దీర్ఘవృత్తాకార శంకుచ్ఛేదాలపై చర్చా ప్రశ్న యొక్క ఉదాహరణ

దీర్ఘవృత్తాకార శంకు విభాగాలను చర్చించే ఉదాహరణ ప్రశ్నలు

పెండహులువాన్

గణితం అనేది మానవ జీవితంలోని వివిధ అంశాలలో కీలక పాత్ర పోషించే ఒక ప్రాథమిక శాస్త్రం. గణితంలో ముఖ్యంగా సవాలుతో కూడుకున్న అంశాలలో ఒకటి జ్యామితి, ప్రత్యేకించి శంకుచ్ఛేదాలు. ఈ వ్యాసంలో, మనం అటువంటి ఒక శంకుచ్ఛేదమైన దీర్ఘవృత్తం గురించి చర్చిస్తాము. ఈ వ్యాసం ఉదాహరణ సమస్యలను మరియు దీర్ఘవృత్తాలపై సమగ్రమైన చర్చను అందిస్తుంది, ఇది విద్యార్థులు ఈ అంశాన్ని మరింత లోతుగా అర్థం చేసుకోవడానికి సహాయపడుతుందని మేము ఆశిస్తున్నాము.

దీర్ఘవృత్తాల నిర్వచనం మరియు లక్షణాలు

ఉదాహరణ ప్రశ్నలలోకి వెళ్ళే ముందు, దీర్ఘవృత్తం అంటే ఏమిటో మొదట అర్థం చేసుకోవడం ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది. ఒక తలంలో రెండు స్థిర బిందువుల (దాని నాభులు) నుండి గల దూరాల మొత్తం స్థిరంగా ఉండే అన్ని బిందువుల సముదాయమే దీర్ఘవృత్తం. ఈ రెండు స్థిర బిందువులను దీర్ఘవృత్తం యొక్క నాభులు (F1 మరియు F2) అని అంటారు.

బీజగణిత రూపంలో, దీర్ఘవృత్తాన్ని దాని సాధారణ సమీకరణం ద్వారా వివరించవచ్చు:
\[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \]
ఇక్కడ \( a \) అనేది దీర్ఘవృత్త కేంద్రం నుండి ప్రధాన అక్షంపై ఉన్న అత్యంత దూరపు బిందువుకు గల దూరం, మరియు \( b \) అనేది దీర్ఘవృత్త కేంద్రం నుండి సహాయక అక్షంపై ఉన్న అత్యంత దూరపు బిందువుకు గల దూరం.

దీర్ఘవృత్తాల ఉదాహరణ ప్రశ్నలు మరియు చర్చ

ప్రశ్న 1:
దీర్ఘవృత్త సమీకరణం \(\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1\). ప్రధాన అక్షం పొడవు, సహాయక అక్షం పొడవు మరియు నాభుల నిరూపకాలను కనుగొనండి.

చర్చ:

ఇవ్వబడిన దీర్ఘవృత్తం యొక్క సమీకరణం \(\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1\).

1. ప్రధాన అక్షం మరియు సహాయక అక్షం పొడవును కనుగొనండి:
\[ a^2 = 25 \Rightarrow a = \sqrt{25} = 5 \]
\[ b^2 = 9 \Rightarrow b = \sqrt{9} = 3 \]

కాబట్టి, ప్రధాన అక్షం పొడవు \(= 2a = 2(5) = 10\).

సహాయక అక్షం పొడవు \(= 2b = 2(3) = 6\).

2. నాభి నిరూపకాలను నిర్ణయించండి:
దీర్ఘవృత్తం యొక్క నాభి దాని ప్రధాన అక్షం మీద \(\sqrt{a^2 – b^2}\) కేంద్రం నుండి కొంత దూరంలో ఉంటుంది.

\[ c = \sqrt{a^2 – b^2} = \sqrt{25 – 9} = \sqrt{16} = 4 \]

ఈ దీర్ఘవృత్తం యొక్క ప్రధాన అక్షం x-అక్షం కాబట్టి, నాభి నిరూపకాలు:
\( (c, 0) \) మరియు \( (-c, 0) \) లేదా \( (4, 0) \) మరియు \( (-4, 0) \).

ప్రశ్న 2:
కేంద్రం \( (0, 0) \) వద్ద ఉండి, ప్రధాన అక్షం x-అక్షంపై ఉన్న ఒక దీర్ఘవృత్తం ఇవ్వబడింది, దాని ప్రధాన అక్షం పొడవు 12 మరియు సహాయక అక్షం పొడవు 8. ఆ దీర్ఘవృత్తం యొక్క సమీకరణాన్ని కనుగొనండి.

