Пример проблема који се односе на векторе положаја
Вектори су фундаментални концепт у математици и физици, представљајући величине са смером и величином. У различитим применама, вектори се често користе за описивање положаја, брзине, силе и многих других параметара. Међу различитим типовима вектора, вектори положаја играју кључну улогу у мапирању положаја тачке у простору.
Дефиниција вектора положаја
Вектор положаја је вектор који описује положај тачке у односу на координатни почетак у координатном систему. Генерално, вектор положаја се пише у картезијанском координатном облику као:
\[ \матхбф{р} = к\матхбф{и} + и\матхбф{ј} + з\матхбф{к} \]
Овде је \(\mathbf{r}\) вектор положаја, \(x\), \(y\) и \(z\) су његове компоненте дуж \(x\), \(y\) и \(z\) оса, респективно, док су \(\mathbf{i}\), \(\mathbf{j}\) и \(\mathbf{k}\) јединични вектори паралелни координатним осама, респективно. У дводимензионалном простору, \(z\) компонента генерално не постоји, па вектор положаја постаје:
\[ \матхбф{р} = к\матхбф{и} + и\матхбф{ј} \]
Примене вектора позиције
На пример, у физици, вектори положаја играју кључну улогу у описивању кретања објеката. Положај објекта у односу на координатни почетак (референтну тачку) може се представити вектором положаја. Штавише, у машинству, прорачуни сила и момената често укључују употребу вектора положаја.
Пример питања и дискусија о векторима положаја
Питање 1
Претпоставимо да постоје две тачке у 3Д простору, тачка А са координатама \( (1, 2, 3) \) и тачка Б са координатама \( (4, 0, -2) \). Одредити векторе положаја тачака А и Б. Поред тога, израчунати вектор који повезује тачку А са тачком Б.
пембахасан:
Вектор положаја за тачку А:
\[ \матхбф{р_А} = 1\матхбф{и} + 2\матхбф{ј} + 3\матхбф{к} \]
Вектор положаја за тачку Б:
\[ \матхбф{р_Б} = 4\матхбф{и} + 0\матхбф{ј} – 2\матхбф{к} \]
Затим, да бисмо пронашли вектор који повезује тачку А са тачком Б (назван \(\mathbf{AB}\)), потребно је да одузмемо вектор положаја тачке А од вектора положаја тачке Б:
\[ \mathbf{AB} = \mathbf{r_B} – \mathbf{r_A} \]
Дакле, заменом два вектора положаја изнад:
\[ \матхбф{АБ} = (4\матхбф{и} + 0\матхбф{ј} – 2\матхбф{к}) – (1\матхбф{и} + 2\матхбф{ј} + 3\матхбф{к}) \]
\[ \матхбф{АБ} = (4 – 1)\матхбф{и} + (0 – 2)\матхбф{ј} + (-2 – 3)\матхбф{к} \]
\[ \матхбф{АБ} = 3\матхбф{и} – 2\матхбф{ј} – 5\матхбф{к} \]
Дакле, вектор који повезује тачку А са тачком Б је (3\mathbf{i} – 2\mathbf{j} – 5\mathbf{k}).
Питање 2
Ако је тачка P на \((2, 3)\) у 2Д равни, пронађите дужину (норму) вектора положаја \(\mathbf{r_P}\).
пембахасан:
Вектор положаја тачке P:
\[ \матхбф{р_П} = 2\матхбф{и} + 3\матхбф{ј} \]
Дужина вектора положаја \(\mathbf{r_P}\) може се израчунати коришћењем формуле за векторску норму (или дужину):
\[ \| \матхбф{р_П} \| = \скрт{к^2 + и^2} \]
Замените вредности \(x\) и \(y\):
\[ \| \матхбф{р_П} \| = \скрт{2^2 + 3^2} \]
\[ \| \матхбф{р_П} \| = \скрт{4 + 9} \]
\[ \| \матхбф{р_П} \| = \скрт{13} \]
Дакле, дужина вектора положаја \(\mathbf{r_P}\) је \(\sqrt{13}\).
Питање 3
Претпоставимо да тачка Q лежи у тачки (5, -4, 2). Наћи угао између вектора положаја (r_Q) и x-осе.
пембахасан:
Вектор положаја тачке Q:
\[ \матхбф{р_К} = 5\матхбф{и} – 4\матхбф{ј} + 2\матхбф{к} \]
Да бисмо пронашли угао између вектора \(\mathbf{r_Q}\) и \(x\) осе, можемо користити концепт скаларног производа. Прво, одређујемо скаларни производ између \(\mathbf{r_Q}\) и \(\mathbf{i}\):
\[ \матхбф{р_К} \цдот \матхбф{и} = 5\матхбф{и} \цдот \матхбф{и} + (-4\матхбф{ј} \цдот \матхбф{и}) + 2\матхбф{к} \цдот \матхбф{и} \]
Пошто је \(\mathbf{i} \cdot \mathbf{i} = 1\), \(\mathbf{j} \cdot \mathbf{i} = 0\), и \(\mathbf{k} \cdot \mathbf{i} = 0\), онда:
\[ \матхбф{р_К} \цдот \матхбф{и} = 5 \]
Норма од \(\mathbf{r_Q}\):
\[ \| \матхбф{р_К} \| = \скрт{5^2 + (-4)^2 + 2^2} \]
\[ \| \матхбф{р_К} \| = \скрт{25 + 16 + 4} \]
\[ \| \матхбф{р_К} \| = \скрт{45} \]
\[ \| \матхбф{р_К} \| = 3\скрт{5} \]
Норма вектора \(\mathbf{i}\) је 1, јер је \(\mathbf{i}\) јединични вектор.
Коришћење формуле скаларног производа за проналажење угла \(\theta\):
\[ \матхбф{р_К} \цдот \матхбф{и} = \| \матхбф{р_К} \| \| \матхбф{и} \| \цос\тхета\]
\[ 5 = 3\sqrt{5} \cos\theta \]
\[ \cos\theta = \frac{5}{3\sqrt{5}} \]
\[ \cos\theta = \frac{5}{3\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} \]
\[ \cos\theta = \frac{5\sqrt{5}}{15} \]
\[ \cos\theta = \frac{\sqrt{5}}{3} \]
Дакле, угао \(θ\) између вектора положаја \(\mathbf{r_Q}\) и \(x\) осе је:
\[ \theta = \cos^{-1} \left(\frac{\sqrt{5}}{3}\right) \]
Закључак
Вектори положаја играју кључну улогу у науци и инжењерству, посебно у мапирању положаја објеката у координатном простору. Горе наведени примери показују како се израчунавају вектори положаја, њихове дужине и углови између њих и координатних оса. Разумевање ових основних концепата је непроцењиво у решавању различитих проблема који укључују простор и координате у математици и физици.
