అంకగణిత శ్రేణిని చర్చించే ఉదాహరణ ప్రశ్నలు
అంకగణిత శ్రేణులు గణితంలో ఒక ప్రాథమిక భావన, ఇది మాధ్యమిక పాఠశాల మరియు ఉన్నత విద్య రెండింటిలోనూ వివిధ సమస్యలలో తరచుగా కనిపిస్తుంది. ఈ భావనలో సంఖ్యల శ్రేణి ఉంటుంది, దీనిలో ప్రతి పదం దాని ముందు పదం నుండి ఒక స్థిర సంఖ్యను కలపడం లేదా తీసివేయడం ద్వారా ఏర్పడుతుంది. ఈ వ్యాసంలో, అంకగణిత శ్రేణుల భావనను మరింతగా అర్థం చేసుకోవడానికి మనం అనేక ఉదాహరణ సమస్యలను మరియు వాటి పరిష్కారాలను చర్చిస్తాము.
అంకగణిత శ్రేణిని అర్థం చేసుకోవడం
అంకగణిత శ్రేణి అనేది రెండు వరుస పదాల మధ్య స్థిరమైన భేదాన్ని (తేడాను) కలిగి ఉండే శ్రేణి. ఉదాహరణకు, ఒక అంకగణిత శ్రేణిలో మొదటి పదం \(a\) మరియు భేదం \(d\) ఉంటే, ఆ పదాలను ఈ క్రింది విధంగా వ్రాయవచ్చు:
[ a, a + d, a + 2d, a + 3d, ... ]
మనం ఈ శ్రేణి యొక్క nవ పదాన్ని కనుగొనాలనుకుంటే, nవ పదం (\(U_n\)) యొక్క సూత్రం:
\[ U_n = a + (n-1)d \]
అదే సమయంలో, ఒక అంకగణిత శ్రేణిలోని మొదటి n పదాల మొత్తాన్ని (\(S_n\)) ఈ క్రింది సూత్రాన్ని ఉపయోగించి లెక్కించవచ్చు:
\[ S_n = \frac{n}{2} (2a + (n-1)d) \]
నమూనా ప్రశ్నలు మరియు చర్చ
ఉదాహరణ ప్రశ్న 1
ప్రశ్న: మొదటి పదం \(a = 5\) మరియు సామాన్య భేదం \(d = 3\) కలిగిన ఒక అంకగణిత శ్రేణి ఇవ్వబడింది. ఆ శ్రేణి యొక్క 10వ పదాన్ని కనుగొనండి.
చర్చ:
10వ పదాన్ని (\(U_{10}\)) కనుగొనడానికి, మనం nవ పదం సూత్రాన్ని ఉపయోగించవచ్చు:
\[ U_{10} = a + (10-1)d \]
\[ U_{10} = 5 + (9 \cdot 3) \]
\[ U_{10} = 5 + 27 \]
\[ U_{10} = 32 \]
కాబట్టి, ఆ శ్రేణిలోని 10వ పదం 32.
ఉదాహరణ ప్రశ్న 2
ప్రశ్న: మొదటి పదం \(a = 4\) మరియు సామాన్య భేదం \(d = 7\) గా ఉన్న అంకగణిత శ్రేణి యొక్క మొదటి 15 పదాల మొత్తాన్ని కనుగొనండి.
చర్చ:
మొదటి 15 పదాల మొత్తాన్ని (\(S_{15}\)) కనుగొనడానికి, మనం మొదటి n పదాల మొత్తం సూత్రాన్ని ఉపయోగించవచ్చు:
\[ S_{15} = \frac{15}{2} (2a + (15-1)d) \]
\[ S_{15} = \frac{15}{2} (2 \cdot 4 + 14 \cdot 7) \]
\[ S_{15} = \frac{15}{2} (8 + 98) \]
\[ S_{15} = \frac{15}{2} \cdot 106 \]
\[ S_{15} = 15 \cdot 53 \]
\[ S_{15} = 795 \]
కాబట్టి, శ్రేణిలోని మొదటి 15 పదాల మొత్తం 795.
ఉదాహరణ ప్రశ్న 3
ప్రశ్న: ఒక అంకగణిత శ్రేణిలో 5వ పదం 20 మరియు 12వ పదం 48 అని తెలిసింది. ఆ శ్రేణి యొక్క మొదటి పదం (\(a\)) మరియు సామాన్య భేదం (\(d\)) కనుగొనండి.
