ตัวอย่างโจทย์ปัญหาเกี่ยวกับการอธิบายเวกเตอร์ตำแหน่ง
เวกเตอร์เป็นแนวคิดพื้นฐานในคณิตศาสตร์และฟิสิกส์ โดยใช้แทนปริมาณที่มีทั้งทิศทางและขนาด ในการใช้งานต่างๆ เวกเตอร์มักถูกใช้เพื่ออธิบายตำแหน่ง ความเร็ว แรง และพารามิเตอร์อื่นๆ อีกมากมาย ในบรรดาเวกเตอร์ประเภทต่างๆ เวกเตอร์ตำแหน่งมีบทบาทสำคัญในการระบุตำแหน่งของจุดในอวกาศ
นิยามของเวกเตอร์ตำแหน่ง
เวกเตอร์ตำแหน่ง คือ เวกเตอร์ที่อธิบายตำแหน่งของจุดเทียบกับจุดกำเนิดในระบบพิกัด โดยทั่วไป เวกเตอร์ตำแหน่งจะเขียนในรูปแบบพิกัดคาร์ทีเซียนดังนี้:
\[ \mathbf{r} = x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k} \]
ในที่นี้ \(\mathbf{r}\) คือเวกเตอร์ตำแหน่ง \(x\), \(y\), และ \(z\) คือส่วนประกอบของเวกเตอร์ตำแหน่งตามแกน \(x\), \(y\), และ \(z\) ตามลำดับ ในขณะที่ \(\mathbf{i}\), \(\mathbf{j}\), และ \(\mathbf{k}\) คือเวกเตอร์หน่วยที่ขนานกับแกนพิกัดตามลำดับ ในปริภูมิสองมิติ ส่วนประกอบ \(z\) โดยทั่วไปจะไม่มีอยู่ ดังนั้นเวกเตอร์ตำแหน่งจึงกลายเป็น:
\[ \mathbf{r} = x\mathbf{i} + y\mathbf{j} \]
การประยุกต์ใช้เวกเตอร์ตำแหน่ง
ตัวอย่างเช่น ในวิชาฟิสิกส์ เวกเตอร์ตำแหน่งมีบทบาทสำคัญในการอธิบายการเคลื่อนที่ของวัตถุ ตำแหน่งของวัตถุเทียบกับจุดกำเนิด (จุดอ้างอิง) สามารถแสดงได้ด้วยเวกเตอร์ตำแหน่ง นอกจากนี้ ในวิศวกรรมเครื่องกล การคำนวณแรงและโมเมนต์มักเกี่ยวข้องกับการใช้เวกเตอร์ตำแหน่ง
ตัวอย่างคำถามและการอภิปรายเกี่ยวกับเวกเตอร์ตำแหน่ง
คำถามที่ 1
สมมติว่ามีจุดสองจุดในปริภูมิ 3 มิติ จุด A มีพิกัด \( (1, 2, 3) \) และจุด B มีพิกัด \( (4, 0, -2) \) จงหาเวกเตอร์ตำแหน่งของจุด A และจุด B นอกจากนี้ จงคำนวณเวกเตอร์ที่เชื่อมจุด A กับจุด B
การอภิปราย:
เวกเตอร์ตำแหน่งของจุด A:
\[ \mathbf{r_A} = 1\mathbf{i} + 2\mathbf{j} + 3\mathbf{k} \]
เวกเตอร์ตำแหน่งของจุด B:
\[ \mathbf{r_B} = 4\mathbf{i} + 0\mathbf{j} – 2\mathbf{k} \]
ต่อไป เพื่อหาเวกเตอร์ที่เชื่อมจุด A กับจุด B (เรียกว่า \(\mathbf{AB}\)) เราต้องลบเวกเตอร์ตำแหน่งของ A ออกจากเวกเตอร์ตำแหน่งของ B:
[ \mathbf{AB} = \mathbf{r_B} – \mathbf{r_A} \]
ดังนั้น เมื่อแทนค่าเวกเตอร์ตำแหน่งทั้งสองข้างต้น:
\[ \mathbf{AB} = (4\mathbf{i} + 0\mathbf{j} – 2\mathbf{k}) – (1\mathbf{i} + 2\mathbf{j} + 3\mathbf{k}) \]
\[ \mathbf{AB} = (4 – 1)\mathbf{i} + (0 – 2)\mathbf{j} + (-2 – 3)\mathbf{k} \]
\[ \mathbf{AB} = 3\mathbf{i} – 2\mathbf{j} – 5\mathbf{k} \]
ดังนั้น เวกเตอร์ที่เชื่อมจุด A กับจุด B คือ \( 3\mathbf{i} – 2\mathbf{j} – 5\mathbf{k} \)
คำถามที่ 2
ถ้าจุด P อยู่บน \((2, 3)\) ในระนาบ 2 มิติ จงหาความยาว (นอร์ม) ของเวกเตอร์ตำแหน่ง \(\mathbf{r_P}\).
