వృత్తాలు మరియు స్పర్శరేఖలను చర్చించే ఉదాహరణ ప్రశ్నలు

వృత్తాలు మరియు స్పర్శరేఖలను చర్చించే ఉదాహరణ ప్రశ్నలు

మాట్రిక్స్ జ్యామితిలో వృత్తాలు ఒక ముఖ్యమైన అంశం, దీనిలో దూరం, కోణాలు మరియు ఆకారం గురించిన లోతైన భావనలు ప్రదర్శించబడతాయి. ఈ అంశంలో తరచుగా చర్చించబడే ఒక భావన వృత్తానికి గీసే స్పర్శరేఖ. ఈ వ్యాసంలో, వృత్తాలు మరియు స్పర్శరేఖలకు సంబంధించిన అనేక ఉదాహరణ సమస్యలను మనం చర్చిస్తాము.

వృత్తాలు మరియు స్పర్శరేఖల ప్రాథమిక అవగాహన

వృత్తం

ఒక తలంలో, వృత్త కేంద్రం అని పిలువబడే ఒక నిర్దిష్ట బిందువు నుండి ఒక స్థిర దూరంలో ఉన్న అన్ని బిందువుల సముదాయంతో ఏర్పడిన జ్యామితీయ ఆకారాన్ని వృత్తం అంటారు. ఈ స్థిర దూరాన్ని వృత్త వ్యాసార్థం అంటారు.

స్పర్శరేఖ

వృత్తాన్ని సరిగ్గా ఒకే బిందువు వద్ద తాకే రేఖను స్పర్శరేఖ అంటారు. ఈ బిందువును స్పర్శ బిందువు అంటారు. స్పర్శరేఖలకు అనేక ముఖ్యమైన లక్షణాలు ఉన్నాయి, వాటిలో కొన్ని:
– స్పర్శరేఖ ఎల్లప్పుడూ స్పర్శ బిందువు వద్ద వృత్త వ్యాసార్థానికి లంబంగా ఉంటుంది.
– వృత్తం వెలుపల ఉన్న ఒక బిందువు నుండి వృత్తానికి రెండు స్పర్శరేఖలు గీస్తే, ఆ బిందువు పొడవు సమానంగా ఉంటుంది.

నమూనా ప్రశ్నలు మరియు చర్చలు

వృత్తాలు మరియు స్పర్శరేఖల భావనను వివరంగా చర్చించే అనేక ఉదాహరణ ప్రశ్నలను మేము క్రింద అందిస్తాము.

ఉదాహరణ ప్రశ్న 1: స్పర్శరేఖ పొడవును కనుగొనడం

ప్రశ్న:
కేంద్రం \(O\) మరియు వ్యాసార్థం \(r = 6 \, \text{cm}\) కలిగిన ఒక వృత్తం ఇవ్వబడింది. వృత్త కేంద్రం నుండి 10 cm దూరంలో, వృత్తం వెలుపల ఉన్న బిందువు \(P\) నుండి, వృత్తానికి రెండు స్పర్శరేఖలు \(PA\) మరియు \(PB\) గీయబడ్డాయి. స్పర్శరేఖ \(PA\) పొడవును లెక్కించండి.

చర్చ:
ఈ సమస్యలో, మనం పైథాగరస్ సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించవచ్చు. ఒక త్రిభుజాన్ని గీయండి \(\triangle OAP\):
– \(OP = 10 \, \text{cm}\) (బయటి బిందువు నుండి వృత్త కేంద్రానికి గల దూరం)
– \(OA = 6 \, \text{cm}\) (వృత్త వ్యాసార్థం)
– \(PA\) అనేది కనుగొనవలసిన స్పర్శరేఖ

\[
OP^2 = OA^2 + PA^2
\]

\[
10^2 = 6^2 + PA^2
\]

\[
100 = 36 + PA^2
\]

\[
PA^2 = 64
\]

\[
PA = √64 = 8 సెం.మీ.
\]

కాబట్టి, స్పర్శరేఖ \(PA\) పొడవు 8 సెం.మీ.

ఉదాహరణ ప్రశ్న 2: స్పర్శ బిందువును కనుగొనడం

ప్రశ్న:
\((x – 3)^2 + (y – 4)^2 = 25\) సమీకరణం గల ఒక వృత్తం మరియు \(y = 2x + 1\) రేఖ ఇవ్వబడ్డాయి. వృత్తానికి మరియు రేఖకు మధ్య ఉన్న స్పర్శ బిందువును కనుగొనండి.

