ఒకే డేటా యొక్క విచలనం మరియు ప్రామాణిక విచలనాన్ని చర్చించే ఉదాహరణ ప్రశ్నలు

ఉదాహరణ ప్రశ్నలు మరియు చర్చ: ఒకే డేటా యొక్క విస్తృతి మరియు ప్రామాణిక విచలనం

గణాంక శాస్త్రం అనేది గణితశాస్త్రంలో ఒక శాఖ, ఇది దత్తాంశ సేకరణ, విశ్లేషణ, వివరణ, ప్రదర్శన మరియు వ్యవస్థీకరణకు సంబంధించినది. గణాంక శాస్త్రంలో విస్తృతి మరియు ప్రామాణిక విచలనం అనేవి రెండు ముఖ్యమైన భావనలు. ఈ వ్యాసం అనేక ఉదాహరణ సమస్యల ద్వారా ఒకే దత్తాంశ సమితి యొక్క విస్తృతి మరియు ప్రామాణిక విచలనాన్ని ఎలా లెక్కించాలో వివరంగా చర్చిస్తుంది.

వేరియెన్స్ మరియు ప్రామాణిక విచలనాన్ని అర్థం చేసుకోవడం

విచలనం అనేది ఒక దత్తాంశ సమితిలోని సంఖ్యలు సగటు నుండి ఎంత దూరంలో విస్తరించి ఉన్నాయో పరిమాణాత్మకంగా తెలియజేసే ఒక కొలమానం. విచలనాన్ని అసలు దత్తాంశం యొక్క చదరపు యూనిట్లలో వ్యక్తపరుస్తారు, అందువల్ల దీనిని అర్థం చేసుకోవడం తరచుగా కష్టంగా ఉంటుంది.

ప్రామాణిక విచలనం అనేది విచలనం యొక్క వర్గమూలం. దీని యూనిట్లు డేటా యొక్క అసలు యూనిట్ల వలెనే ఉంటాయి కాబట్టి, డేటా సాధారణంగా సగటు నుండి ఎంతవరకు విచలిస్తుందో ఇది మరింత సహజమైన కొలమానాన్ని అందిస్తుంది.

సాధారణ సూత్రం

ఒకే డేటా కోసం, జనాభా యొక్క విచలనం \( \sigma^2 \) మరియు ప్రామాణిక విచలనం \( \sigma \) కొరకు సూత్రం ఈ క్రింది విధంగా ఉంటుంది:

1. విచలనం (σ²):
\( \sigma^2 = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (x_i – \mu)^2 \)

2. ప్రామాణిక విచలనం (σ):
\( \sigma = \sqrt{\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (x_i – \mu)^2} \)

ఎక్కడ:
– \( N \) అనేది జనాభాలోని డేటా సంఖ్య.
– \( x_i \) అనేది iవ డేటా విలువ.
– \( \mu \) అనునది దత్తాంశం యొక్క సగటు లేదా అంకం.

మనం నమూనా యొక్క విచలనం మరియు ప్రామాణిక విచలనాన్ని గణిస్తే, అప్పుడు పై సూత్రం కొద్దిగా సవరించబడుతుంది:

1. నమూనా విచలనం (s²):
\( s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i – \bar{x})^2 \)

2. నమూనా ప్రామాణిక విచలనం(లు):
\( s = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i – \bar{x})^2} \)

ఎక్కడ:
– \( n \) అనేది నమూనాలోని డేటా సంఖ్య.
– \( \bar{x} \) అనునది నమూనా యొక్క సగటు.

నమూనా ప్రశ్నలు మరియు చర్చ

ఉదాహరణ ప్రశ్న 1:

ఈ క్రింది డేటా ఇవ్వబడింది:
8, 10, 10, 10, 12, 14

దత్తాంశం యొక్క విస్తృతిని మరియు ప్రామాణిక విచలనాన్ని లెక్కించండి!

