 กิโลกรัม/กิโลโมล (มวลอะตอมของ N = 14 u ดูได้จากตารางธาตุ)

จำนวนโมเลกุลต่อโมล = เลขอะโวกาโด (NA) = 6,02 x 10²³ ^/โมล = 6,02 x ^10²⁶ /กิโลโมล

มวลของไนโตรเจน (m) = ?

อัตรา rms ของไนโตรเจน (v rms) = ?

 

ตัวอย่างคำถามข้อที่ 2:

จงหาค่า rms v ของฮีเลียม (He) ในอากาศที่อุณหภูมิ 20 ^องศาเซลเซียส… (มวลโมเลกุลของฮีเลียม = 4 กรัม/โมล = 4 กิโลกรัม/กิโลโมล)

การอภิปราย

k = 1,38 x 10 ^‐23 J/K

T = 20 ^° C + 273 = 293 K

มวลโมลาร์/มวลโมเลกุลของฮีเลียม (M) = 4 u = 4 กรัม/โมล = 4 กิโลกรัม/กิโลโมล (มวลอะตอมของฮีเลียม = 4 u ดูได้จากตารางธาตุ)

จำนวนโมเลกุลต่อโมล = เลขอะโวกาโด (NA) = 6,02 x 10²³ ^/โมล = 6,02 x ^10²⁶ /กิโลโมล

มวล He (m) = ?

อัตรา RMS He (v rms) = ?

ตัวอย่างคำถามข้อที่ 3:

จงหาค่า rms v ของไฮโดรเจน (H₂ ₎ในอากาศที่อุณหภูมิ 20 ^องศาเซลเซียส… (มวลโมเลกุลของไฮโดรเจน = 2 กรัม/โมล = 4 กิโลกรัม/กิโลโมล)

การอภิปราย

k = 1,38 x 10 ^‐23 J/K

T = 20 ^° C + 273 = 293 K

มวลโมลาร์/M มวลโมเลกุลของไฮโดรเจน (M) = 2 x 1 u = 2 u = 2 กรัม/โมล = 2 กิโลกรัม/กิโลโมล (มวลอะตอมของ H = 1 u ดูได้จากตารางธาตุ)

จำนวนโมเลกุลต่อโมล = เลขอะโวกาโด (NA) = 6,02 x 10²³ ^/โมล = 6,02 x ^10²⁶ /กิโลโมล

มวลของ H₂ ₍ m) = ?

อัตรา RMS ของ H₂ ₍ v rms) = ?

ตัวอย่างคำถามข้อที่ 4:

จงหาอัตราการเคลื่อนที่เฉลี่ยกำลังสอง (rms rate) ของโมเลกุลออกซิเจน (O₂ ₎ในอากาศที่อุณหภูมิ 20 ^องศาเซลเซียส (มวลโมเลกุลของ O₂ ₌ 32 กรัม/โมล = 44 กิโลกรัม/กิโลโมล)

การอภิปราย

k = 1,38 x 10 ^‐23 J/K

T = 20 ^° C + 273 = 293 K

มวลโมลาร์/มวลโมเลกุลของออกซิเจน (M) = 2 x 16 u = 32 u = 32 กรัม/โมล = 32 กิโลกรัม/กิโลโมล (มวลอะตอมของ O = 16 u ดูตารางธาตุ)

จำนวนโมเลกุลต่อโมล = เลขอะโวกาโด (NA) = 6,02 x 10²³ ^/โมล = 6,02 x ^10²⁶ /กิโลโมล

มวลของ O ₂ (m) = ?

อัตรา RMS ของ H₂ ₍ v rms) = ?

ตัวอย่างคำถามข้อที่ 5:

จงหาอัตราการเคลื่อนที่เฉลี่ยกำลังสอง (rms rate) ของ โมเลกุล คาร์บอนไดออกไซด์ ( _CO₂ ) ในอากาศที่อุณหภูมิ 20 ^องศาเซลเซียส (มวลโมเลกุลของ CO₂ ₌ 44 กรัม/โมล = 44 กิโลกรัม/กิโลโมล)

การอภิปราย

k = 1,38 x 10 ^‐23 J/K = 1,38 x 10 ^‐23 (kg m ² /s ² )/K

T = 30 ^° C + 273 = 293 K

มวลโมลาร์/มวลโมเลกุลของ CO₂ ₍ M) = 12 u + (2 x 16 u) = 12 u + 32 u = 44 u = 44 กรัม/โมล = 44 กิโลกรัม/กิโลโมล (มวลอะตอมของ C = 12 u, มวลอะตอมของ O = 16 u ดูได้จากตารางธาตุ)

จำนวนโมเลกุลต่อโมล = เลขอะโวกาโด (NA ₎ = 6,02 x ^10²³ /โมล = 6,02 x ^10²⁶ /กิโลโมล

มวลของ CO₂ ₍ m) = ?