చర్చ:
ఇవ్వబడిన షరతుల నుండి:
\[ U_5 = a + 4d = 20 \]
\[ U_{12} = a + 11d = 48 \]
మనం సాధించగల రెండు చరరాశులు గల రెండు రేఖీయ సమీకరణాలు మన వద్ద ఉన్నాయి:
1. \( a + 4d = 20 \)
2. \( a + 11d = 48 \)
సమీకరణం 1 నుండి, మనం \(a\) ను \(d\) రూపంలో వ్యక్తపరచవచ్చు:
[ a = 20 – 4d ]
ఇప్పుడు మనం \(a\) ను సమీకరణం 2 లో ప్రతిక్షేపిస్తాము:
[20 – 4d + 11d = 48]
[20 + 7d = 48]
[ 7డి = 28 ]
\[ d = 4 \]
ఇప్పుడు మనం \(d\) విలువను \(a = 20 – 4d\) సమీకరణంలో ప్రతిక్షేపిస్తాము:
[ a = 20 – 4 · 4 ]
[ a = 20 – 16 ]
\[ a = 4 \]
కాబట్టి, శ్రేణిలోని మొదటి పదం 4 మరియు సామాన్య భేదం 4.
ఉదాహరణ ప్రశ్న 4
ప్రశ్న: మొదటి పదం \(a = 2\) మరియు సామాన్య భేదం \(d = 5\) కలిగిన ఒక అంకగణిత శ్రేణి యొక్క మొత్తం 200 కావడానికి ఎన్ని పదాలు అవసరం?
చర్చ:
ఈ సందర్భంలో, 200కి సమానమైన మొదటి n పదాల మొత్తాన్ని (\(S_n\)) మనం కనుగొనాలి. మొదటి n పదాల మొత్తం కోసం సూత్రాన్ని ఉపయోగించండి:
\[ S_n = \frac{n}{2} (2a + (n-1)d) = 200 \]
\(a\) మరియు \(d\) విలువలని ప్రతిక్షేపించండి:
\[ \frac{n}{2} (2 \cdot 2 + (n-1) \cdot 5) = 200 \]
\[ \frac{n}{2} (4 + 5n – 5) = 200 \]
\[ \frac{n}{2} (5n – 1) = 200 \]
\[ n (5n – 1) = 400 \]
ఇది ఒక వర్గ సమీకరణం. దీనిని సాధించడానికి, మనం దాని రూపాన్ని మారుస్తాము:
\[ 5n^2 – n – 400 = 0 \]
వర్గ సమీకరణ సూత్రం \(ax^2 + bx + c = 0\) ను ఉపయోగించండి:
\[ n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a} \]
ఈ సందర్భంలో \(a = 5\), \(b = -1\), మరియు \(c = -400\):
\[ n = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 – 4 \cdot 5 \cdot (-400)}}{2 \cdot 5} \]
\[ n = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8000}}{10} \]
\[ n = \frac{1 \pm \sqrt{8001}}{10} \]
\(\sqrt{8001}\) విలువ 89.42కి దగ్గరగా ఉంది, అప్పుడు:
\[ n = \frac{1 \pm 89.42}{10} \]
మేము సానుకూల విలువలను తీసుకుంటాము:
\[ n = \frac{1 + 89.42}{10} \]
\[ n \approx \frac{90.42}{10} \]
[ n ≈ 9.042 ]
కాబట్టి, అవసరమైన పదాల సంఖ్య 9 (రౌండ్ చేస్తే).
ముగింపు
గణితశాస్త్రంలో అంకగణిత శ్రేణులు ఒక కీలకమైన అంశం. అనేక రకాల సమస్యలను పరిష్కరించడానికి, మొదటి పదం, సామాన్య భేదం, nవ పదం మరియు మొదటి n పదాల మొత్తంపై సమగ్ర అవగాహన అమూల్యమైనది. పైన ఇవ్వబడిన ఉదాహరణలు మరియు చర్చల ద్వారా, పాఠకులు అంకగణిత శ్రేణుల ప్రాథమిక భావనలను మరింత బాగా అర్థం చేసుకుంటారని ఆశిస్తున్నాము.
