ఘాతాంక వృద్ధిని చర్చించే ఉదాహరణ ప్రశ్నలు
అర్థశాస్త్రం, జీవశాస్త్రం, వ్యాపారం మరియు భౌతికశాస్త్రంతో సహా అనేక రంగాలలో ఘాతాంక వృద్ధి ఒక కీలకమైన భావన. మన దైనందిన జీవితంలో, మానవ జనాభా పెరుగుదల, ద్రవ్యోల్బణం కారణంగా నామమాత్రపు విలువలు క్షీణించడం, వైరస్ల వ్యాప్తి మరియు మరెన్నో ఘాతాంక వృద్ధికి సంబంధించిన పరిస్థితులను మనం తరచుగా ఎదుర్కొంటాము. ఈ వ్యాసం ఘాతాంక వృద్ధికి సంబంధించిన వివిధ ఉదాహరణ సమస్యలు మరియు పరిష్కారాలను చర్చిస్తుంది, తద్వారా పాఠకులు ఈ భావనను మరింత బాగా అర్థం చేసుకోవడానికి సహాయపడుతుంది.
ఘాతాంక వృద్ధి యొక్క ప్రాథమిక భావనలు
ప్రతి యూనిట్ కాలానికి స్థిరమైన రేటుతో జరిగే పెరుగుదలను ఘాతాంక వృద్ధి అని నిర్వచిస్తారు. గణితశాస్త్రపరంగా, ఘాతాంక వృద్ధిని ఈ సమీకరణం ద్వారా నిర్వచించవచ్చు:
\[ N(t) = N_0 \cdot e^{kt} \]
ఎక్కడ:
– \( N(t) \) అనేది సమయం \( t \) వద్ద ఉన్న మొత్తం
– \( N_0 \) అనేది ప్రారంభ సంఖ్య
– \( k \) అనునది వృద్ధి రేటు
– \( t \) అనేది సమయం
– \( e \) అనేది యూలర్ సంఖ్య (సుమారు 2.718)
\( k \) విలువ ధనాత్మకంగా ఉంటే, ఘాతాంక వృద్ధి ఉంటుంది. దీనికి విరుద్ధంగా, \( k \) రుణాత్మకంగా ఉంటే, ఘాతాంక సంకోచం ఉంటుంది.
ఉదాహరణ ప్రశ్న 1: జనాభా పెరుగుదల
ప్రశ్న
ఒక నగరంలో ప్రారంభంలో 100,000 మంది జనాభా ఉన్నారు. ఆ నగరం యొక్క జనాభా సంవత్సరానికి 2% ఘాతాంక వృద్ధి రేటుతో పెరిగితే, 10 సంవత్సరాల తర్వాత ఆ నగరం యొక్క జనాభా ఎంత ఉంటుంది?
పెన్యెలెసియన్
మొదట, మనకు తెలిసిన విలువలను గుర్తించాలి:
– \( N_0 \) = 100,000
– \( k \) = సంవత్సరానికి 2% = 0.02
– \( t \) = 10 సంవత్సరాలు
మనం ఘాతాంక వృద్ధి సూత్రాన్ని ఉపయోగిస్తాము:
\[ N(t) = N_0 \cdot e^{kt} \]
తెలిసిన విలువలను సూత్రంలో ప్రతిక్షేపించండి:
\[ N(10) = 100,000 \cdot e^{0.02 \cdot 10} \]
\[ N(10) = 100,000 \cdot e^{0.2} \]
\( e^{0.2} \) యొక్క సుమారు విలువ 1.2214.
\[ N(10) = 100,000 \cdot 1.2214 \]
\[ N(10) = 122,140 \]
కాబట్టి, 10 సంవత్సరాల తర్వాత నగర జనాభా సుమారు 122,140 మంది.
-
ఉదాహరణ ప్రశ్న 2: పెట్టుబడి విలువ
ప్రశ్న
మీరు 5% వార్షిక వడ్డీ చెల్లించే ఖాతాలో $5,000 జమ చేస్తారు. 15 సంవత్సరాల తర్వాత మీ పొదుపు విలువ ఎంత ఉంటుంది?
