ตัวอย่างคำถามและการอภิปรายเกี่ยวกับการลดลงแบบเอกซ์ponential
การลดลงแบบเลขชี้กำลังเป็นปรากฏการณ์ทางธรรมชาติที่พบได้ในหลากหลายสาขา เช่น ฟิสิกส์ เคมี ชีววิทยา และเศรษฐศาสตร์ ในฐานะแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ การลดลงแบบเลขชี้กำลังอธิบายกระบวนการที่ปริมาณที่กำหนดลดลงตามสัดส่วนของปริมาณปัจจุบัน ในทางคณิตศาสตร์ การลดลงแบบเลขชี้กำลังมีรูปแบบทั่วไปดังนี้:
[ N(t) = N_0 e^{-\lambda t} \]
ที่ไหน:
– \( N(t) \) คือปริมาณที่เหลืออยู่ ณ เวลา \( t \)
– \( N_0 \) คือจำนวนเริ่มต้น
– λ คือค่าคงที่การสลายตัว (มักเรียกว่าอัตราการสลายตัว)
– \( t \) คือเวลา
– e คือฐานของลอการิทึมธรรมชาติ (ประมาณ 2.718)
ในบทความนี้ เราจะกล่าวถึงตัวอย่างของปัญหาการลดลงแบบเลขชี้กำลัง พร้อมทั้งวิธีแก้ปัญหา เพื่อช่วยให้เข้าใจแนวคิดนี้ได้ลึกซึ้งยิ่งขึ้น
ตัวอย่างคำถามที่ 1: การสลายตัวของสารกัมมันตรังสี
คำถาม:
สารกัมมันตรังสีชนิดหนึ่งมีครึ่งชีวิต 5 ปี ถ้าเริ่มต้นมีสารนี้ 100 กรัม จะเหลือสารนี้อยู่เท่าใดหลังจาก 15 ปี?
การอภิปราย:
การสลายตัวของสารกัมมันตรังสีสามารถจำลองได้โดยใช้สูตรการสลายตัวแบบเอกซ์ponential ครึ่งชีวิต (\( t_{1/2} \)) คือเวลาที่ต้องใช้เพื่อให้สารกัมมันตรังสีสลายตัวไปครึ่งหนึ่ง โดยทราบว่า \( t_{1/2} = 5 \) ปี
ขั้นแรก เราต้องหาค่าคงที่การสลายตัว \( \lambda \) โดยใช้สูตร:
[ แลมบ์ดา = ln 2 / t1/2 ]
[ แลมบ์ดา = ln 2}{5 ประมาณ 0.1386 ปี⁻¹ ]
ดังนั้น สูตรการลดลงแบบเลขชี้กำลังคือ:
[ N(t) = N_0 e^{-\lambda t} \]
\[ N(t) = 100 e^{-0.1386 \times 15} \]
ต่อไป เราจะคำนวณค่า:
\[ N(t) = 100 e^{-2.079} \]
[ N(t) = 100 × 0.125 ]
[ N(t) ≈ 12.5 กรัม ]
ดังนั้น หลังจากผ่านไป 15 ปี จะเหลือสารกัมมันตรังสีอยู่ประมาณ 12.5 กรัม
ตัวอย่างที่ 2: การเสื่อมสภาพของตัวเก็บประจุ
คำถาม:
ตัวเก็บประจุที่มีประจุเริ่มต้น \( Q_0 = 200 \text{ C} \) ถูกปล่อยให้คายประจุในวงจร ค่าคงที่เวลาคือ \( \tau = 4 \text{ s} \) จะเหลือประจุเท่าใดหลังจาก 10 วินาที?
