లీనియర్ రిగ్రెషన్ చర్చా ప్రశ్నల ఉదాహరణ

రేఖీయ రిగ్రెషన్ ఉదాహరణ ప్రశ్నలు మరియు చర్చ

లీనియర్ రిగ్రెషన్ అనేది రెండు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ చరరాశుల మధ్య సంబంధాన్ని నిర్ధారించడానికి ఉపయోగించే ఒక గణాంక పద్ధతి. ఈ పద్ధతిని అర్థశాస్త్రం, వ్యాపారం, సాంఘిక శాస్త్రాలు మరియు ప్రకృతి శాస్త్రాలతో సహా వివిధ రంగాలలో విస్తృతంగా ఉపయోగిస్తారు. ఈ వ్యాసంలో, మనం లీనియర్ రిగ్రెషన్ గురించి, దానిని ఎలా గణించాలో చర్చిస్తాము మరియు పాఠకులకు ఈ భావనను లోతుగా అర్థం చేసుకోవడంలో సహాయపడటానికి వివరణలతో కూడిన అనేక ఉదాహరణ సమస్యలను అందిస్తాము.

లీనియర్ రిగ్రెషన్‌ను అర్థం చేసుకోవడం

లీనియర్ రిగ్రెషన్ అనేది ఒకటి లేదా అంతకంటే ఎక్కువ స్వతంత్ర చరరాశులు (అంచనా వేసేవి) మరియు ఒక ఆధారిత చరరాశి (ప్రతిస్పందన) మధ్య సంబంధాన్ని నమూనా చేయడానికి ఉపయోగించే ఒక విశ్లేషణాత్మక పద్ధతి. సింపుల్ లీనియర్ రిగ్రెషన్‌లో ఒక స్వతంత్ర చరరాశి మరియు ఒక ఆధారిత చరరాశి ఉంటాయి, అయితే మల్టిపుల్ లీనియర్ రిగ్రెషన్‌లో ఒకటి కంటే ఎక్కువ స్వతంత్ర చరరాశులు ఉంటాయి.

సరళ రేఖీయ రిగ్రెషన్ రేఖ యొక్క సమీకరణం:
[ Y = a + bX ]

ఎక్కడ:
– (Y) అనేది ఆధారిత చరరాశి.
– (X) అనేది స్వతంత్ర చరరాశి.
– \( a \) అనేది అంతరఖండం, ఇది X = 0 అయినప్పుడు Y యొక్క విలువ.
– \( b \) అనేది రిగ్రెషన్ గుణకం, అంటే X ఒక యూనిట్ మారితే Y ఎంత మారుతుందో తెలియజేస్తుంది.

లీనియర్ రిగ్రెషన్ దశలు

1. డేటాను సేకరించండి: ముందుగా, విశ్లేషించాల్సిన డేటాను సేకరించండి.
2. డేటాను ప్లాట్ చేయండి: చరరాశుల మధ్య సరళ సంబంధం ఉందో లేదో చూడటానికి ఒక స్కాటర్ ప్లాట్‌ను సృష్టించండి.
3. రిగ్రెషన్ గుణకాన్ని లెక్కించండి: ఉత్తమ రేఖను నిర్ధారించడానికి కనిష్ట వర్గాల పద్ధతిని ఉపయోగించండి.
4. మోడల్‌ను పరీక్షించడం: t-పరీక్షతో రిగ్రెషన్ గుణకాల ప్రాముఖ్యతను పరీక్షించండి మరియు మోడల్ డేటాకు ఎంత బాగా సరిపోతుందో చూడటానికి R-స్క్వేర్డ్ విలువను నిర్ణయించండి.

నమూనా ప్రశ్నలు మరియు చర్చ

ఉదాహరణ ప్రశ్న 1: సరళ రేఖీయ రిగ్రెషన్

ప్రశ్న:
ఒక పరిశోధకుడు అధ్యయన గంటల సంఖ్య (X) మరియు విద్యార్థుల పరీక్ష స్కోర్‌ల (Y) మధ్య సంబంధాన్ని తెలుసుకోవాలనుకుంటున్నారు. పొందిన డేటా ఈ క్రింది విధంగా ఉంది:

| అధ్యయన గంటలు (X) | పరీక్ష స్కోరు (Y) |
|——————–|——————–|
| 2 | 70 |
| 3 | 75 |
| 5 | 80 |
| 7 | 85 |
| 8 | 90 |

ఈ డేటా నుండి ఒక రేఖీయ రిగ్రెషన్ సమీకరణాన్ని రూపొందించండి!

చర్చ:

1. సగటును లెక్కించడం:
\[
\bar{X} = \frac{2 + 3 + 5 + 7 + 8}{5} = 5
\]
\[
\bar{Y} = \frac{70 + 75 + 80 + 85 + 90}{5} = 80
\]

2. రిగ్రెషన్ గుణకం \( b \) ను లెక్కించడం:
\[
b = \frac{\sum (X_i – \bar{X})(Y_i – \bar{Y})}{\sum (X_i – \bar{X})^2}
\]
\[
Σ (Xᵢ – πX)(Yᵢ – πY) = (2 – 5)(70 – 80) + (3 – 5)(75 – 80) + (5 – 5)(80 – 80) + (7 – 5)(85 – 80) + (8 – 5)(90 – 80)
\]
\[
= (-3)(-10) + (-2)(-5) + (0)(0) + (2)(5) + (3)(10) = 30 + 10 + 0 + 10 + 30 = 80
\]
\[
Σ (X_i – ΣX)² = (2 – 5)² + (3 – 5)² + (5 – 5)² + (7 – 5)² + (8 – 5)²
\]
\[
= 9 + 4 + 0 + 4 + 9 = 26
\]
\[
b = \frac{80}{26} \approx 3.08
\]

