Пример питања и дискусија: Варијанса и стандардна девијација појединачних података
Статистика је грана математике која се бави прикупљањем, анализом, интерпретацијом, презентацијом и организацијом података. Два важна концепта у статистици су варијанса и стандардна девијација. Овај чланак ће детаљно размотрити како се израчунава варијанса и стандардна девијација једног скупа података кроз неколико примера проблема.
Разумевање варијансе и стандардне девијације
Варијанса је мера која квантификује колико су бројеви у скупу података распоређени од средње вредности или просека. Варијанса се изражава у квадратним јединицама оригиналних података, што је често чини тешком за тумачење.
Стандардна девијација је квадратни корен варијансе. Она пружа интуитивнију меру колико подаци генерално одступају од средње вредности јер су њихове јединице исте као и оригиналне јединице података.
Општа формула
За појединачне податке, формула за варијансу \( \sigma^2 \) и стандардну девијацију \( \sigma \) популације је следећа:
1. Варијанса (σ²):
( σ² = 1/2 N = 1/2 N (x² – μ)²)
2. Стандардна девијација (σ):
( σ = √(1/N) = 1^{N} (x_i – μ)^2)
Где:
– \( N \) је број података у популацији.
– \( x_i \) је i-та вредност података.
– \( \mu \) је средња вредност или просек података.
Ако израчунамо варијансу и стандардну девијацију узорка, онда је горња формула мало модификована:
1. Варијанса узорка (s²):
(s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i – \bar{x})^2 \)
2. Стандардна девијација узорка (s):
(s = √(1/n-1) = (x_i – x_2)
Где:
– \( n \) је број података у узорку.
– \( \bar{x} \) је средња вредност или просек узорка.
Цонтох Соал и Пембахасан
Пример питања 1:
С обзиром на следеће податке:
КСНУМКС, КСНУМКС, КСНУМКС, КСНУМКС, КСНУМКС, КСНУМКС
Израчунајте варијансу и стандардну девијацију података!
Кораци решења:
1. Израчунавање просека (средње вредности) \( \mu \):
\[
\му = \фрац{8 + 10 + 10 + 10 + 12 + 14}{6} = \фрац{64}{6} = 10.67
\]
2. Израчунајте разлику између података и просека, а затим квадрирајте:
\[
(8 – 10.67)^2 = 7.1289
\]
\[
(10 – 10.67)^2 = 0.4489
\]
\[
(10 – 10.67)^2 = 0.4489
\]
\[
(10 – 10.67)^2 = 0.4489
\]
\[
(12 – 10.67)^2 = 1.7689
\]
\[
(14 – 10.67)^2 = 11.1089
\]
3. Додавање свих квадратних резултата:
\[
\сума (к_и – \му)^2 = 7.1289 + 0.4489 + 0.4489 + 0.4489 + 1.7689 + 11.1089 = 21.3534
\]
4. Израчунавање варијансе (σ²) података о популацији:
\[
σ² = 21.3534 6 = 3.559
\]
Напомена: Пошто су ови подаци наведени као подаци о популацији, делимо са 6.
5. Израчунавање стандардне девијације (σ):
\[
σ = στ{3.559} = приближно 1.886
\]
Дакле, варијанса података је 3.559, а стандардна девијација је 1.886.
Пример питања 2:
С обзиром на следеће примере података:
КСНУМКС, КСНУМКС, КСНУМКС, КСНУМКС, КСНУМКС, КСНУМКС
Израчунајте варијансу и стандардну девијацију узорка!
Кораци решења:
1. Израчунавање просека (средње вредности) \( \bar{x} \):
\[
\bar{x} = \frac{5 + 6 + 8 + 9 + 10 + 11}{6} = \frac{49}{6} = 8.167
\]
2. Израчунајте разлику између података и просека, а затим квадрирајте:
\[
(5 – 8.167)^2 = 10.035
\]
\[
(6 – 8.167)^2 = 4.694
\]
\[
(8 – 8.167)^2 = 0.028
\]
\[
(9 – 8.167)^2 = 0.694
\]
\[
(10 – 8.167)^2 = 3.361
\]
\[
(11 – 8.167)^2 = 7.945
\]
3. Додавање свих квадратних резултата:
\[
∫(x_i – x)² = 10.035 + 4.694 + 0.028 + 0.694 + 3.361 + 7.945 = 26.757
\]
4. Израчунавање варијансе узорка (s²):
\[
s^2 = \frac{26.757}{5} = 5.351
\]
Напомена: Пошто су ово узорци података, делимо са 5 (n-1).
5. Израчунавање стандардне девијације (s):
\[
s = \sqrt{5.351} \approx 2.313
\]
Дакле, варијанса узорних података је 5.351, а стандардна девијација је 2.313.
Закључак
Израчунавање варијансе и стандардне девијације је од виталног значаја за разумевање колико су подаци распоређени унутар датог скупа. Док варијанса пружа теоријску меру дисперзије у квадратима оригиналних јединица, стандардна девијација тумачи меру дисперзије у смислу оригиналних јединица података, што је чини лакшом за разумевање. У анализи података, ове две мере се често користе за процену варијабилности података и доношење статистичких одлука.
Разумевањем неопходних корака и формула, можемо лако израчунати варијансу и стандардну девијацију за различите ситуације са којима се сусрећемо у свакодневном прикупљању и анализи података. Надамо се да овај чланак пружа дубље разумевање концепата варијансе и стандардне девијације у појединачним скуповима података.
