Hur man beräknar standardavvikelsen
Standardavvikelse är ett av de mest använda statistiska måtten för att avgöra hur "utspridd" data är från sitt medelvärde. I verkligheten hjälper standardavvikelsen oss att förstå stabiliteten eller variationen hos ett fenomen: till exempel variationer i testresultat, försäljningsfluktuationer, skillnader i längd och till och med riskerna i finansiella data. Ju mindre standardavvikelsen är, desto närmare är data medelvärdet. Omvänt indikerar en stor standardavvikelse att data är långt ifrån medelvärdet och har hög variation.
Den här artikeln kommer att diskutera innebörden av standardavvikelse, formeln som används och stegen för att beräkna den manuellt genom lättförståeliga exempel.
1. Definition av standardavvikelse
Standardavvikelsen är kvadratroten ur variansen. Variansen i sig är medelvärdet av kvadraterna av skillnaderna mellan varje datapunkt och medelvärdet. Varför använda en kvadrat? Eftersom skillnaderna mellan datapunkterna och medelvärdet kan vara antingen negativa eller positiva. Om de läggs samman direkt kan negativa och positiva skillnader ta ut varandra, vilket resulterar i missvisande resultat. Genom att kvadrera skillnaderna blir alla värden positiva, vilket möjliggör en mer exakt mätning av datafördelningen.
Helt enkelt:
– Varians = mått på spridning i "kvadratiska" enheter.
– Standardavvikelse = ett mått på spridningen som har återgått till de ursprungliga dataenheterna.
Exempel: om data är i form av testresultat (poängenheter) kommer variansen att vara i poäng, medan standardavvikelsen återigen kommer att vara i poäng, vilket gör det lättare att tolka.
2. Population kontra stickprovsstandardavvikelse
Innan du gör en beräkning är det viktigt att veta vilken typ av data du har:
1. Population: data inkluderar alla medlemmar som ska undersökas.
Populationens standardavvikelsesformel använder divisorn N (antal data).
2. Urval: data är bara en del av populationen och används vanligtvis för att representera en större population.
I exempelformeln för standardavvikelsen används en divisor (n − 1) för att korrigera för uppskattningsbias. Denna korrigering kallas Bessels korrigering.
I vardagsbruk (t.ex. forskning, undersökningar, klassanalys) betraktas data ofta som ett urval, så delaren är (n − 1).
3. Standardavvikelseformel
A. Formel för populationsstandardavvikelse
Antag att data: \(x_1, x_2, \dots, x_N \)
Befolkningsgenomsnitt:
\[
∫mu = \frac{\sum_{i=1}^{N} x_i}{N}
\]
Populationsvarians:
\[
\sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{N}(x_i – \mu)^2}{N}
\]
Populationens standardavvikelse:
\[
\sigma = \sqrt{\sigma^2}
\]
B. Exempel på standardavvikelseformel
Exempelmedelvärde:
\[
\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}
\]
Provvarians:
\[
s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i – \bar{x})^2}{n – 1}
\]
Standardavvikelse i provet:
\[
s = ∫sqrt{s²}
\]
4. Steg för att beräkna standardavvikelsen manuellt
För att göra det lättare att förstå använder vi exemplet med 5 studenters examensresultat:
Uppgifter: 60, 70, 70, 80, 90
Anta att dessa data är ett urval (vanligt i inlärningsexempel).
Steg 1: Beräkna medelvärdet
\[
\bar{x} = \frac{60 + 70 + 70 + 80 + 90}{5} = \frac{370}{5} = 74
\]
Så är snittpoängen 74.
Steg 2: Beräkna skillnaden mellan varje data och medelvärdet
Skapa en differenskolumn \( (x_i – \bar{x}) \):
– 60 − 74 = −14
– 70 − 74 = −4
– 70 − 74 = −4
– 80 − 74 = 6
– 90 − 74 = 16
Steg 3: Kvadrera skillnaden
Beräkna ((x_i – x)^2):
– (−14)² = 196
– (−4)² = 16
– (−4)² = 16
– 6² = 36
– 16² = 256
Steg 4: Addera kvadraterna av skillnaderna
\[
\sum(x_i – \bar{x})^2 = 196 + 16 + 16 + 36 + 256 = 520
\]
Steg 5: Beräkna variansen (för ett stickprov, dividera med n − 1)
Eftersom n = 5, så är n − 1 = 4:
\[
s^2 = \frac{520}{4} = 130
\]
Så stickprovsvariansen är 130.
Steg 6: Kvadratroten ur variansen för att få standardavvikelsen
\[
s = 130 °C \approx 11,40
\]
Så standardavvikelsen för data är ungefär 11,40. Det betyder att elevernas resultat i genomsnitt avviker med ungefär 11 poäng från medelvärdet på 74.
5. Snabbt sätt: Alternativ formel (beräkning)
Förutom den manuella metoden ovan finns det en beräkningsformel som ofta används för att snabba upp beräkningar, särskilt om det finns mycket data:
Provvarians:
\[
s^2 = \frac{\summa x_i^2 – \frac{(\summa x_i)^2}{n}}{n – 1}
\]
Denna formel undviker att beräkna skillnaderna en i taget, men kräver fortfarande precision vid beräkning av summan av kvadraterna av data.
För konceptuell förståelse är dock steg-för-steg-metoden (differens → kvadrat → summa) vanligtvis enklare och säkrare från fel.
6. Tolkning av standardavvikelse
Standardavvikelsen stannar inte bara vid siffror, utan måste tolkas:
– Liten standardavvikelse: data är grupperade nära medelvärdet, variationen är låg, resultaten är mer konsekventa.
– Stor standardavvikelse: data är långt spridd från genomsnittet, variationen är hög, resultaten är mindre konsekventa.
Anta till exempel att två klasser har samma medelpoäng, 74. Om klass A har en standardavvikelse på 5 och klass B en standardavvikelse på 15, då är poängen i klass A jämnare och mer stabila. Klass B har större variation: vissa är mycket låga och vissa är mycket höga.
7. Vanliga misstag
Några vanliga misstag vid beräkning av standardavvikelse:
1. Glömde att skilja mellan urval och population, så delaren är fel (N vs n − 1).
2. Felberäkning av medelvärdet, vilket resulterar i att alla efterföljande steg blir felaktiga.
3. Glömmer att kvadrera differensen, eller gör ett misstag när man tar kvadratroten i slutet.
4. Aritmetiska fel vid addition eller kvadratberäkning av tal.
För att förhindra fel kan man skapa en beräkningstabell och dubbelkolla resultaten.
Stängning
Att beräkna standardavvikelsen är egentligen inte svårt om du följer stegen korrekt: beräkna medelvärdet, hitta skillnaden mellan varje datamängd, kvadrera skillnaderna, lägg ihop dem, dividera (med n eller n − 1) och ta sedan kvadratroten. Genom att förstå standardavvikelsen kan du bedöma hur konsekventa dina data är och hur mycket variation det finns.
Om du vill kan jag även skapa ytterligare exempel med mer data, exempel på grupperade data (frekvenstabeller) eller hur man beräknar standardavvikelse med hjälp av Excel/Google Sheets.