చర్చ:

1. ప్రధాన అక్షం పొడవు (2a = 12) అయితే:
\[ a = \frac{12}{2} = 6 \]

2. సహాయక అక్షం పొడవు (2b = 8) ఇవ్వబడినప్పుడు, అప్పుడు:
\[ b = \frac{8}{2} = 4 \]

కేంద్రం \( (0, 0) \) వద్ద మరియు ప్రధాన అక్షం x-అక్షంపై ఉన్న దీర్ఘవృత్తం యొక్క సమీకరణం:
\[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \]

సమీకరణంలో \( a \) మరియు \( b \) లను ప్రతిక్షేపించండి:
\[ \frac{x^2}{6^2} + \frac{y^2}{4^2} = 1 \]

కాబట్టి, దీర్ఘవృత్తం యొక్క సమీకరణం:
\[ \frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{16} = 1 \]

ప్రశ్న 3:
దీర్ఘవృత్తం \(\frac{x^2}{49} + \frac{y^2}{36} = 1\) యొక్క ఉత్కేంద్రతను కనుగొనండి.

చర్చ:

దీర్ఘవృత్తం యొక్క ఉత్కేంద్రత (\( e \)) ఈ సమీకరణం ద్వారా ఇవ్వబడుతుంది:
\[ e = \frac{c}{a} \]
ఇక్కడ \( c = \sqrt{a^2 – b^2} \).

దీర్ఘవృత్త సమీకరణం నుండి, మనకు లభించేది:
\[ a^2 = 49 \Rightarrow a = 7 \]

\[ b^2 = 36 \Rightarrow b = 6 \]

ఇప్పుడు, మనం \( c \) ను కనుగొంటాము:
\[ c = \sqrt{a^2 – b^2} = \sqrt{49 – 36} = \sqrt{13} \]

విపరీతత్వం (\( e \)):
\[ e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{13}}{7} \]

కాబట్టి, దీర్ఘవృత్తం యొక్క ఉత్కేంద్రత:
\[ e = \frac{\sqrt{13}}{7} \]

ప్రశ్న 4:
ఒక దీర్ఘవృత్తం యొక్క రెండు నాభులు \( (-5, 0) \) మరియు \( (5, 0) \) వద్ద ఉండి, దాని ప్రధాన అక్షం పొడవు 12 అయితే, ఆ దీర్ఘవృత్త సమీకరణాన్ని కనుగొనండి.

చర్చ:

1. \( a \) ను కనుగొనండి :

పాన్మాస్న్ g ప్రధాన అక్షం 12 అయితే, అప్పుడు \( 2a = 12 \).
కాబట్టి \( a = \frac{12}{2} = 6 \).

2. \( c \) ను కనుగొనండి :

రెండు నాభి బిందువులు \( (-5, 0) \) మరియు \( (5, 0) \) అయితే:
\[ సి = 5 \]

3. \( b \) ను కనుగొనండి :

\( c = \sqrt{a^2 – b^2} \) అనే సంబంధాన్ని ఉపయోగించండి:
\[ 5 = \sqrt{6^2 – b^2} \]
\[ 25 = 36 – b^2 \]
\[ b^2 = 36 – 25 \]
\[ b^2 = 11 \]

4. దీర్ఘవృత్త సమీకరణాన్ని తిరిగి ఇవ్వండి:

దీర్ఘవృత్తం యొక్క సమీకరణం:
\[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \]

\( a \) మరియు \( b \) లను ప్రతిక్షేపించగా:
\[ \frac{x^2}{6^2} + \frac{y^2}{\sqrt{11}^2} = 1 \]
\[ \frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{11} = 1 \]

కాబట్టి, దీర్ఘవృత్తం యొక్క సమీకరణం:
\[ \frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{11} = 1 \]

పెనుటప్

పైన ఇచ్చిన సమస్యల చర్చ ద్వారా, దీర్ఘవృత్తాలను అర్థం చేసుకోవడంలో కేవలం వాటి సమీకరణాలు మరియు గ్రాఫ్‌లను అధ్యయనం చేయడం మాత్రమే కాకుండా, దీర్ఘవృత్తాల లక్షణాలు మరియు మూలకాలు ఒకదానికొకటి ఎలా సంబంధం కలిగి ఉంటాయో తెలుసుకోవడం కూడా ఇమిడి ఉందని మనం చూడవచ్చు. ఈ విషయాన్ని క్షుణ్ణంగా నేర్చుకోవడం భౌతికశాస్త్రం, ఖగోళశాస్త్రం మరియు ఇతర ఇంజనీరింగ్ రంగాల వంటి వివిధ అనువర్తన రంగాలలో నిస్సందేహంగా చాలా ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది. ఈ ఉదాహరణ సమస్యలు మరియు చర్చల ద్వారా, మీరు దీర్ఘవృత్తాకార శంకుచ్ఛేదాల యొక్క ప్రాథమిక భావనలను మరియు అనువర్తనాలను మరింత బాగా అర్థం చేసుకోగలరని ఆశిస్తున్నాము.

దీర్ఘవృత్తాల గురించి మరింత లోతైన అవగాహన కల్పించాలనే ఆశతో ఈ వ్యాసం వ్రాయబడింది. సాధన చేస్తూ ఉండండి మరియు మీ నైపుణ్యాలను, జ్ఞానాన్ని మెరుగుపరచుకోవడానికి మరిన్ని సంబంధిత సమస్యలను అన్వేషించడానికి సంకోచించకండి!