ఘాతాంక సూత్రాన్ని ఉపయోగించి

5) ఫలితాన్ని లెక్కించండి. ఘాతాంకం పెద్దగా ఉంటే లేదా దశాంశాలు ఉంటే కాలిక్యులేటర్‌ను ఉపయోగించండి. 4. ఘాతాంక వృద్ధి అనువర్తనానికి ఉదాహరణలు ఉదాహరణ 1: సాధారణ చక్రవడ్డీ ఒక వ్యక్తి సంవత్సరానికి 8% వడ్డీ రేటుతో Rp. 5.000.000 ఆదా చేస్తాడు, ప్రతి సంవత్సరం చివరిలో వడ్డీ చెల్లించబడి బ్యాలెన్స్‌కు జోడించబడుతుంది (చక్రవడ్డీ). 5 సంవత్సరాల తర్వాత బ్యాలెన్స్ ఎంత? ఇవ్వబడినవి: - \(N_0 = 5.000.000\) - \(a = 1 + 0,08 = 1,08\) - \(t = 5\) సూత్రం: \[ N(5) = 5.000.000 \times (1,08)^5 \] విలువ \((1,08)^5 \approx 1,4693\) కాబట్టి: \[ N(5) \approx 5.000.000 \times 1,4693 = 7.346.500 \] మిగులు సుమారుగా Rp7.346.500 (రౌండింగ్‌ను బట్టి). ఉదాహరణ 2: అప్లికేషన్ వినియోగదారుల పెరుగుదల ఒక అప్లికేషన్‌లో 20.000 మంది వినియోగదారులు ఉన్నారు. వినియోగదారుల సంఖ్య నెలకు 25% చొప్పున పెరుగుతోంది. 6 నెలల తర్వాత ఎంత మంది వినియోగదారులు ఉంటారు? - \(N_0 = 20.000\) - \(a = 1,25\) - \(t = 6\) \[ N(6) = 20.000 \times 1,25^6 \] \(1,25^6 \approx 3,8147\) అయినందున,: \[ N(6) \approx 20.000 \times 3,8147 = 76.294 \] కాబట్టి 6 నెలల తర్వాత వినియోగదారులు సుమారుగా 76.294 మంది ఉంటారు. 5. ఘాతాంక క్షయం యొక్క అనువర్తనానికి ఉదాహరణలు ఉదాహరణ 3: వస్తువుల తరుగుదల (డిప్రిసియేషన్) Rp. 18.000.000 విలువైన మోటార్‌బైక్ సంవత్సరానికి 12% తరుగుదలకు గురవుతుంది. 4 సంవత్సరాల తర్వాత దాని విలువ ఎంత? - \(N_0 = 18.000.000\) - 12% తగ్గింది → \(a = 0,88\) - \(t = 4\) \[ N(4) = 18.000.000 \times 0,88^4 \] \(0,88^4 \approx 0,5997\) కాబట్టి: \[ N(4) \approx 18.000.000 \times 0,5997 = 10.794.600 \] దీని విలువ సుమారుగా Rp10.794.600. ఉదాహరణ 4: ఒక పదార్థం యొక్క క్షయం ఒక పదార్థం ప్రతి గంటకు 5% తగ్గుతుందని అనుకుందాం. అది మొదట 200 గ్రాములు ఉంటే, 10 గంటల తర్వాత ఎంత మిగిలి ఉంటుంది? - \(N_0=200\) - \(a=0,95\) - \(t=10\) \[ N(10)=200 \times 0,95^{10} \] \(0,95^{10} \approx 0,5987\) కాబట్టి: \[ N(10)\approx 200 \times 0,5987 = 119,74 \] మిగిలినది సుమారుగా 119,74 గ్రాములు. 