అనుక్రమాలు మరియు శ్రేణులను చర్చించే ఉదాహరణ ప్రశ్నలు
అనుక్రమాలు మరియు శ్రేణులు గణితంలో ప్రాథమిక భావనలు, ఇవి ప్రాథమిక పాఠశాల నుండి కళాశాల వరకు తరచుగా ఎదురవుతాయి. ఒక నిర్దిష్ట నియమం ప్రకారం అమర్చబడిన సంఖ్యల సముదాయాన్ని అనుక్రమం అంటారు, అయితే ఆ అనుక్రమంలోని పదాల మొత్తాన్ని శ్రేణి అంటారు. ఈ వ్యాసంలో, మనం అనేక ఉదాహరణ సమస్యలను మరియు అనుక్రమాలు, శ్రేణుల గురించి చర్చిస్తాము.
ఉదాహరణ 1: అంకగణిత శ్రేణి
ప్రశ్న:
మొదటి పదం (a) = 3 మరియు వ్యత్యాసం (d) = 5 కలిగిన ఒక అంకగణిత శ్రేణి ఇవ్వబడింది. కనుగొనండి:
1. శ్రేణిలోని 10వ పదం.
2. శ్రేణిలోని మొదటి 20 పదాల మొత్తం.
చర్చ:
1. 10వ టర్మ్
ఒక అంకగణిత శ్రేణి యొక్క nవ పదం యొక్క సూత్రం:
\[
U_n = a + (n-1)d
\]
10వ పదం (U_10) కొరకు:
\[
U_{10} = 3 + (10-1) \cdot 5 = 3 + 45 = 48
\]
2. మొదటి 20 పదాల మొత్తం
ఒక అంకగణిత శ్రేణి యొక్క మొదటి n పదాల మొత్తం (S_n) యొక్క సూత్రం:
\[
S_n = \frac{n}{2} (2a + (n-1)d)
\]
మొదటి 20 పదాల మొత్తం (S_20) కోసం:
\[
S_{20} = \frac{20}{2} (2 \cdot 3 + (20-1) \cdot 5) = 10 (6 + 95) = 10 \cdot 101 = 1010
\]
ఉదాహరణ 2: జ్యామితీయ శ్రేణి
ప్రశ్న:
మొదటి పదం (a) = 4 మరియు నిష్పత్తి (r) = 2 కలిగిన ఒక గుణగణిత శ్రేణి ఇవ్వబడింది. కనుగొనండి:
1. శ్రేణిలోని 6వ పదం.
2. శ్రేణిలోని మొదటి 8 పదాల మొత్తం.
చర్చ:
1. 6వ టర్మ్
ఒక గుణగణిత శ్రేణి యొక్క nవ పదం యొక్క సూత్రం:
\[
U_n = a \cdot r^{(n-1)}
\]
6వ పదం (U_6) కొరకు:
\[
U_{6} = 4 \cdot 2^{(6-1)} = 4 \cdot 2^5 = 4 \cdot 32 = 128
\]
2. మొదటి 8 పదాల మొత్తం
ఒక గుణశ్రేణి యొక్క మొదటి n పదాల మొత్తం (S_n) యొక్క సూత్రం:
\[
S_n = a \frac{r^n – 1}{r – 1}
\]
మొదటి 8 పదాల మొత్తం (S_8) కోసం:
\[
S_{8} = 4 \frac{2^8 – 1}{2 – 1} = 4 \frac{256 – 1}{1} = 4 \cdot 255 = 1020
\]
ఉదాహరణ 3: అభిసరణ జ్యామితీయ అనంత శ్రేణి
ప్రశ్న:
మొదటి పదం (a) = 1 మరియు నిష్పత్తి (r) = 1/2 కలిగిన ఒక గుణగణిత శ్రేణి ఇవ్వబడింది. అనంత శ్రేణి యొక్క మొత్తాన్ని కనుగొనండి.
చర్చ:
అభిసరించే జ్యామితీయ శ్రేణి యొక్క అనంత శ్రేణి (S_∞) మొత్తానికి సూత్రం:
\[
S_{\infty} = \frac{a}{1 – r}
\]
కాబట్టి ఈ సిరీస్ కోసం:
\[
S_{\infty} = \frac{1}{1 – \frac{1}{2}} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2
\]
ఉదాహరణ 4: వర్గ సంఖ్యల అనుక్రమాలు మరియు శ్రేణులు
ప్రశ్న:
మొదటి పదం (U_1) = 1, రెండవ పదం (U_2) = 4, మరియు మూడవ పదం (U_3) = 9 కలిగిన ఒక వర్గ సంఖ్యల శ్రేణి ఇవ్వబడింది. ఈ శ్రేణి యొక్క 5వ పదాన్ని కనుగొనండి. ఈ శ్రేణి అంకగణిత శ్రేణియా లేదా జ్యామితీయ శ్రేణియా? వివరించండి.
