గ్రూప్ డేటా యొక్క విచలనం మరియు ప్రామాణిక విచలనాన్ని చర్చించే ఉదాహరణ ప్రశ్నలు
పెండహులువాన్
గణాంక శాస్త్రంలో, సగటు నుండి దత్తాంశ వ్యాప్తిని లేదా విస్తరణను అర్థం చేసుకోవడానికి విచలనం మరియు ప్రామాణిక విచలనం అనే రెండు గణాంక కొలమానాలు చాలా కీలకమైనవి. విచలనం అనేది దత్తాంశం సగటు నుండి ఎంత దూరంలో విస్తరించి ఉందో కొలుస్తుంది, అయితే ప్రామాణిక విచలనం అనేది విచలనం యొక్క వర్గమూలం, ఇది అసలు దత్తాంశం యొక్క యూనిట్లలోనే ఉండే కొలమానాన్ని అందిస్తుంది.
Definisi
– విచలనం (σ² లేదా S²): ఇది ప్రతి డేటా విలువకు మరియు డేటా యొక్క సగటుకు మధ్య ఉన్న వ్యత్యాసాల వర్గాల సగటు.
– ప్రామాణిక విచలనం (σ లేదా S): ఇది విచలనం యొక్క వర్గమూలం.
సమూహ డేటా యొక్క వైవిధ్యం మరియు ప్రామాణిక విచలనం కోసం సూత్రం
సమూహ దత్తాంశం కోసం, మనం ప్రతి తరగతిలోని దత్తాంశం యొక్క పౌనఃపున్యాన్ని ఉపయోగిస్తాము. సూత్రం ఇక్కడ ఉంది:
వేరియంట్లు
\[ S^2 = \frac{ \sum f_i \left( x_i – \bar{x} \right)^2 }{ N-1 } \]
ప్రామాణిక విచలనం
\[ S = \sqrt{S^2} \]
di mana:
– \( f_i \) = ప్రతి తరగతి యొక్క పౌనఃపున్యం.
– \( x_i \) = ప్రతి తరగతి యొక్క మధ్య బిందువు.
– \( \bar{x} \) = సమూహ డేటా యొక్క సగటు.
– \( N \) = మొత్తం డేటా సంఖ్య.
నమూనా ప్రశ్నలు మరియు చర్చ
తరగతులుగా విభజించబడిన కొంతమంది వ్యక్తుల బరువు సమాచారం మన వద్ద ఉందని అనుకుందాం.
| బరువు విరామం (కిలోగ్రాములు) | తరచుదనం (అడుగులు) |
|————————|————–|
| 50 – 54 | 2 |
| 55 – 59 | 5 |
| 60 – 64 | 8 |
| 65 – 69 | 7 |
| 70 – 74 | 3 |
మొదటి దశలో ప్రతి తరగతి యొక్క మధ్య బిందువును ( \( x_i \) ) నిర్ణయించి, ఆపై సగటును (\( \bar{x} \)) లెక్కించాలి.
1. మధ్య బిందువును ( \( x_i \) ) గణించడం
\[ \text{మధ్య బిందువు} = \frac{\text{దిగువ పరిమితి} + \text{ఎగువ పరిమితి}}{2} \]
| బరువు అంతరం (కిలోగ్రాములు) | పౌనఃపున్యం (f) | మధ్య బిందువు ( \( x_i \) ) |
|——————|————–|————————|
| 50 – 54 | 2 | 52 |
| 55 – 59 | 5 | 57 |
| 60 – 64 | 8 | 62 |
| 65 – 69 | 7 | 67 |
| 70 – 74 | 3 | 72 |
2. సగటును గణించడం ( \( \bar{x} \) )
\[ \bar{x} = \frac{ \sum f_i x_i }{ N } \]
మొత్తం డేటా సంఖ్య (N):
\[ N = 2 + 5 + 8 + 7 + 3 = 25 \]
\[ \sum f_i x_i = (2 \times 52) + (5 \times 57) + (8 \times 62) + (7 \times 67) + (3 \times 72) \]
\[ = 104 + 285 + 496 + 469 + 216 = 1570 \]
కాబట్టి, సగటు (\( \bar{x} \)):
\[ \bar{x} = \frac{ 1570 }{ 25 } = 62.8 \]
3. విస్తృతిని ( \( S^2 \) ) లెక్కించడం
మనం \( \sum f_i ( x_i – \bar{x} )^2 \) ను గణించాలి:
\[
\begin{align }
(x_i – \bar{x})^2: & (52 – 62.8)^2 = 118.84 \\
& (57 – 62.8)^2 = 33.64 \\
& (62 – 62.8)^2 = 0.64 \\
& (67 – 62.8)^2 = 17.64 \\
& (72 – 62.8)^2 = 84.64
`end{align }`
\]
పౌనఃపున్యంతో గుణించడం:
\[
\begin{align }
f_i (x_i – \bar{x})^2: & 2 \times 118.84 = 237.68 \\
& 5 × 33.64 = 168.2 \\
& 8 × 0.64 = 5.12 \\
& 7 × 17.64 = 123.48 \\
& 3 × 84.64 = 253.92
`end{align }`
\]
\[
\sum f_i (x_i – \bar{x})^2 = 237.68 + 168.2 + 5.12 + 123.48 + 253.92 = 788.4
\]
ఇప్పుడు మనం వేరియెన్స్ (\( S^2 \)) ను లెక్కించవచ్చు:
\[ S^2 = \frac{ 788.4 }{ 25 – 1 } = \frac{ 788.4 }{ 24 } \approx 32.85 \]
4. ప్రామాణిక విచలనాన్ని ( \( S \) ) లెక్కించడం
ప్రామాణిక విచలనం ( \( S \)):
\[ S = \sqrt{ S^2 } \]
\[ S = \sqrt{ 32.85 } \approx 5.73 \]
ముగింపు
పై ఉదాహరణ డేటా నుండి, మనకు లభించేవి:
– సగటు శరీర బరువు: 62.8 కిలోలు
– వ్యత్యాసాన్ని లెక్కించడం: 32.85 కిలోగ్రాములు²
– ప్రామాణిక విచలనాన్ని లెక్కించడం: 5.73 కిలోగ్రాములు
ప్రామాణిక విచలనం యొక్క వివరణ ఏమిటంటే, సగటు నుండి బరువు డేటా యొక్క సగటు విచలనం సుమారుగా 5.73 కిలోలు. ఇది సగటుకు సంబంధించి డేటా యొక్క వ్యాప్తిని సూచిస్తుంది, దీని ద్వారా మన డేటా ఎంత వైవిధ్యంగా ఉందో అంచనా వేయడానికి సహాయపడుతుంది.
సమూహాలు లేదా పంపిణీల రూపంలో ఉన్న డేటాను అర్థం చేసుకోవడానికి ప్రయత్నించే గణాంకాలు, పరిశోధన మరియు పరీక్ష రంగాలలో పనిచేసే వారికి, విచలనం మరియు ప్రామాణిక విచలనంపై పూర్తి అవగాహన చాలా కీలకం. ఈ రెండు కొలమానాలను ఎలా లెక్కించాలో మరియు ఎలా అన్వయించాలో తెలుసుకోవడం, అందుబాటులో ఉన్న డేటా ఆధారంగా మెరుగైన నిర్ణయాలు తీసుకోవడానికి సహాయపడుతుంది.