การอภิปราย:
ในกรณีที่ประจุของตัวเก็บประจุลดลง จะใช้แบบจำลองเลขชี้กำลังดังนี้:
[ Q(t) = Q_0 e^{-t/\tau} ]
กำหนดให้ \( Q_0 = 200 \text{ C} \) และ \( \tau = 4 \text{ s} \). เราต้องหาค่า \( Q(10) \):
\[ Q(10) = 200 e^{-10/4} \]
\[ Q(10) = 200 e^{-2.5} \]
การคำนวณค่าเลขชี้กำลัง:
[ Q(10) = 200 \times 0.0821 \]
[ Q(10) ≈ 16.42 C ]
ดังนั้น หลังจากผ่านไป 10 วินาที ประจุที่เหลืออยู่บนตัวเก็บประจุจะอยู่ที่ประมาณ 16.42 คูลอมบ์
ตัวอย่างคำถามข้อที่ 3: การสลายตัวทางเคมี
คำถาม:
สารเคมีชนิดหนึ่งมีค่าคงที่การสลายตัวเท่ากับ λ = 0.05 วัน⁻¹ ต้องใช้เวลานานเท่าใดจึงจะทำให้สารเคมีชนิดนี้ลดลงเหลือ 25% ของปริมาณเดิม?
การอภิปราย:
เราเริ่มต้นด้วยสูตรทั่วไปของการลดลงแบบเลขชี้กำลัง:
[ N(t) = N_0 e^{-\lambda t} \]
เราต้องการให้ N(t) เป็น 25% ของ \( N_0 \) ดังนั้น:
\[ 0.25 N_0 = N_0 e^{-0.05 t} \]
กำจัด \( N_0 \) ออกจากทั้งสองข้าง:
\[ 0.25 = e^{-0.05 t} \]
การใช้ลอการิทึมธรรมชาติในการแก้ปัญหากรณีเลขยกกำลัง:
[ ln 0.25 = -0.05 t ]
[ -1.3863 = -0.05 t ]
แก้สมการหาค่า \( t \):
t = 1.3863}{0.05} ]
t ≈ 27.726 วัน ]
ดังนั้น ระยะเวลาที่สารเคมีจะลดลงเหลือ 25% ของปริมาณเริ่มต้นจึงอยู่ที่ประมาณ 27.726 วัน
ตัวอย่างคำถามข้อที่ 4: การลดลงของประชากรแบคทีเรีย
คำถาม:
ประชากรแบคทีเรียลดลงในอัตราเลขชี้กำลัง โดยหลังจาก 3 ชั่วโมง ประชากรแบคทีเรียจะเหลือครึ่งหนึ่งของจำนวนเริ่มต้น ถ้าประชากรแบคทีเรียเริ่มต้นมี 8000 ตัว จะเหลือแบคทีเรียกี่ตัวหลังจาก 9 ชั่วโมง
การอภิปราย:
เป็นที่ทราบกันว่าครึ่งชีวิต \( t_{1/2} = 3 \) ชั่วโมง ขั้นแรกเราหาค่าคงที่การสลายตัว \( \lambda \):
[ แลมบ์ดา = ln 2 / t1/2 ]
[ แลมบ์ดา = ln 2}{3 ประมาณ 0.231 ชั่วโมง⁻¹ ]
หลังจากนั้น เราจะใช้สูตรการลดลงแบบเลขชี้กำลัง:
[ N(t) = N_0 e^{-\lambda t} \]
[ N(9) = 8000 e^{-0.231 \times 9} \]
การคำนวณค่าเลขชี้กำลัง:
\[ N(9) = 8000 e^{-2.079} \]
[ N(9) = 8000 \times 0.125 \]
[ N(9) ประมาณ 1000 ]
ดังนั้น หลังจากผ่านไป 9 ชั่วโมง จะเหลือแบคทีเรียอยู่ประมาณ 1000 ตัว
บทสรุป
แบบจำลองการสลายตัวแบบเอกซ์ponential เป็นแนวทางที่มีประสิทธิภาพในการแก้ปัญหาที่เกี่ยวข้องกับกระบวนการสลายตัวในงานวิทยาศาสตร์และวิศวกรรมหลายแขนง โดยการทำความเข้าใจแนวคิดพื้นฐาน เช่น ค่าคงที่การสลายตัว ครึ่งชีวิต และการใช้สูตรเอกซ์ponential เราสามารถคำนวณการเปลี่ยนแปลงของปริมาณหนึ่งๆ ในช่วงเวลาหนึ่งได้อย่างง่ายดาย แบบฝึกหัดที่กล่าวถึงข้างต้นจะช่วยให้เราเข้าใจและนำแนวคิดการสลายตัวแบบเอกซ์ponential ไปประยุกต์ใช้ในสถานการณ์ที่ซับซ้อนมากขึ้นได้
