Како израчунати стандардну девијацију
Стандардна девијација је једна од најчешће коришћених статистичких мера за одређивање колико су подаци „раширени“ у односу на своју средњу вредност. У стварном животу, стандардна девијација нам помаже да разумемо стабилност или варијацију феномена: на пример, варијације у резултатима тестова, флуктуације продаје, разлике у висини, па чак и ризике у финансијским подацима. Што је стандардна девијација мања, то су подаци ближи средњој вредности. Насупрот томе, велика стандардна девијација указује на то да су подаци далеко од средње вредности и да имају велику варијацију.
Овај чланак ће размотрити значење стандардне девијације, коришћену формулу и кораке за њено ручно израчунавање кроз лако разумљиве примере.
1. Дефиниција стандардне девијације
Стандардна девијација је квадратни корен варијансе. Сама варијанса је просек квадрата разлика између сваке тачке података и средње вредности. Зашто користити квадрат? Зато што разлике између тачака података и средње вредности могу бити негативне или позитивне. Ако се директно саберу, негативне и позитивне разлике могу се међусобно поништити, што резултира обмањујућим резултатима. Квадратирањем разлика, све вредности постају позитивне, што омогућава прецизније мерење дистрибуције података.
Једноставно:
– Варијанса = мера распона у „квадратним“ јединицама.
– Стандардна девијација = мера распона која се вратила на оригиналне јединице података.
Пример: ако су подаци у облику резултата тестова (јединице поена), варијанса ће бити у поенима, док ће стандардна девијација поново бити у поенима, што олакшава тумачење.
2. Стандардна девијација популације у односу на узорак
Пре него што почнете са израчунавањем, важно је да знате које врсте података имате:
1. Становништво: подаци укључују све чланове који ће бити истраживани.
Формула за стандардну девијацију популације користи делилац N (број података).
2. Узорак: подаци су само део популације, обично се користе за представљање веће популације.
Формула за стандардну девијацију узорка користи делилац (n − 1) за корекцију пристрасности процене. Ова корекција се назива Беселова корекција.
У свакодневној пракси (нпр. истраживање, анкете, анализа разреда), подаци се често сматрају узорком, па је делилац (n − 1).
3. Формула стандардне девијације
А. Формула стандардне девијације популације
Претпоставимо да су подаци: \( x_1, x_2, \dots, x_N \)
Просек становништва:
\[
\mu = \frac{\sum_{i=1}^{N} x_i}{N}
\]
Варијанса популације:
\[
σ² = (sum_{i=1}^{N}(x_i – μ)^2}{N)
\]
Стандардна девијација популације:
\[
σ = σ²
\]
Б. Пример формуле за стандардну девијацију
Просечна вредност узорка:
\[
σ = στρχρχως (suma_{i=1}^{n} x_i}{n})
\]
Варијанса узорка:
\[
s^2 = ∫sum_{i=1}^{n}(x_i – x)^2}{n – 1}
\]
Стандардна девијација узорка:
\[
s = \sqrt{s^2}
\]
4. Кораци за ручно израчунавање стандардне девијације
Ради лакшег разумевања, користимо пример података о резултатима испита 5 студената:
Подаци: 60, 70, 70, 80, 90
Претпоставимо да су ови подаци узорак (уобичајено у примерима учења).
Корак 1: Израчунајте просек
\[
\bar{x} = \frac{60 + 70 + 70 + 80 + 90}{5} = \frac{370}{5} = 74
\]
Дакле, просечан резултат је 74.
Корак 2: Израчунајте разлику између сваког податка и просека
Направите колону разлике \( (x_i – \bar{x}) \):
– 60 − 74 = −14
– 70 − 74 = −4
– 70 − 74 = −4
– 80 − 74 = 6
– 90 − 74 = 16
Корак 3: Квадрирајте разлику
Израчунај (x_i – x)²):
– (−14)² = 196
– (−4)² = 16
– (−4)² = 16
– 6² = 36
– 16² = 256
Корак 4: Додајте квадрате разлика
\[
∫(x_i – x)² = 196 + 16 + 16 + 36 + 256 = 520
\]
Корак 5: Израчунајте варијансу (за узорак, поделите са n − 1)
Пошто је n = 5, онда је n − 1 = 4:
\[
s^2 = \frac{520}{4} = 130
\]
Дакле, варијанса узорка је 130.
Корак 6: Израчунавање квадратног корена варијансе да би се добила стандардна девијација
\[
s = \sqrt{130} \approx 11{,}40
\]
Дакле, стандардна девијација података је приближно 11,40. То значи да се, у просеку, резултати ученика разликују за приближно 11 поена од просека од 74.
5. Брзи начин: Алтернативна формула (израчунавање)
Поред горе наведене ручне методе, постоји и рачунска формула која се често користи за убрзавање прорачуна, посебно ако има пуно података:
Варијанса узорка:
\[
s^2 = ∫_{сума x_i^2 – ∫_{(сума x_i)^2}{n}}{n – 1}
\]
Ова формула избегава израчунавање разлика једну по једну, али и даље захтева прецизност при израчунавању збира квадрата података.
Међутим, за концептуално разумевање, метод корак по корак (разлика → квадрат → збир) је обично лакши и безбеднији од грешака.
6. Тумачење стандардне девијације
Стандардна девијација се не зауставља само на бројевима, већ се мора интерпретирати:
– Мала стандардна девијација: подаци су груписани близу средње вредности, варијација је мала, резултати су конзистентнији.
– Велика стандардна девијација: подаци су раштркани далеко од просека, варијације су велике, резултати су мање конзистентни.
На пример, претпоставимо да две класе имају исти средњи резултат, 74. Ако класа А има стандардну девијацију од 5, а класа Б стандардну девијацију од 15, онда су резултати у класи А равномернији и стабилнији. Класа Б има веће варијације: неки су веома ниски, а неки веома високи.
7. Уобичајене грешке
Неке уобичајене грешке при израчунавању стандардне девијације:
1. Заборавио сам да направим разлику између узорка и популације, тако да је делилац погрешан (N наспрам n − 1).
2. Погрешно израчунавање просека, што резултира погрешним свим наредним корацима.
3. Заборављање квадрирања разлике или прављење грешке приликом извлачења квадратног корена на крају.
4. Аритметичке грешке при сабирању или израчунавању квадрата бројева.
Спречавање грешака може се обавити креирањем табеле за прорачун и двоструком провером резултата.
Пенутуп
Израчунавање стандардне девијације заправо није тешко ако правилно пратите кораке: израчунајте средњу вредност, пронађите разлику између сваког скупа података, квадрирајте разлике, саберите их, поделите (са n или n − 1), а затим извадите квадратни корен. Разумевањем стандардне девијације можете проценити колико су ваши подаци конзистентни и колико варијација постоји.
Ако желите, могу да направим и додатне примере са више података, примере груписаних података (табеле фреквенција) или како израчунати стандардну девијацију помоћу програма Excel/Google Sheets.
