ตัวอย่างคำถามอภิปรายเกี่ยวกับสัมประสิทธิ์การกำหนด
ค่าสัมประสิทธิ์การกำหนด (R²) เป็นพารามิเตอร์สำคัญในการวิเคราะห์การถดถอย ซึ่งบ่งชี้ว่าแบบจำลองการถดถอยสามารถอธิบายความแปรปรวนที่แท้จริงของข้อมูลได้ดีเพียงใด ในบทความนี้ เราจะอธิบายแนวคิดของค่าสัมประสิทธิ์การกำหนดผ่านตัวอย่างและการอภิปรายอย่างละเอียด
แนวคิดพื้นฐานของค่าสัมประสิทธิ์การกำหนด
ค่าสัมประสิทธิ์การกำหนด หรือ \( R^2 \) มีค่าอยู่ในช่วง 0 ถึง 1 โดยที่:
– \( R^2 = 0 \) แสดงว่าแบบจำลองการถดถอยไม่สามารถอธิบายความแปรปรวนของข้อมูลได้เลย
– \( R^2 = 1 \) แสดงว่าแบบจำลองการถดถอยสามารถอธิบายความแปรปรวนทั้งหมดของข้อมูลได้อย่างสมบูรณ์แบบ
สูตรพื้นฐานสำหรับการคำนวณค่าสัมประสิทธิ์การกำหนดคือ:
\[ R^2 = 1 – \frac{SSR}{SST} \]
ดี มานา:
– SSR (Sum of Squared Residuals) คือผลรวมของกำลังสองของความแตกต่างระหว่างค่าที่ทำนายโดยแบบจำลองกับค่าจริง
– SST (Total Sum of Squares) คือผลรวมของกำลังสองของความแตกต่างระหว่างค่าจริงกับค่าเฉลี่ยของค่าจริง
ตัวอย่างปัญหา
เรามาลองพิจารณาตัวอย่างปัญหาเพื่อทำความเข้าใจการคำนวณค่าสัมประสิทธิ์การกำหนด (coefficient of determination) ให้ลึกซึ้งยิ่งขึ้นกัน
ตัวอย่างปัญหา:
สมมติว่าเรามีข้อมูลเกี่ยวกับจำนวนชั่วโมงเรียน (X) และคะแนนสอบ (Y) ของนักเรียน 10 คน:
| นักเรียน | ชั่วโมงเรียน (X) | คะแนนสอบ (Y) |
|——-|——————–|——————–|
| 1 | 2 | 58 |
| 2 | 3 | 64 |
| 3 | 4 | 70 |
| 4 | 5 | 85 |
| 5 | 2 | 57 |
| 6 | 3 | 68 |
| 7 | 4 | 72 |
| 8 | 5 | 90 |
| 9 | 3 | 62 |
| 10 | 4 | 78 |
เราจะสร้างแบบจำลองการถดถอยเชิงเส้นอย่างง่าย โดยทำนายคะแนนสอบ (Y) จากจำนวนชั่วโมงเรียน (X)
การอภิปราย
1. การสร้างแบบจำลองการถดถอยเชิงเส้นอย่างง่าย
แบบจำลองการถดถอยเชิงเส้นอย่างง่ายมีรูปแบบดังนี้:
[Y = a + bX]
ดี มานา:
– \( Y \) คือคะแนนสอบที่คาดการณ์ไว้
– \( X \) คือจำนวนชั่วโมงเรียน
– \( a \) คือจุดตัดแกน Y (จุดตัดบนแกน Y เมื่อ X = 0)
– \( b \) คือค่าความชัน (ความเอียงของเส้นถดถอย)
ในการคำนวณค่าพารามิเตอร์ \( a \) และ \( b \) เราใช้สูตรต่อไปนี้:
\[ b = \frac{n(\sum{XY}) – (\sum{X})(\sum{Y})}{n(\sum{X^2}) – (\sum{X})^2} \]
\[ a = \frac{\sum{Y} – b(\sum{X})}{n} \]
โดยที่ n คือจำนวนข้อมูล (ในกรณีนี้ n = 10)
จากตารางเราสามารถคำนวณได้ดังนี้:
– \(\sum{X} = 36\)
– \(\sum{Y} = 704\)
– \(\sum{X^2} = 140\)
– \(\sum{Y^2} = 50428\)
– \(\sum{XY} = 2576\)
เรามาคำนวณค่า b ก่อน:
[ b = \frac{10(2576) – (36)(704)}{10(140) – (36)^2} \]
\[ b = \frac{25760 – 25344}{1400 – 1296} \]