อัตรา rms ของ_CO2 (v rms) = ?

ค่า v rms ของก๊าซบางชนิด

ต่อไปนี้เรามาเปรียบเทียบค่า rms v ของก๊าซหลายชนิดกัน:

ความเร็วเชิงมุมเฉลี่ยกำลังสองของไฮโดรเจน (H₂ ₎ = 1917 เมตร/วินาที = 1,92 กิโลเมตร/วินาที (ที่อุณหภูมิ 20 ^องศาเซลเซียส)

ความเร็วเฉลี่ยกำลังสองของฮีเลียม (He) = 1355,7 เมตร/วินาที = 1,36 กิโลเมตร/วินาที (ที่อุณหภูมิ 20 ^องศาเซลเซียส)

ความเร็วเชิงมุมเฉลี่ยกำลังสองของไนโตรเจน (N₂ ₎ = 510,75 เมตร/วินาที = 0,51 กิโลเมตร/วินาที (ที่อุณหภูมิ 20 ^องศาเซลเซียส)

ความเร็วเฉลี่ยกำลังสองของออกซิเจน (O₂ ₎ = 478,4 เมตร/วินาที = 0,48 กิโลเมตร/วินาที (ที่อุณหภูมิ 20 ^องศาเซลเซียส)

ความเร็วเฉลี่ยของก๊าซคาร์บอนไดออกไซด์ (CO₂ ₎ = 407,6 เมตร/วินาที = 0,41 กิโลเมตร/วินาที (ที่อุณหภูมิ 20 ^องศาเซลเซียส)

ก๊าซที่มีความเร็วเฉลี่ยกำลังสอง (rms velocity) สูงที่สุดคือไฮโดรเจน และต่ำที่สุดคือคาร์บอนไดออกไซด์ ลองเปรียบเทียบกับความเร็วหลุดพ้นที่พื้นผิวโลก (ความเร็วหลุดพ้น = 11,2 กม./วินาที) ความเร็วหลุดพ้นคือความเร็วขั้นต่ำที่จำเป็นสำหรับวัตถุที่จะหลุดพ้นจากแรงโน้มถ่วงของโลก

ถ้าความเร็วเฉลี่ยกำลังสอง (v rms) ของโมเลกุลแก๊สมีค่าเพียง 1/6 เท่าของความเร็วหลุดพ้น (1/6 x 11,2 กม./วินาที = 1,86 กม./วินาที) แสดงว่ามีโมเลกุลแก๊สจำนวนมากที่มีความเร็วมากกว่าความเร็วหลุดพ้น (โปรดจำการกระจายความเร็วของโมเลกุลที่อธิบายไว้ข้างต้น) ที่อุณหภูมิ 20 ^องศาเซลเซียส ความเร็วเฉลี่ยกำลังสอง (v rms) ของแก๊สไฮโดรเจนเท่ากับ 1,92 กม./วินาที (มากกว่า 1,86 กม./วินาที) ในขณะเดียวกัน ความเร็วเฉลี่ยกำลังสอง (v rms) ของแก๊สฮีเลียมที่อุณหภูมิ 20 ^องศาเซลเซียส เท่ากับ 1,36 กม./ชั่วโมง (ใกล้เคียงกับ 1,86 กม./วินาที) นี่คือที่อุณหภูมิ 20 ^องศาเซลเซียส

ยิ่งอุณหภูมิสูง ค่า rms ก็ยิ่งสูงขึ้น และยิ่งค่า rms สูง โอกาสที่จะหลุดพ้นจากแรงโน้มถ่วงของโลกก็ยิ่งมากขึ้น นี่คือเหตุผลที่ฮีเลียมและไฮโดรเจนอิสระไม่มีอยู่ในชั้นบรรยากาศของโลก

ขนาดของความเร็วหลุดพ้นของดาวเคราะห์และความเร็วเฉลี่ยกำลังสอง (rms velocity) ของโมเลกุลก๊าซเป็นตัวกำหนดชนิดของชั้นบรรยากาศที่ดาวเคราะห์หรือดาวบริวารมี ความเร็วหลุดพ้นของดาวศุกร์คือ 10,3 กิโลเมตรต่อวินาที ความเร็วเฉลี่ยกำลังสองของ CO2 นั้น_น้อยมากจนยากที่จะหลุดพ้นจากชั้นบรรยากาศของดาวศุกร์ ในขณะเดียวกัน ความเร็วหลุดพ้นของดาวพฤหัสบดีคือ 60 กิโลเมตรต่อวินาที ซึ่งค่อนข้างสูงเนื่องจากดาวพฤหัสบดีมีเส้นผ่านศูนย์กลางขนาดใหญ่ ดังนั้นไฮโดรเจนและฮีเลียมจึงไม่สามารถหลุดพ้นจากสนามโน้มถ่วงของดาวพฤหัสบดีได้