การอภิปราย:
เวกเตอร์ตำแหน่งของจุด P:
\[ \mathbf{r_P} = 2\mathbf{i} + 3\mathbf{j} \]
ความยาวของเวกเตอร์ตำแหน่ง \(\mathbf{r_P}\) สามารถคำนวณได้โดยใช้สูตรนอร์ม (หรือความยาว) ของเวกเตอร์:
\[ \| \คณิตศาสตร์{r_P} \| = \sqrt{x^2 + y^2} \]
แทนค่าของ \(x\) และ \(y\):
\[ \| \คณิตศาสตร์{r_P} \| = \sqrt{2^2 + 3^2} \]
\[ \| \คณิตศาสตร์{r_P} \| = \sqrt{4 + 9} \]
\[ \| \คณิตศาสตร์{r_P} \| = \sqrt{13} \]
ดังนั้น ความยาวของเวกเตอร์ตำแหน่ง \(\mathbf{r_P}\) คือ \(\sqrt{13}\).
คำถามที่ 3
สมมติว่าจุด Q อยู่ที่ \( (5, -4, 2) \). จงหามุมระหว่างเวกเตอร์ตำแหน่ง \(\mathbf{r_Q}\) กับแกน \(x\)
การอภิปราย:
เวกเตอร์ตำแหน่งของจุด Q:
\[ \mathbf{r_Q} = 5\mathbf{i} – 4\mathbf{j} + 2\mathbf{k} \]
ในการหาค่ามุมระหว่างเวกเตอร์ \(\mathbf{r_Q}\) กับแกน \(x\) เราสามารถใช้แนวคิดของผลคูณดอทได้ ขั้นแรก เราหาผลคูณดอทระหว่าง \(\mathbf{r_Q}\) กับ \(\mathbf{i}\):
\[ \mathbf{r_Q} \cdot \mathbf{i} = 5\mathbf{i} \cdot \mathbf{i} + (-4\mathbf{j} \cdot \mathbf{i}) + 2\mathbf{k} \cdot \mathbf{i} \]
เนื่องจาก \(\mathbf{i} \cdot \mathbf{i} = 1\), \(\mathbf{j} \cdot \mathbf{i} = 0\), และ \(\mathbf{k} \cdot \mathbf{i} = 0\), ดังนั้น:
\[ \mathbf{r_Q} \cdot \mathbf{i} = 5 \]
ค่ามาตรฐานของ \(\mathbf{r_Q}\):
\[ \| \คณิตศาสตร์{r_Q} \| = \sqrt{5^2 + (-4)^2 + 2^2} \]
\[ \| \คณิตศาสตร์{r_Q} \| = \sqrt{25 + 16 + 4} \]
\[ \| \คณิตศาสตร์{r_Q} \| = \sqrt{45} \]
\[ \| \คณิตศาสตร์{r_Q} \| = 3\sqrt{5} \]
ค่าบรรทัดฐานของ \(\mathbf{i}\) คือ 1 เนื่องจาก \(\mathbf{i}\) เป็นเวกเตอร์หน่วย
ใช้สูตรผลคูณดอทเพื่อหาค่ามุม \(\theta\):
\[ \mathbf{r_Q} \cdot \mathbf{i} = \| \คณิตศาสตร์{r_Q} \| \| \คณิตศาสตร์{i} \| \คอส\ทีต้า\]
[ 5 = 3\sqrt{5} \cos\theta \]
[ cos\theta = 5}{3\sqrt{5}} ]
[ cos\theta = 5}{3√5} ⋅ √5}{√5} ]
[ cos\theta = 5\sqrt{5}}{15} ]
[ cos\theta = \frac{\sqrt{5}}{3} \]
ดังนั้นมุม \(\theta\) ระหว่างเวกเตอร์ตำแหน่ง \(\mathbf{r_Q}\) และแกน \(x\) คือ:
[ θ = cos^{-1} (\frac{\sqrt{5}}{3}\right) ]
บทสรุป
เวกเตอร์ตำแหน่งมีบทบาทสำคัญในวิทยาศาสตร์และวิศวกรรม โดยเฉพาะอย่างยิ่งในการกำหนดตำแหน่งของวัตถุในระบบพิกัด ตัวอย่างข้างต้นแสดงให้เห็นถึงวิธีการคำนวณเวกเตอร์ตำแหน่ง ความยาวของเวกเตอร์ และมุมระหว่างเวกเตอร์กับแกนพิกัด การเข้าใจแนวคิดพื้นฐานเหล่านี้มีคุณค่าอย่างยิ่งในการแก้ปัญหาต่างๆ ที่เกี่ยวข้องกับพื้นที่และพิกัดในคณิตศาสตร์และฟิสิกส์