6. సంవర్గమానాలతో సమయాన్ని నిర్ధారించడం (\(t\)ను కనుగొనడం) కొన్నిసార్లు ప్రశ్న తుది విలువ గురించి కాదు, కానీ "ఎంత సమయం పడుతుంది" అని ఉంటుంది. దాని కోసం, మనకు సంవర్గమానాలు అవసరం. ఒకవేళ: \[ N(t) = N_0 a^t \] అయితే: \[ \frac{N(t)}{N_0} = a^t \] లాగ్ తీసుకోండి: \[ t = \frac{\log\left(\frac{N(t)}{N_0}\right)}{\log(a)} \] ఒక చిన్న ఉదాహరణ: పొదుపు సంవత్సరానికి 10% పెరుగుతుంది. అది ఎప్పుడు రెట్టింపు అవుతుంది? - \(a=1,10\) - \(\frac{N(t)}{N_0}=2\) \[ t = \frac{\log(2)}{\log(1,10)} \approx \frac{0,3010}{0,0414} \approx 7,27 \] అంటే సుమారు 7,27 సంవత్సరాలు. 7. ఘాతాంక సూత్రాలను ఉపయోగించేటప్పుడు చేసే సాధారణ తప్పులు 1) శాతాలను ప్రధాన గుణకంగా 0,10కు బదులుగా 10% కారకాలుగా తప్పుగా మార్చడం, కానీ పెరుగుదల కోసం 1,10గా మార్చడం. 2) తప్పుడు కాలమాన ప్రమాణాలు: శాతం నెలకు అయితే, మార్పిడి చేయకుండా సంవత్సరాలలో \(t\) ను ఉపయోగించవద్దు. 3) ఘాతాంక వృద్ధిని రేఖీయ వృద్ధిగా పొరబడటం: రేఖీయ వృద్ధి ప్రతి కాలానికి +5 వంటి "స్థిరమైన మొత్తాన్ని" జోడిస్తుంది. ఘాతాంక వృద్ధి "స్థిరమైన శాతాన్ని" జోడిస్తుంది, కాబట్టి కాలక్రమేణా పెరుగుదల పెద్దదిగా అవుతుంది. 4) చాలా తొందరగా రౌండింగ్ చేయడం: గణన మధ్యలో కొన్ని సంఖ్యలను ఉంచి, వాటిని చివరలో రౌండింగ్ చేయడానికి ప్రయత్నించండి. 8. ముగింపు: ఘాతాంక సూత్రాలను ఉపయోగించడం వల్ల కాలక్రమేణా ఘాతాంక పద్ధతిలో మారే దృగ్విషయాలను అర్థం చేసుకోవడానికి సహాయపడుతుంది. ప్రారంభ విలువ \(N_0\) తెలుసుకోవడం, వృద్ధి/క్షయ కారకం \(a\) మరియు సమయం \(t\) లను నిర్ణయించడం ద్వారా, మనం భవిష్యత్ విలువలను అంచనా వేయవచ్చు లేదా ఒక లక్ష్యాన్ని సాధించడానికి ఎంత సమయం పడుతుందో లెక్కించవచ్చు. ఈ సూత్రం అర్థశాస్త్రం, విజ్ఞానశాస్త్రం, సాంకేతికత మరియు నిజ జీవితంలోని అనేక అంశాలలో చాలా ముఖ్యమైనది. ప్రమాణాలలో స్థిరత్వం మరియు శాతాలను కారకాలుగా మార్చడంలో కచ్చితత్వం కీలకం. మీరు ప్రాథమికాలను నేర్చుకున్న తర్వాత, ఘాతాంక సమస్యలు చాలా సులభంగా అనిపిస్తాయి మరియు అర్థవంతంగా ఉంటాయి. మీకు కావాలంటే, నేను అభ్యాస సమస్యలను మరియు వివరణలను జోడించగలను, లేదా ఈ వ్యాసాన్ని ప్రాథమిక, మాధ్యమిక లేదా ఉన్నత పాఠశాల విద్యార్థులకు అనుగుణంగా మార్చగలను.