Mann-Whitney-testet i statistik
Statistik är en gren av matematiken som sysslar med insamling, analys, tolkning och presentation av data. Statistik används inom olika områden för att fatta datadrivna beslut. En ofta använd teknik inom statistik är Mann-Whitney-testet (även känt som Mann-Whitney U-testet eller Wilcoxons rank-sum-test). Detta är en icke-parametrisk metod som används för att avgöra om det finns en signifikant skillnad mellan två oparade grupper.
Introduktion till Mann-Whitney-testet
Mann-Whitney-testet introducerades av Henry Mann och Donald Whitney år 1947 som ett icke-parametriskt alternativ till t-testet. Denna metod kräver inte antagandet om normalitet. Därför är den särskilt användbar när data inte följer en normalfördelning eller när urvalsstorleken är för liten för att validera normalitetsantagandet.
Grundprinciper för Mann-Whitney-testet
Mann-Whitney-testet används för att jämföra medianvärdena för två grupper. Grundprincipen är:
1. Rangordning av observation: All data från båda grupperna kombineras och rangordnas från minsta till största. Om det finns identiska värden rangordnas varje observation med medelvärdet av dess korrekta rangordning.
2. Beräkning av statistiskt test: Det statistiska testvärdet (U) beräknas baserat på summan av rankningarna för varje grupp. Det finns två sätt att beräkna: ett som börjar med den första gruppen och det andra med den andra gruppen.
– Den allmänna formeln för U är:
\[
U₂ = n₁ × n₂ + \frac{n₂ × (n₂ + 1)/1) – R₂
\]
atau
\[
U₂ = n₁ × n₂ + \frac{n₂ × (n₂ + 1)/2) – R₂
\]
Där:
– \(n_1\) och \(n_2\) är antalet observationer i varje grupp,
– \(R_1\) och \(R_2\) är antalet rangordningar i varje grupp.
3. Signifikanstest: Signifikanstestet utförs för att bestämma p-värdet. Vid stora stickprov kan U-fördelningen approximeras med en normalfördelning.
Antaganden i Mann-Whitney-testet
Även om Mann-Whitney-testet är ett icke-parametriskt test och inte kräver antagandet om normalfördelning, finns det flera relaterade antaganden som måste vara uppfyllda för att resultaten ska vara giltiga:
1. Oberoende: Varje observation i båda grupperna måste vara oberoende av varandra.
2. Ordinal- eller intervallskala: Data måste vara på en ordinal- eller intervallskala. Det betyder att informationen kan sorteras och innehåller rangordningsinformation.
3. Fördelningsområde: Fördelningen av båda grupperna måste ha samma form (även om medianen kan vara olika).
Steg för att utföra Mann-Whitney-testet
Följande är de steg som vanligtvis följs för att utföra Mann-Whitney-testet:
1. Kombinera och sortera data: Kombinera data från båda grupperna och sortera dem övergripande. Rangordningar tilldelas enligt ordning med justeringar för rangordning kopplade till medelvärdet.
2. Beräkna antalet rankningar: Beräkna antalet rankningar för varje grupp.
3. Bestämning av statistikens U-värde: Använd formeln som förklarats tidigare för att beräkna U-värdet för båda grupperna.
4. Bestämning av kritiskt värde eller p-värde: Jämför det erhållna U-värdet med det kritiska värdet från U-fördelningstabellen (eller beräkna p-värdet) för att avgöra om skillnaden mellan grupperna är statistiskt signifikant.
Anta till exempel att vi har två uppsättningar data, A och B. Dessa data kan representera två olika behandlingar för en viss sjukdom, och vi vill veta om den ena behandlingen är mer effektiv än den andra.
Exempel på praktik
Låt oss säga att vi har två terapigrupper:
– Terapi A: [85, 90, 88, 75, 91]
– Terapi B: [80, 78, 95, 87, 92]
1. Sammanfoga och sortera data:
– Komposit: [85, 90, 88, 75, 91, 80, 78, 95, 87, 92]
– Ordning och rangordning: [75(1), 78(2), 80(3), 85(4), 87(5), 88(6), 90(7), 91(8), 92(9), 95(10)]
2. Beräkning av antalet rangordningar:
– Antal terapi A-klassificeringar: 4 + 7 + 6 + 1 + 8 = 26
– Antal bedömningar av Terapi B: 3 + 2 + 10 + 5 + 9 = 29
3. Beräkning av U-värde:
\[
U_A = n_1 × n_2 + \frac{n_1 × (n_1 + 1)}{2} – R_A = 5 × 5 + \frac{5 × (5 + 1)}{2} – 26 = 25 + 15 – 26 = 14
\]
\[
U_B = n_1 × n_2 + \frac{n_2 × (n_2 + 1)}{2} – R_B = 5 × 5 + \frac{5 × (5 + 1)}{2} – 29 = 25 + 15 – 29 = 11
\]
Välj ett mindre U-värde, nämligen U = 11.
4. Bestämma betydelse:
Jämför det erhållna U-värdet med det kritiska U-värdet för fördelningstabell Mann-Whitney eller beräkna p-värdet. Om U är mindre än det kritiska värdet eller p-värdet är lägre än alfa (t.ex. 0,05), förkastar vi nollhypotesen och drog slutsatsen att det fanns en signifikant skillnad mellan de två grupperna.
Fördelar och begränsningar med Mann-Whitney-testet
Fördelar:
1. Icke-parametrisk: Kräver inte antagandet om normalfördelning.
2. Flexibilitet: Kan användas när data är på en ordinalskala eller har extremvärden.
3. Enkelt och effektivt: Lätt att beräkna och tolka.
Begränsningar:
1. Förlust av effektivitet: I en normalfördelning är t-testet mer effektivt.
2. Antagande om samma fördelningsform: Detta test antar samma fördelningsform mellan de två grupperna.
3. Bunden vid små urvalsstorlekar: Den asymptotiska fördelningen kan vara mindre noggrann vid mycket små urval.
slutsats
Mann-Whitney-testet är ett kraftfullt och flexibelt icke-parametriskt verktyg för att identifiera skillnader mellan två oparade grupper. Genom att förstå dess grundläggande principer och implementeringssteg kan vi använda detta test i en mängd olika tillämpningar inom olika forskningsområden. Även om det har vissa begränsningar, gör dess fördelar under vissa omständigheter det till en mycket värdefull metod inom statistik.