చర్చ:
మొదట, మనం వృత్తం యొక్క కేంద్రాన్ని మరియు వ్యాసార్థాన్ని గుర్తిస్తాము:
– కేంద్రం \(O(3, 4)\)
– వ్యాసార్థం \(r = \sqrt{25} = 5\)

స్పర్శ బిందువును కనుగొనడానికి, స్పర్శ బిందువు \(T(x_1, y_1)\) అని మరియు అది \(y = 2x + 1\) అనే రేఖపై కూడా ఉందని అనుకుందాం. అప్పుడు:

\[
y_1 = 2x_1 + 1
\]

\(T(x_1, y_1)\) కూడా వృత్త సమీకరణాన్ని సంతృప్తి పరచాలి:

\[
(x_1 – 3)^2 + (y_1 – 4)^2 = 25
\]

వృత్త సమీకరణంలో \(y_1 = 2x_1 + 1\) ను ప్రతిక్షేపించండి:

\[
(x_1 – 3)^2 + ((2x_1 + 1) – 4)^2 = 25
\]

\[
(x_1 – 3)^2 + (2x_1 – 3)^2 = 25
\]

మనం రెండు వర్గాలను లెక్కించాలి.

\[
(x_1 – 3)^2 = x_1^2 – 6x_1 + 9
\]

\[
(2x_1 – 3)^2 = 4x_1^2 – 12x_1 + 9
\]

రెండు ఫలితాలను కలపండి:

\[
x_1^2 – 6x_1 + 9 + 4x_1^2 – 12x_1 + 9 = 25
\]

\[
5x_1^2 – 18x_1 + 18 = 25
\]

రెండు వైపుల నుండి 25 తీసివేయండి:

\[
5x_1^2 – 18x_1 – 7 = 0
\]

వర్గ సమీకరణాన్ని సాధించండి:

\[
x_1 = \frac{18 \pm \sqrt{18^2 + 4 \times 5 \times 7}}{2 \times 5}
\]

\[
x_1 = \frac{18 \pm \sqrt{324 + 140}}{10}
\]

\[
x_1 = \frac{18 \pm \sqrt{464}}{10}
\]

\[
x_1 = \frac{18 \pm 2\sqrt{116}}{10}
\]

\[
x_1 = \frac{18 \pm 2\sqrt{4 \times 29}}{10}
\]

\[
x_1 = \frac{18 \pm 4\sqrt{29}}{10}
\]

\[
x_1 = 1.8 \pm 0.4\sqrt{29}
\]

\(y_1\) విలువను లెక్కించండి:

y = 2x + 1 ను సంతృప్తిపరిచేది:
– ఒకవేళ \(x_1 = 1.8 + 0.4\sqrt{29}\) అయితే, \(y_1 = 2(1.8 + 0.4\sqrt{29}) + 1\)
– ఒకవేళ \(x_1 = 1.8 – 0.4\sqrt{29}\) అయితే, \(y_1 = 2(1.8 – 0.4\sqrt{29}) + 1\)

మూల్యాంకనం:

కాబట్టి మనకు వృత్త సమీకరణం మరియు ఆ రేఖ యొక్క రెండు ఖండన బిందువులు లభిస్తాయి.

ఉదాహరణ ప్రశ్న 3: స్పర్శరేఖ సమీకరణాన్ని కనుగొనడం

ప్రశ్న:
\((x – 2)^2 + (y – 3)^2 = 20\) సమీకరణం గల ఒక వృత్తం ఇవ్వబడింది. \((6, 7)\) బిందువు గుండా వెళ్ళే వృత్తానికి స్పర్శరేఖ సమీకరణాన్ని కనుగొనండి.

చర్చ:
కేంద్రం \((h, k)\) మరియు వ్యాసార్థం \(r\) గల వృత్తానికి, తెలిసిన బాహ్య బిందువు నుండి గీసిన స్పర్శరేఖను ఈ సమీకరణం ద్వారా కనుగొనవచ్చు:

స్పర్శరేఖ బాహ్య బిందువు \((x_1, y_1)\) గుండా వెళుతుంది:
\[
(x - 2)(x_1 - 2) + (y - 3)(y_1 - 3) = 20
\]

బయటి బిందువు \((6, 7)\)ని ప్రతిక్షేపించండి:
\[
(x – 2)(6 – 2) + (y – 3)(7 – 3) = 20
\]

\[
4(x – 2) + 4(y – 3) = 20
\]

\[
4(x – 2 + y – 3) = 20
\]

\[
4x + 2y -20 = 20
\]

\[
4x + 4y -20 = 20
\]

\[
x + y = 5
\]

స్పర్శరేఖ సమీకరణం:
\[
x + y = 9
\]

కాబట్టి, వృత్త రేఖపై ఉన్న బిందువు గుండా వెళ్ళే రేఖ సమీకరణంలో వైవిధ్యం చాలా ఎక్కువగా ఉంటుంది మరియు అది ఫలితం లేదా దృశ్య ప్రాతినిధ్యంపై ఆధారపడి మారవచ్చు.

ముగింపు

వృత్తాలు మరియు స్పర్శరేఖల గురించిన ఈ చర్చ, పైథాగరస్ సిద్ధాంతం వంటి ప్రాథమిక సూత్రాలను వర్తింపజేయడం నుండి వర్గ సమీకరణాలను సాధించడం వరకు, గణితంలోని అనేక ప్రాథమిక అంశాలను వివరిస్తుంది. ఈ ఉదాహరణల ద్వారా, కొంత సంక్లిష్టమైన పరిస్థితులలో ఈ భావనలను ఎలా వర్తింపజేయాలో మనం మరింత బాగా అర్థం చేసుకోగలం. వృత్తాలు మరియు స్పర్శరేఖలకు సంబంధించిన సమస్యలను ఎలా ఎదుర్కోవాలో మరియు పరిష్కరించాలో అనే దానిపై ఈ వ్యాసం ఒక స్పష్టమైన చిత్రాన్ని అందించడంలో సహాయపడిందని ఆశిస్తున్నాము.