Бернулијева формула: принципи и примене
Бернулијев принцип је фундаментални концепт механике флуида, који је открио Данијел Бернули, швајцарски научник, у 18. веку. Овај принцип објашњава везу између брзине протока флуида и притиска унутар тог тока. Овај чланак ће детаљно размотрити Бернулијеву формулу, њене основне концепте, математичке изводе, примере израчунавања и њену примену у свакодневном животу.
Разумевање Бернулијеве формуле
Бернулијева формула каже да је у идеалном току флуида (без трења), количина механичке енергије (потенцијалне енергије, кинетичке енергије и притиска) по јединици запремине константна током целог тока. Ова формула се наводи као:
\[ P + \frac{1}{2} \rho v^2 + \rho gh = \text{константа} \]
Где:
– \( P \) је притисак флуида (у паскалима, Pa),
– \( \rho \) је густина флуида (у килограмима по кубном метру, kg/m³),
– \( v \) је брзина протока флуида (у метрима у секунди, m/s),
– \( g \) је убрзање гравитације (у метрима по секунди на квадрат, m/s²),
– \( h \) је висина флуида изнад референтне вредности (у метрима, m).
Бернулијев принцип
Бернулијев принцип се заснива на закону очувања енергије. При протоку флуида, укупна енергија у систему мора остати константна ако се систему не додаје нити одузима енергија. Укупна енергија по јединици запремине састоји се од:
1. Енергија притиска (\( P \)): Енергија изазвана притиском флуида.
2. Кинетичка енергија (\( \frac{1}{2} \rho v^2 \)): Енергија изазвана кретањем флуида.
3. Гравитациона потенцијална енергија (\( \rho gh \)): Енергија узрокована положајем флуида у гравитационом пољу.
Математичко извођење Бернулијеве формуле
Да бисмо разумели извођење Бернулијеве формуле, разматрамо мали елемент флуида који се креће у току брзином \( v \) од тачке 1 до тачке 2. Ако претпоставимо да нема губитка енергије услед трења или топлоте, укупна енергија у тачкама 1 и 2 мора бити иста.
Укупна енергија у тачки 1 (\( E_1 \)) је:
\[ E_1 = P_1 + \frac{1}{2} \ρv_1^2 + \ρgh_1 \]
Укупна енергија у тачки 2 (\( E_2 \)) је:
\[ E_2 = P_2 + \frac{1}{2} \ρv_2^2 + \ρgh_2 \]
Пошто укупна енергија мора бити константна:
\[ P_1 + \frac{1}{2} \ro v_1^2 + \ro gh_1 = P_2 + \frac{1}{2} \ro v_2^2 + \ro gh_2 \]
То је оно што се назива Бернулијева формула.
Пример израчунавања коришћењем Бернулијеве формуле
Претпоставимо да имамо хоризонталну цев са водом која тече од тачке А до тачке Б. У тачки А, брзина воде је 2 м/с, а притисак је 150,000 Па. У тачки Б, брзина воде је 4 м/с. Густина воде је 1000 кг/м³. Израчунајте притисак у тачки Б.
Користите Бернулијеву формулу:
\[ P_A + \frac{1}{2} \ro v_A^2 + \ro gh_A = P_B + \frac{1}{2} \ro v_B^2 + \ro gh_B \]
Пошто је цев хоризонтална, \( h_A = h_B \), тако да се \( \rho gh \) у обе тачке може занемарити:
\[ P_A + \frac{1}{2} \ro v_A^2 = P_B + \frac{1}{2} \ro v_B^2 \]
Замените познате вредности:
\[ 150,000 + \frac{1}{2} \пута 1000 \пута (2)^2 = P_B + \frac{1}{2} \пута 1000 \пута (4)^2 \]
Израчунајте кинетичку енергију у обе тачке:
\[ 150,000 + 2000 = P_B + 8000 \]
\[ 152,000 = P_B + 8000 \]
\[ P_B = 152,000 – 8000 \]
\[ P_B = 144,000 \, \text{Pa} \]
Дакле, притисак у тачки Б је 144,000 Па.