[ b = \frac{416}{104} \]
[ b = 4 \]
จากนั้น เราคำนวณค่า a:
\[ a = \frac{704 – 4(36)}{10} \]
[ a = \frac{704 – 144}{10} \]
[a = 560}{10]
\[ ก = 56 \]
ดังนั้น แบบจำลองการถดถอยเชิงเส้นที่เราได้คือ:
[Y = 56 + 4X]
2. คำนวณค่าที่คาดการณ์ (Y')
ต่อไป เราจะคำนวณค่าที่คาดการณ์ไว้ \( Y' \) สำหรับแต่ละ \( X \):
| นักเรียน | ชั่วโมงเรียน (X) | คะแนนสอบ (Y) | คะแนนที่คาดการณ์ (Y') |
|——-|——————–|——————–|————————-|
| 1 | 2 | 58 | \( 56 + 4(2) = 64 \) |
| 2 | 3 | 64 | \( 56 + 4(3) = 68 \) |
| 3 | 4 | 70 | \( 56 + 4(4) = 72 \) |
| 4 | 5 | 85 | \( 56 + 4(5) = 76 \) |
| 5 | 2 | 57 | \( 56 + 4(2) = 64 \) |
| 6 | 3 | 68 | \( 56 + 4(3) = 68 \) |
| 7 | 4 | 72 | \( 56 + 4(4) = 72 \) |
| 8 | 5 | 90 | \( 56 + 4(5) = 76 \) |
| 9 | 3 | 62 | \( 56 + 4(3) = 68 \) |
| 10 | 4 | 78 | \( 56 + 4(4) = 72 \) |
3. การคำนวณ SSR และ SST
ต่อไป เราจะคำนวณ SSR และ SST เพื่อให้ได้ \( R^2 \).
สสส:
[ SSR = ∑(Y – Y')² ]
[ SSR = (58 – 64)^2 + (64 – 68)^2 + (70 – 72)^2 + (85 – 76)^2 + (57 – 64)^2 + (68 – 68)^2 + (72 – 72)^2 + (90 – 76)^2 + (62 – 68)^2 + (78 – 72)^2 ]
[SSR = 36 + 16 + 4 + 81 + 49 + 0 + 0 + 196 + 36 + 36]
[ SSR = 454 \]
สวท:
\[ SST = \sum{(Y – \bar{Y})^2} \]
ดี มานา:
\[ \bar{Y} = \frac{\sum{Y}}{n} = \frac{704}{10} = 70.4 \]
[ SST = (58 – 70.4)^2 + (64 – 70.4)^2 + (70 – 70.4)^2 + (85 – 70.4)^2 + (57 – 70.4)^2 + (68 – 70.4)^2 + (72 – 70.4)^2 + (90 – 70.4)^2 + (62 – 70.4)^2 + (78 – 70.4)^2 ]
[ SST = 153.76 + 40.96 + 0.16 + 213.16 + 178.56 + 5.76 + 2.56 + 384.16 + 70.56 + 57.76 ]
[ SST = 1107.44 \]
4. การคำนวณค่าสัมประสิทธิ์การกำหนด \( R^2 \):
\[ R^2 = 1 – \frac{SSR}{SST} \]
[ R^2 = 1 – \frac{454}{1107.44} \]
[ R^2 = 1 – 0.41 ]
[ R^2 = 0.59 \]
บทสรุป
จากการคำนวณข้างต้น เราได้ค่าสัมประสิทธิ์การกำหนด (R2 = 0.59) ซึ่งแสดงว่าแบบจำลองการถดถอยเชิงเส้นที่เราสร้างขึ้นสามารถอธิบายความแปรปรวนของคะแนนสอบโดยพิจารณาจากชั่วโมงการเรียนได้ประมาณ 59% ส่วนความแปรปรวนที่เหลืออีก 41% อาจเกิดจากปัจจัยอื่น ๆ ที่ไม่ได้รวมอยู่ในแบบจำลอง
จากการทำความเข้าใจขั้นตอนและการคำนวณข้างต้น เราจะเห็นถึงความสำคัญของค่าสัมประสิทธิ์การกำหนด (Coefficient of Determination) ในการประเมินว่าแบบจำลองการถดถอยที่เราสร้างขึ้นนั้นสามารถอธิบายความแปรปรวนที่แท้จริงของข้อมูลได้ดีเพียงใด มันเป็นเครื่องมือที่มีประโยชน์มากในการวิเคราะห์ทางสถิติและการสร้างแบบจำลองข้อมูล