3. అంతరఖండం \( a \) ను గణించడం:
\[
a = \bar{Y} – b\bar{X}
\]
\[
a = 80 – 3.08 × 5 = 80 – 15.4 = 64.6
\]

4. రిగ్రెషన్ సమీకరణం:
\[
Y = 64.6 + 3.08X
\]

కాబట్టి, ఈ డేటాకు లీనియర్ రిగ్రెషన్ సమీకరణం \( Y = 64.6 + 3.08X \). దీని అర్థం, అదనంగా చదివే ప్రతి గంట పరీక్ష స్కోరును 3.08 పాయింట్లు పెంచుతుందని అంచనా.

ఉదాహరణ ప్రశ్న 2: మోడల్ పరీక్ష మరియు వివరణ

ప్రశ్న:
అదే డేటాతో కొనసాగిస్తూ, మోడల్ డేటాకు ఎంత బాగా సరిపోతుందో కొలవడానికి R-స్క్వేర్డ్ (R²) విలువను లెక్కించండి. అలాగే, రిగ్రెషన్ గుణకం \( b \) యొక్క ప్రాముఖ్యతను పరీక్షించండి.

చర్చ:

1. మొత్తం వర్గాల మొత్తం (SST), రిగ్రెషన్ వర్గాల మొత్తం (SSR), మరియు దోష వర్గాల మొత్తం (SSE) లను లెక్కించండి:
\[
SST = Σ (Y_i – Φ)²
\]
\[
SST = (70 – 80)^2 + (75 – 80)^2 + (80 – 80)^2 + (85 – 80)^2 + (90 – 80)^2 = 100 + 25 + 0 + 25 + 100 = 250
\]

\[
SSR = Σ (Yi – Y)²
\]
ఇక్కడ \( \hat{Y}_i \) అనేది రిగ్రెషన్ సమీకరణం యొక్క అంచనా విలువ:
\[
`\hat{Y}_i = 64.6 + 3.08X_i`
\]
\[
\hat{Y} = [67.76, 70.84, 76.0, 82.16, 85.24]
\]
\[
Y = 80
\]
\[
SSR = (67.76 – 80)^2 + (70.84 – 80)^2 + (76.0 – 80)^2 + (82.16 – 80)^2 + (85.24 – 80)^2
\]
\[
SSR = (-12.24)^2 + (-9.16)^2 + (-4.0)^2 + 2.16^2 + 5.24^2 = 149.8
\]

2. SSEని లెక్కించడం:
\[
SSE = SST – SSR = 250 – 149.8 = 100.2
\]

3. R-స్క్వేర్డ్‌ను లెక్కించడం:
\[
R^2 = \frac{SSR}{SST} = \frac{149.8}{250} \approx 0.6
\]

0.6 యొక్క R-స్క్వేర్డ్ విలువ, ఈ మోడల్ డేటాలోని వైవిధ్యంలో సుమారు 60% వివరిస్తుందని సూచిస్తుంది. ఇది రిగ్రెషన్ లైన్ డేటాకు చాలా బాగా సరిపోతుందని సూచిస్తుంది.

4. గుణకం \( b \) యొక్క ప్రాముఖ్యత కోసం t-పరీక్ష:
\[
t = \frac{b}{SE(b)}
\]
\[
SE(b) = \sqrt{\frac{SSE}{n-2}} / \sqrt{\sum (X_i – \bar{X})^2}
\]
\[
SE(b) = \sqrt{\frac{100.2}{5-2}} / \sqrt{26}
\]
\[
SE(b) = √33.4 / √26 ≈ 1.13
\]
\[
t = \frac{3.08}{1.13} \approx 2.73
\]

\( t-గణాంకం సుమారు 2.73 \) తో, ప్రాముఖ్యత కోసం ఒక సాధారణ థ్రెషోల్డ్ (α = 0.05) ను ఉపయోగిస్తే, దానిని t-పట్టికతో పోలుస్తాము. ఉదాహరణకు, \( df = 3 \) కోసం, క్రిటికల్ \( t \) సుమారుగా 2.353 ఉంటుంది. అప్పుడు \( t-పరిశీలించబడిన > t-క్రిటికల్ \), ఇది గుణకం ముఖ్యమైనదని సూచిస్తుంది.

ముగింపు

ఈ వ్యాసంలో, మేము లీనియర్ రిగ్రెషన్ యొక్క ప్రాథమిక అంశాలు, రిగ్రెషన్ గుణకం మరియు ఇంటర్‌సెప్ట్‌ను ఎలా లెక్కించాలి, మరియు ఉదాహరణ సమస్యలను ఉపయోగించి ఫలితాలను ఎలా విశ్లేషించాలో చర్చించాము. ఈ పద్ధతిని ఉపయోగించడంలో నైపుణ్యం సాధించడానికి వివిధ డేటా సెట్‌లతో తరచుగా సాధన చేయడం చాలా అవసరం. లీనియర్ రిగ్రెషన్ అనేది డేటా విశ్లేషణలో ఒక విలువైన సాధనం మరియు ఇది చరరాశుల మధ్య సంబంధాలపై లోతైన అవగాహనను అందిస్తుంది.