చర్చ:
1. 5వ టర్మ్
వర్గ సంఖ్యల శ్రేణి యొక్క నమూనా:
\[
U_n = n^2
\]
5వ పదం (U_5) కొరకు:
\[
U_{5} = 5^2 = 25
\]
2. లైన్ రకం
ఈ శ్రేణి అంకగణితమా లేదా జ్యామితీయమా అని తనిఖీ చేయడానికి, పదాల మధ్య వ్యత్యాసాన్ని (సామాన్య వ్యత్యాసం) మరియు పదాల మధ్య నిష్పత్తిని తనిఖీ చేయండి:
– పదాల మధ్య వ్యత్యాసం (డి):
\[
U_2 – U_1 = 4 – 1 = 3 \\
U_3 – U_2 = 9 – 4 = 5
\]
వ్యత్యాసం స్థిరంగా లేదు కాబట్టి, ఈ క్రమం అంకగణిత క్రమం కాదు.
– తెగల మధ్య నిష్పత్తి (r):
\[
\frac{U_2}{U_1} = \frac{4}{1} = 4 \\
\frac{U_3}{U_2} = \frac{9}{4} = 2.25
\]
పదాల మధ్య నిష్పత్తి స్థిరంగా లేదు కాబట్టి, ఈ అనుక్రమం గుణగణిత అనుక్రమం కాదు.
కాబట్టి, ఈ వర్గ సంఖ్యల శ్రేణి అంకగణిత శ్రేణి కాదు, జ్యామితీయ శ్రేణి కూడా కాదు, కానీ వర్గ సంఖ్యల నమూనాను అనుసరించే ఒక ప్రత్యేక శ్రేణి.
ఉదాహరణ 5: అనంత అంకగణిత శ్రేణి
ప్రశ్న:
అనంతమైన అంకగణిత శ్రేణి యొక్క మొత్తాన్ని లెక్కించడం సాధ్యమేనా? సాధ్యమైతే, ఒక ఉదాహరణ ఇవ్వండి. సాధ్యం కాకపోతే, ఎందుకు కాదో వివరించండి.
చర్చ:
గుణగణిత శ్రేణుల వలె కాకుండా, అనంత అంకగణిత శ్రేణులకు సాధారణంగా పరిమితమైన మొత్తం ఉండదు. దీనికి కారణం, ప్రతి పదం రేఖీయంగా పెరుగుతుంది లేదా తగ్గుతుంది, కాబట్టి మొత్తం నిరవధికంగా పెరుగుతూనే ఉంటుంది.
ఉదాహరణకు, మొదటి పదం 1 మరియు సామాన్య భేదం 1 కలిగిన ఒక అనంత అంకగణిత శ్రేణిని పరిగణించండి:
\[
1 + 2 + 3 + 4 + ...
\]
మనం వాటిని కూడటానికి ప్రయత్నిస్తే, ఆ శ్రేణి ఒక స్థిర విలువకు అభిసరించదని, కానీ అనంతానికి చేరుకుంటుందని స్పష్టమవుతుంది. అందువల్ల, ఒక అనంత అంకగణిత శ్రేణి యొక్క మొత్తం, సాధారణంగా, అనంతంగా ఉంటుంది మరియు దానిని అభిసరించే గుణగణిత శ్రేణిలా లెక్కించలేము.
-
ఈ వ్యాసంలో, మేము అనేక ఉదాహరణ సమస్యలను చర్చించి, అనుక్రమాలు మరియు శ్రేణుల గురించి వివరించాము. మేము అంకగణిత మరియు జ్యామితీయ అనుక్రమాలను సమీక్షించాము, వాటి nవ పదాన్ని మరియు మొదటి పదాల మొత్తాన్ని ఎలా లెక్కించాలో చూశాము, మరియు అనంత శ్రేణుల గురించిన ప్రశ్నలకు సమాధానమిచ్చాము. ఈ ప్రాథమిక భావనలను మరియు ఉదాహరణలను అర్థం చేసుకోవడం ద్వారా, మీరు గణితంలో అనుక్రమాలు మరియు శ్రేణులను నేర్చుకునేటప్పుడు మరింత ఆత్మవిశ్వాసంతో ఉంటారని మేము ఆశిస్తున్నాము.
