సంయుక్త సంఘటనల సంభావ్యతపై చర్చా ప్రశ్నకు ఉదాహరణ

సంయుక్త సంఘటనల సంభావ్యతను చర్చించే ఉదాహరణ ప్రశ్నలు

సంయుక్త సంఘటనల సంభావ్యతకు పరిచయం

సంభావ్యత అనేది ఒక సంఘటన జరిగే అవకాశాన్ని అధ్యయనం చేసే గణితశాస్త్ర విభాగం. సంయుక్త సంఘటన యొక్క సంభావ్యత అంటే ఒకటి కంటే ఎక్కువ సంఘటనలు కలిసి జరిగే సంఘటన యొక్క సంభావ్యత. ఉదాహరణకు, పాచికపై సరి సంఖ్య రావడం మరియు పేక కట్ట నుండి ఏస్ రావడం వంటి వాటి సంభావ్యతలు సంయుక్త సంఘటనలకు ఉదాహరణలు. ఈ వ్యాసం అనేక ఉదాహరణ సమస్యలను మరియు సంయుక్త సంఘటనల సంభావ్యతను చర్చిస్తుంది.

సంయుక్త సంఘటనల సంభావ్యత యొక్క ప్రాథమిక భావన

సంయుక్త సంఘటనలు రెండు రకాలుగా ఉంటాయి:

1. పరస్పర ప్రత్యేక సంఘటనలు: ఒకే సమయంలో జరగలేని రెండు సంఘటనలు. ఉదాహరణకు, పాచికను దొర్లించినప్పుడు, 2 మరియు 5 రావడం అనేవి పరస్పర ప్రత్యేక సంఘటనలు, ఎందుకంటే ఆ రెండు సంఖ్యలను ఒకేసారి దొర్లించడం అసాధ్యం.

2. పరస్పర ప్రత్యేకం కాని సంఘటనలు: ఒకే సమయంలో జరగగల రెండు సంఘటనలు. ఉదాహరణకు, పేకాట కార్డుల డ్రాయింగ్‌లో, హార్ట్ కార్డ్ (♥) రావడం మరియు 10 సంఖ్య ఉన్న కార్డ్ రావడం అనేవి పరస్పర ప్రత్యేకం కాని సంఘటనలు, ఎందుకంటే 10 సంఖ్య ఉన్న హార్ట్ కార్డ్ ఒకటి ఉంది.

సంయుక్త సంఘటనల సంభావ్యతను లెక్కించడానికి ఉపయోగించే కొన్ని ప్రాథమిక సూత్రాలు ఇక్కడ ఉన్నాయి:

– P(A లేదా B) (పరస్పర ప్రత్యేకత లేని సంఘటనల కోసం): \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B)\)

– P(A లేదా B) (పరస్పర ప్రత్యేక సంఘటనల కోసం): \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\)

– P(A మరియు B) (స్వతంత్ర సంఘటనల కోసం): \(P(A \cap B) = P(A) \times P(B)\)

నమూనా ప్రశ్నలు మరియు చర్చ

ఉదాహరణ ప్రశ్న 1: పాచికలు

ప్రశ్న:
పాచికపై సరి సంఖ్య లేదా 4 కంటే ఎక్కువ సంఖ్య వచ్చే సంభావ్యత ఎంత?

చర్చ:
మొదట, ఈవెంట్‌లను నిర్వచిద్దాం:
– సంఘటన A: సరి సంఖ్య రావడం (2, 4, 6)
– సంఘటన బి: 4 కంటే ఎక్కువ సంఖ్యను పొందడం (5, 6)

తరువాత, ప్రతి సంఘటన యొక్క సంభావ్యతను మనం నిర్ధారిస్తాము:
– \(P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\)
– \(P(B) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\)

సంఘటనలు A మరియు B రెండింటిలోనూ 6 అనే సంఖ్య ఉన్నందున, మనం \(P(A \cap B)\)ని గణించాలి:
– \(P(A \cap B) = \frac{1}{6}\) (ఎందుకంటే A మరియు B రెండింటిలోనూ 6 అనే ఒకే సంఖ్య ఉంది)

పరస్పర ప్రత్యేకత లేని సంఘటనల సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం ద్వారా:
\[P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B) = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} – \frac{1}{6}\]

ఈ భిన్నాల హారాలను సమానంగా చేద్దాం:
\[P(A \cup B) = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} – \frac{1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\]

కాబట్టి, సరి సంఖ్య లేదా 4 కంటే పెద్ద సంఖ్య వచ్చే సంభావ్యత \(\frac{2}{3}\).

ఉదాహరణ ప్రశ్న 2: పేకాట కార్డులు

ప్రశ్న:
పేకాట కార్డుల కట్ట నుండి ఏస్ లేదా స్పేడ్ వచ్చే సంభావ్యత ఎంత?

