వృత్త ఖండాల ఉదాహరణ ప్రశ్నలు మరియు చర్చ
వృత్త సెక్టార్లు గణితంలో ఒక ముఖ్యమైన అంశం, ఇది తరచుగా పరీక్షలలో మరియు అభ్యాస ప్రశ్నలలో కనిపిస్తుంది. సెక్టార్ అంటే రెండు వ్యాసార్థాలు మరియు వాటిని కలిపే చాపం ద్వారా పరిమితమైన వృత్త భాగం. ఈ వ్యాసంలో, మన అవగాహనను మరింత పెంచుకోవడానికి, వృత్త సెక్టార్లపై ఉన్న అనేక ఉదాహరణ సమస్యలను, వాటి వివరణాత్మక వివరణలతో పాటు చర్చిద్దాం.
వృత్త విభాగం యొక్క నిర్వచనం
వృత్త ఖండం అనేది రెండు వ్యాసార్థాలు మరియు ఒక చాపం ద్వారా పరిమితమైన వృత్తంలోని ఒక భాగం. వృత్త ఖండం యొక్క వైశాల్యం వృత్తం యొక్క మొత్తం వైశాల్యంలో కొంత భాగం ఆధారంగా లెక్కించబడుతుంది. వృత్త ఖండాన్ని లెక్కించడానికి ఉపయోగించే ప్రధాన సూత్రం ఈ క్రింది విధంగా ఉంది:
– జూరింగ్ వైశాల్యం : \[L_juring = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi \times r^2\]
– చాప పొడవు : \[P_b = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi r\]
ఎక్కడ:
– \( \theta \) అనునది సెక్టార్ కోణం యొక్క పరిమాణం డిగ్రీలలో,
– \( r \) అనేది వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థం,
– \( \pi \) అనేది ఒక స్థిరాంకం (సుమారుగా 3.14159).
నమూనా ప్రశ్నలు మరియు చర్చ
ప్రశ్న 1:
10 సెం.మీ వ్యాసార్థం గల ఒక వృత్తం మరియు 90° కేంద్ర కోణం గల ఒక సెక్టార్ ఇవ్వబడింది. ఆ సెక్టార్ యొక్క వైశాల్యాన్ని లెక్కించండి.
చర్చ:
ఇది తెలిసిన విషయమే:
– \( r = 10 \) సెం.మీ
– \( \theta = 90^\circ \)
సెక్టార్ వైశాల్యం కోసం మనం ఈ సూత్రాన్ని ఉపయోగిస్తాము:
\[L_juring = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi \times r^2\]
\[L_juring = \frac{90^\circ}{360^\circ} \times \pi \times (10\text{ cm})^2\]
\[L_juring = \frac{1}{4} \times \pi \times 100\text{ cm}^2\]
\[L_juring = 25\pi\text{ cm}^2\]
ఒకవేళ \( \pi \) ను 3.14 గా తీసుకుంటే, అప్పుడు:
\[L_juring = 25 \times 3.14\text{ cm}^2 = 78.5\text{ cm}^2\]
కాబట్టి, సెక్టార్ వైశాల్యం 78.5 సెం.మీ².
ప్రశ్న 2:
ఒక వృత్త ఖండం యొక్క వ్యాసార్థం 7 సెం.మీ మరియు చాప పొడవు 11 సెం.మీ. ఆ వృత్త ఖండం యొక్క కేంద్ర కోణాన్ని రేడియన్లలో కనుగొనండి.
చర్చ:
ఇది తెలిసిన విషయమే:
– \( r = 7 \) సెం.మీ
– చాప పొడవు \( P_b = 11 \text{ సెం.మీ} \)
కోణం \( \theta \) ను కనుగొనడానికి మనం చాప పొడవు సూత్రాన్ని ఉపయోగిస్తాము:
\[P_b = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi r\]
కోణాన్ని రేడియన్లలో కనుగొనమని అడిగారు కాబట్టి, 360° స్థానంలో \(2\pi\) రేడియన్లను ప్రతిక్షేపిస్తాము:
\[P_b = \theta \times r\]
\[11 = \theta \times 7\]
\[\theta = \frac{11}{7}\]
\[\theta \approx 1.57 \text{ rad}\]
కాబట్టి, సెక్టార్ యొక్క కేంద్ర కోణం 1.57 రేడియన్లు.
ప్రశ్న 3:
16 సెం.మీ వ్యాసార్థం గల ఒక వృత్తంలో 200 సెం.మీ² వైశాల్యం గల ఒక సెక్టార్ ఉంది. ఆ సెక్టార్ యొక్క కేంద్ర కోణాన్ని లెక్కించండి.