పెన్యెలెసియన్
విలువలను గుర్తించండి:
– \( N_0 \) = 5,000
– \( k \) = సంవత్సరానికి 5% = 0.05
– \( t \) = 15 సంవత్సరాలు
ఘాతాంక వృద్ధి సూత్రాన్ని ఉపయోగించి:
\[ N(t) = N_0 \cdot e^{kt} \]
తెలిసిన విలువలను నమోదు చేయండి:
\[ N(15) = 5,000 \cdot e^{0.05 \cdot 15} \]
\[ N(15) = 5,000 \cdot e^{0.75} \]
ఉజ్జాయింపు \( e^{0.75} \) దాదాపు 2.117.
\[ N(15) = 5,000 \cdot 2.117 \]
\[ N(15) = 10,585 \]
కాబట్టి, 15 సంవత్సరాల తర్వాత మీ పొదుపు విలువ సుమారుగా $10,585 ఉంటుంది.
-
ఉదాహరణ 3: కారు తరుగుదల
ప్రశ్న
కొత్తగా కొన్న $30,000 విలువైన కారు విలువ సంవత్సరానికి 12% చొప్పున ఘాతాంక పద్ధతిలో తగ్గుతుంది. 5 సంవత్సరాల తర్వాత ఆ కారు విలువ ఎంత ఉంటుంది?
పెన్యెలెసియన్
విలువలను గుర్తించండి:
– \( N_0 \) = 30,000
– \( k \) = సంవత్సరానికి -12% = -0.12
– \( t \) = 5 సంవత్సరాలు
ఘాతాంక వృద్ధి సూత్రాన్ని ఉపయోగించి:
\[ N(t) = N_0 \cdot e^{kt} \]
తెలిసిన విలువలను నమోదు చేయండి:
\[ N(5) = 30,000 \cdot e^{-0.12 \cdot 5} \]
\[ N(5) = 30,000 \cdot e^{-0.6} \]
ఉజ్జాయింపు \( e^{-0.6} \) దాదాపు 0.5488.
\[ N(5) = 30,000 \cdot 0.5488 \]
\[ N(5) = 16,464 \]
కాబట్టి, 5 సంవత్సరాల తర్వాత కారు విలువ సుమారు $16,464.
-
ఉదాహరణ ప్రశ్న 4: వైరస్ల వ్యాప్తి
ప్రశ్న
ప్రారంభంలో 200 మంది జనాభా ఉన్న ఒక పట్టణం, రోజుకు 15% ఘాతాంక వృద్ధి రేటుతో ఒక వైరస్తో సోకింది. 7 రోజుల తర్వాత సోకిన వారి మొత్తం సంఖ్య ఎంత?
పెన్యెలెసియన్
విలువలను గుర్తించండి:
– \( N_0 \) = 200
– \( k \) = రోజుకు 15% = 0.15
– \( t \) = 7 రోజులు
ఘాతాంక వృద్ధి సూత్రాన్ని ఉపయోగించి:
\[ N(t) = N_0 \cdot e^{kt} \]
తెలిసిన విలువలను నమోదు చేయండి:
\[ N(7) = 200 \cdot e^{0.15 \cdot 7} \]
\[ N(7) = 200 \cdot e^{1.05} \]
ఉజ్జాయింపు \( e^{1.05} \) దాదాపు 2.857.
\[ N(7) = 200 \cdot 2.857 \]
\[ N(7) = 571.4 \]
కాబట్టి, 7 రోజుల తర్వాత వ్యాధి సోకిన వారి మొత్తం సంఖ్య సుమారు 571 మంది.
-
ఇవి ఘాతాంక వృద్ధికి సంబంధించిన సమస్యలు మరియు చర్చలకు ఉదాహరణలు. ఘాతాంక వృద్ధి సమస్యలను ఎలా పరిష్కరించాలో అర్థం చేసుకోవడం వివిధ వాస్తవ ప్రపంచ ఆచరణాత్మక అనువర్తనాలలో చాలా ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది. తగినంత సాధనతో, ఈ భావనను సులభంగా నేర్చుకుని, అవసరమైనప్పుడు అన్వయించుకోవచ్చు.