చర్చ:
మొదట, ఈవెంట్‌లను నిర్వచిద్దాం:
– ఈవెంట్ A: ఏస్ కార్డ్ పొందడం (మొత్తం 4, ప్రతి సూట్‌కు ఒకటి)
– ఈవెంట్ బి: స్పేడ్ కార్డ్ పొందడం (మొత్తం 13)

తరువాత, ప్రతి సంఘటన యొక్క సంభావ్యతను మనం నిర్ధారిస్తాము:
– \(P(A) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}\)
– \(P(B) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}\)

ఏస్ ఆఫ్ స్పేడ్స్ A మరియు B అనే రెండు సంఘటనలలోనూ చేర్చబడింది కాబట్టి, మనం \(P(A \cap B)\)ని లెక్కించాలి:
– \(P(A \cap B) = \frac{1}{52}\)

పరస్పర ప్రత్యేకత లేని సంఘటనల సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం ద్వారా:
\[P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B) = \frac{1}{13} + \frac{1}{4} – \frac{1}{52}\]

ఈ భిన్నాల హారాలను సమానంగా చేద్దాం:
\[
P(A \cup B) = \frac{4}{52} + \frac{13}{52} – \frac{1}{52} = \frac{16}{52} = \frac{4}{13}
\]

కాబట్టి, ఏస్ లేదా స్పేడ్ వచ్చే సంభావ్యత \(\frac{4}{13}\).

ఉదాహరణ సమస్య 3: పెట్టెలో బంతి

ప్రశ్న:
ఒక పెట్టెలో 3 ఎర్ర బంతులు, 4 నీలి బంతులు మరియు 5 ఆకుపచ్చ బంతులు ఉన్నాయి. యాదృచ్ఛికంగా ఒక బంతిని తీస్తే, ఎర్ర బంతి లేదా ఆకుపచ్చ బంతి వచ్చే సంభావ్యత ఎంత?

చర్చ:
మొదట, ఈవెంట్‌లను నిర్వచిద్దాం:
– ఈవెంట్ A: ఎరుపు బంతిని (నంబర్ 3) పొందడం
– ఈవెంట్ B: ఆకుపచ్చ బంతిని (నంబర్ 5) పొందడం

తరువాత, ప్రతి సంఘటన యొక్క సంభావ్యతను మనం నిర్ధారిస్తాము:
– మొత్తం బంతుల సంఖ్య = 3 + 4 + 5 = 12
– \(P(A) = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}\)
– \(P(B) = \frac{5}{12}\)

ఏ బంతి కూడా ఒకే సమయంలో ఎరుపు మరియు ఆకుపచ్చ రంగులలో ఉండదు కాబట్టి, ఈ సంఘటనలు పరస్పరం ప్రత్యేకమైనవి:
\[P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \frac{1}{4} + \frac{5}{12}\]

ఈ భిన్నాల హారాలను సమానంగా చేద్దాం:
\[
P(A \cup B) = \frac{3}{12} + \frac{5}{12} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}
\]

కాబట్టి, ఎరుపు బంతి లేదా ఆకుపచ్చ బంతి వచ్చే సంభావ్యత \(\frac{2}{3}\).

ఉదాహరణ ప్రశ్న 4: రెండు నాణేలు

ప్రశ్న:
రెండు నాణేలను ఒకేసారి ఎగరేస్తే, కనీసం ఒక బొమ్మ పడే సంభావ్యత ఎంత?

చర్చ:
ఈవెంట్ A: కనీసం ఒక చిత్రాన్ని అనుభవించడం అని మేము నిర్వచిస్తాము.
రెండు నాణేలను ఎగరవేసినప్పుడు నాలుగు రకాల ఫలితాలు సాధ్యమవుతాయి:
1. HH
2. హెచ్‌టి
3. టిహెచ్
4. TT

కనీసం ఒక చిత్రాన్ని కలిగి ఉన్న ఈవెంట్‌లు:
– హెచ్‌టి
– టిహెచ్
– టిటి

ప్రతిదాని సంభావ్యతను లెక్కించుదాం:
– సాధ్యమయ్యే సంఘటనల సంఖ్య (మొత్తం): 4
– కనీసం ఒక చిత్రం ఉన్న ఈవెంట్‌ల సంఖ్య: 3

\[
P(A) = \frac{కనీసం ఒక బొమ్మ ఉన్న సంఘటనల సంఖ్య}{మొత్తం సంఘటనల సంఖ్య} = \frac{3}{4}
\]

కాబట్టి, కనీసం ఒక చిత్రం కనిపించే సంభావ్యత \(\frac{3}{4}\).

ముగింపు

పైన ఇచ్చిన సమస్యల చర్చ, ఒక సంయుక్త సంఘటన పరస్పర ప్రత్యేకమైనదైనా లేదా పరస్పర ప్రత్యేకం కానిదైనా, దాని సంభావ్యతను మనం ఎలా లెక్కించవచ్చో తెలియజేస్తుంది. ప్రాథమిక భావనలను అర్థం చేసుకుని, సరైన సూత్రాలను ఉపయోగించడం ద్వారా, వివిధ రోజువారీ పరిస్థితులలో సంభవించే కొన్ని సంఘటనల కలయికల సంభావ్యతను మనం నిర్ధారించవచ్చు. సంయుక్త సంఘటనల సంభావ్యతను నిర్ధారించడంలో మరింత నైపుణ్యం సాధించడానికి, వివిధ సమస్యలతో మీ నైపుణ్యాలను సాధన చేస్తూ ఉండండి.