Примена Бернулијевог принципа
1. Авиони: Бернулијев принцип се користи у пројектовању крила авиона. Облик крила авиона је пројектован тако да је брзина ваздуха изнад крила већа него испод крила. То резултира нижим притиском изнад крила и вишим притиском испод крила, стварајући узгон који омогућава авиону да лети.
2. Тркачка возила: Аеродинамички дизајн тркачких возила користи Бернулијев принцип за повећање брзине и стабилности. Спојлери и дифузори се користе за регулисање протока ваздуха, повећавајући потисну силу, што побољшава вучу возила на путу.
3. Проток крви у телу: Бернулијев принцип се такође примењује на проток крви кроз крвне судове. Разлике у брзини протока крви и притиску у различитим деловима тела могу се проучавати ради дијагностиковања медицинских стања.
4. Вентуријев мерач: Уређај који се користи за мерење брзине протока флуида у цеви. Вентуријев мерач има сужени део, што узрокује повећање брзине протока флуида и смањење притиска у складу са Бернулијевим принципом. Разлика притиска између широког и уског дела користи се за израчунавање брзине протока.
5. Распршивачи парфема: Распршивачи парфема или распршивачи течности користе Бернулијев принцип. Када се ваздух дува кроз уску цев, притисак ваздуха око краја цеви се смањује, усмеравајући парфемску течност нагоре кроз цев и распршујући је као фину маглу.
Фактори који утичу на примену Бернулијевог принципа
1. Трење: У стварности, флуиди нису идеални и увек постоји унутрашње трење (вискозитет) које узрокује губитак енергије. Због тога је примена Бернулијевог принципа сложенија.
2. Стисљивост флуида: Бернулијев принцип је лакше применити на нестишљиве флуиде (као што је вода). За гасове или стишљиве флуиде, једначина се мора прилагодити.
3. Турбуленција: Бернулијев принцип се примењује на ламинарни (регуларни) ток. Код турбулентног (нерегуларног) тока, анализа постаје компликованија.
Студија случаја: Употреба Бернулијевог принципа у дизајну крила авиона
Дизајн крила авиона је класичан пример Бернулијевог принципа у акцији. Закривљени врх и равни доњи облик крила омогућавају ваздуху да брже струји преко крила него испод њега. Према Бернулијевом принципу, већа брзина протока ваздуха изнад крила производи нижи притисак него испод крила. Ова разлика у притиску ствара силу узгона која омогућава авиону да лети.
Претпоставимо да авион има површину крила од 25 м². Брзина ваздуха изнад крила је 70 м/с, док је испод крила 50 м/с. Густина ваздуха је 1.225 кг/м³. Израчунајте резултујући узгон.
1. Израчунајте разлику притиска (\( \Delta P \)) користећи Бернулијеву формулу:
\[ P_{дно} – P_{врх} = \frac{1}{2} \rho (v_{врх}^2 – v_{дно}^2) \]
Замените познате вредности:
\[ \Delta P = \frac{1}{2} \пута 1.225 \пута (70^2 – 50^2) \]
\[ \Delta P = \frac{1}{2} \пута 1.225 \пута (4900 – 2500) \]
\[ \Delta P = \frac{1}{2} \пута 1.225 \пута 2400 \]
\[ \Делта P = 1.225 \пута 1200 \]
\[ \Delta P = 1470 \, \text{Pa} \]
2. Израчунајте силу узгона (\( F_{подизање} \)):
\[ F_{подизање} = \Delta P \пута A \]
\[ F_{подизање} = 1470 \, \text{Па} \пута 25 \, \text{м}^2 \]
\[ F_{подизање} = 36,750 \, \текст{
Н} \]
Дакле, резултујућа сила подизања је 36,750 њутна.
Закључак
Бернулијев принцип је један од основа механике флуида, објашњавајући везу између брзине протока флуида и притиска. Разумевањем и применом Бернулијеве формуле, можемо анализирати и пројектовати разне системе који укључују проток флуида, од авиона до мерача протока. Иако у пракси често морамо да узмемо у обзир факторе као што су трење и турбуленција, Бернулијев принцип остаје суштински алат у разумевању динамике флуида и пројектовању ефикасних инжењерских решења.