చర్చ:
ఇది తెలిసిన విషయమే:
– \( r = 16 \) సెం.మీ
– \( L_juring = 200 \text{ cm}^2 \)
మనం \( \theta \) ను కనుగొనడానికి సెక్టార్ యొక్క వైశాల్య సూత్రాన్ని ఉపయోగిస్తాము:
\[L_juring = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi \times r^2\]
\[200 = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi \times (16)^2\]
\[200 = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi \times 256\]
\[200 = \frac{\theta \times 256 \times \pi}{360^\circ}\]
\[200 \times 360^\circ = \theta \times 256 \times 3.14\]
\[72000 = \theta \times 256 \times 3.14\]
\[72000 = \theta \times 804.64\]
\[\theta = \frac{72000}{804.64}\]
\[\theta \approx 89.45^\circ\]
కాబట్టి, సెక్టార్ యొక్క కేంద్ర కోణం సుమారుగా 89.45° ఉంటుంది.
ప్రశ్న 4:
12 సెం.మీ వ్యాసార్థం మరియు 120° కేంద్ర కోణం కలిగిన సెక్టార్ యొక్క మొత్తం చుట్టుకొలతను లెక్కించండి.
చర్చ:
ఇది తెలిసిన విషయమే:
– \( r = 12 \) సెం.మీ
– \( \theta = 120^\circ \)
మొదట, మనం చాప పొడవును కనుగొంటాము:
\[P_b = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi r\]
\[P_b = \frac{120^\circ}{360^\circ} \times 2\pi \times 12\]
\[P_b = \frac{1}{3} \times 2\pi \times 12\]
\[P_b = 8\pi\text{ సెం.మీ}\]
తరువాత, మనం సెక్టార్ చుట్టుకొలతను (చాప పొడవు + రెండు వ్యాసార్థాలు) లెక్కిస్తాము:
\[K = 2r + P_b\]
\[K = 2 \times 12\text{ cm} + 8\pi\text{ cm}\]
\[K = 24\text{ సెం.మీ} + 8\pi\text{ సెం.మీ}\]
ఒకవేళ \( \pi \) ను 3.14 గా తీసుకుంటే, అప్పుడు:
\[K = 24\text{ సెం.మీ} + 8 \times 3.14\text{ సెం.మీ}\]
\[K = 24\text{ సెం.మీ} + 25.12\text{ సెం.మీ}\]
\[K = 49.12\text{ సెం.మీ}\]
కాబట్టి, సెక్టార్ మొత్తం చుట్టుకొలత 49.12 సెం.మీ.
ప్రశ్న 5:
18 సెం.మీ వ్యాసార్థం గల వృత్తంలోని ఒక సెక్టార్ 45° కోణాన్ని ఏర్పరిస్తే, ఆ చాపం పొడవును మరియు సెక్టార్ వైశాల్యాన్ని కనుగొనండి.
చర్చ:
ఇది తెలిసిన విషయమే:
– \( r = 18 \) సెం.మీ
– \( \theta = 45^\circ \)
1. చాప పొడవు:
\[P_b = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi r\]
\[P_b = \frac{45^\circ}{360^\circ} \times 2\pi \times 18\text{ సెం.మీ}\]
\[P_b = \frac{1}{8} \times 36\pi\text{ cm}\]
\[P_b = 4.5\pi\text{ సెం.మీ}\]
ఒకవేళ \( \pi \) ను 3.14 గా తీసుకుంటే, అప్పుడు:
\[P_b = 4.5 \times 3.14\text{ సెం.మీ} \approx 14.13\text{ సెం.మీ}\]
కాబట్టి, చాపం పొడవు సుమారు 14.13 సెం.మీ.
2. సెక్టార్ ప్రాంతం:
\[L_juring = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi \times r^2\]
\[L_juring = \frac{45^\circ}{360^\circ} \times \pi \times (18\text{ cm})^2\]
\[L_juring = \frac{1}{8} \times \pi \times 324\text{ cm}^2\]
\[L_juring = 40.5\pi\text{ cm}^2\]
ఒకవేళ \( \pi \) ను 3.14 గా తీసుకుంటే, అప్పుడు:
\[L_juring = 40.5 \times 3.14\text{ cm}^2 \approx 127.17\text{ cm}^2\]
కాబట్టి, సెక్టార్ వైశాల్యం సుమారుగా 127.17 సెం.మీ².
ముగింపు
ఈ వ్యాసంలో, వృత్త ఖండాలకు సంబంధించిన అనేక ఉదాహరణ సమస్యలు మరియు వాటి పరిష్కారాల గురించి మనం చర్చించాము. వృత్త ఖండాలను అర్థం చేసుకోవడంలో ముఖ్యమైన విషయం ఏమిటంటే, ఒక ఖండం యొక్క వైశాల్యాన్ని మరియు ఒక చాపం యొక్క పొడవును లెక్కించే ప్రాథమిక సూత్రాలపై పట్టు సాధించడం. తరచుగా సాధన చేయడం మరియు ఈ సూత్రాలను వివిధ రకాల సమస్యలకు ఎలా అన్వయించాలో అర్థం చేసుకోవడం, ఇలాంటి సమస్యలను పరిష్కరించే మీ సామర్థ్యాన్ని మెరుగుపరచడంలో సహాయపడుతుందని ఆశిస్తున్నాము.