పరిష్కార దశలు:

1. సగటు (మీన్) \( \mu \) ను లెక్కించడం:
\[
\mu = \frac{8 + 10 + 10 + 10 + 12 + 14}{6} = \frac{64}{6} = 10.67
\]

2. దత్తాంశం మరియు సగటు మధ్య వ్యత్యాసాన్ని లెక్కించి, ఆపై వర్గీకరించండి:
\[
(8 – 10.67)^2 = 7.1289
\]
\[
(10 – 10.67)^2 = 0.4489
\]
\[
(10 – 10.67)^2 = 0.4489
\]
\[
(10 – 10.67)^2 = 0.4489
\]
\[
(12 – 10.67)^2 = 1.7689
\]
\[
(14 – 10.67)^2 = 11.1089
\]

3. వర్గీకరించిన ఫలితాలన్నింటినీ కలపడం:
\[
\sum (x_i – \mu)^2 = 7.1289 + 0.4489 + 0.4489 + 0.4489 + 1.7689 + 11.1089 = 21.3534
\]

4. జనాభా డేటా యొక్క వైవిధ్యం (σ²) ను లెక్కించడం:
\[
σ² = 21.3534 / 6 = 3.559
\]

గమనిక: ఈ డేటాను జనాభా డేటాగా పేర్కొన్నందున, మనం 6తో భాగించాలి.

5. ప్రామాణిక విచలనం (σ) ను లెక్కించడం:
\[
σ = √3.559 ≈ 1.886
\]

కాబట్టి, డేటా యొక్క విచలనం 3.559 మరియు ప్రామాణిక విచలనం 1.886.

ఉదాహరణ ప్రశ్న 2:

కింది నమూనా డేటాను పరిగణించండి:
5, 6, 8, 9, 10, 11

నమూనా యొక్క విచలనం మరియు ప్రామాణిక విచలనాన్ని లెక్కించండి!

పరిష్కార దశలు:

1. సగటు (మీన్) \( \bar{x} \) ను గణించడం :
\[
\bar{x} = \frac{5 + 6 + 8 + 9 + 10 + 11}{6} = \frac{49}{6} = 8.167
\]

2. దత్తాంశం మరియు సగటు మధ్య వ్యత్యాసాన్ని లెక్కించి, ఆపై వర్గీకరించండి:
\[
(5 – 8.167)^2 = 10.035
\]
\[
(6 – 8.167)^2 = 4.694
\]
\[
(8 – 8.167)^2 = 0.028
\]
\[
(9 – 8.167)^2 = 0.694
\]
\[
(10 – 8.167)^2 = 3.361
\]
\[
(11 – 8.167)^2 = 7.945
\]

3. వర్గీకరించిన ఫలితాలన్నింటినీ కలపడం:
\[
Σ (x_i – Σx)² = 10.035 + 4.694 + 0.028 + 0.694 + 3.361 + 7.945 = 26.757
\]

4. నమూనా విచలనం (s²)ను లెక్కించడం:
\[
s^2 = \frac{26.757}{5} = 5.351
\]

గమనిక: ఇది నమూనా డేటా కాబట్టి, మనం 5 (n-1) తో భాగించాలి.

5. ప్రామాణిక విచలనం (s) ను లెక్కించడం:
\[
s = √5.351 ≈ 2.313
\]

కాబట్టి, నమూనా డేటా యొక్క విచలనం 5.351 మరియు ప్రామాణిక విచలనం 2.313.

ముగింపు

ఇచ్చిన సమితిలో డేటా ఎంత విస్తరించి ఉందో అర్థం చేసుకోవడానికి వేరియెన్స్ మరియు ప్రామాణిక విచలనాన్ని లెక్కించడం చాలా ముఖ్యం. వేరియెన్స్ అసలు యూనిట్ల వర్గాలలో వ్యాప్తికి ఒక సైద్ధాంతిక కొలమానాన్ని అందిస్తుండగా, ప్రామాణిక విచలనం వ్యాప్తి కొలమానాన్ని డేటా యొక్క అసలు యూనిట్ల పరంగా వివరిస్తుంది, దీనివల్ల దానిని అర్థం చేసుకోవడం సులభం అవుతుంది. డేటా విశ్లేషణలో, డేటా వైవిధ్యతను అంచనా వేయడానికి మరియు గణాంక నిర్ణయాలు తీసుకోవడానికి ఈ రెండు కొలమానాలను తరచుగా ఉపయోగిస్తారు.

అవసరమైన దశలు మరియు సూత్రాలను అర్థం చేసుకోవడం ద్వారా, మనం రోజువారీ డేటా సేకరణ మరియు విశ్లేషణలో ఎదుర్కొనే వివిధ పరిస్థితులకు వేరియెన్స్ మరియు స్టాండర్డ్ డీవియేషన్‌ను సులభంగా లెక్కించవచ్చు. ఈ వ్యాసం సింగిల్ డేటా సెట్‌లలో వేరియెన్స్ మరియు స్టాండర్డ్ డీవియేషన్ భావనలపై లోతైన అవగాహనను అందిస్తుందని ఆశిస్తున్నాము.