Пример питања која се односе на очекивану вредност нормалне расподеле
Нормална расподела, позната и као Гаусова расподела, једна је од најчешће коришћених континуираних расподела вероватноће у статистици и вероватноћи. Ова расподела се често користи као основна претпоставка у разним статистичким закључцима због својих повољних математичких својстава, као што су симетрија и јединственост у параметризацији са средњом вредношћу (µ) и стандардном девијацијом (σ). Овај чланак ће размотрити примере и размотрити очекивану вредност нормалне расподеле како би се пружило дубље разумевање овог концепта.
Разумевање нормалне дистрибуције
Нормална дистрибуција је приказана симетричном кривом звона, где је већина вредности концентрисана око средње вредности, односно аритметичке вредности. У оквиру ове дистрибуције, аритметична вредност (µ) и стандардна девијација (σ) су два важна параметра која одређују локацију и количину расподеле у подацима.
Функција густине вероватноће (PDF) нормалне расподеле је:
\[f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x – \mu)^2}{2\sigma^2}}\]
Где:
– \( \mu \) је средња вредност или просек
– \( \sigma \) је стандардна девијација
– \( x \) је случајна променљива
Очекивана вредност у нормалној расподели
Очекивана вредност случајне променљиве са нормалном расподелом једнака је средњој вредности расподеле. Ако је \( X ∈ N(μ, ⃗²) \), онда је очекивана вредност \( E(X) \):
\[ E(X) = \mu \]
Хајде да наставимо са неким примерима проблема који се тичу очекиваних вредности у нормалним дистрибуцијама како бисмо ојачали наше разумевање.
Цонтох Соал и Пембахасан
Пример питања 1:
Претпоставимо да је \( X \) нормално расподељена случајна променљива са \( \mu = 50 \) и \( \sigma = 10 \). Израчунајте очекивану вредност \( X \).
пембахасан:
Као што је раније поменуто, у нормалној расподели, очекивана вредност \( E(X) \) је једнака \( \mu \). Дакле,
\[ E(X) = \mu = 50 \]
Пример питања 2:
Дата је случајна променљива \( Y \) нормално расподељена са \( \mu = 120 \) и \( \sigma = 15 \). Пронађите очекивану вредност \( Y \).
пембахасан:
Слично као у првом примеру, очекивана вредност \( Y \) је средња вредност или просек нормалне расподеле, наиме:
\[ E(Y) = \mu = 120 \]
Пример питања 3:
Ако случајна променљива \( Z \) прати нормалну расподелу са \( μ = 0 \) и \sigma = 1 \) (стандардна нормална расподела), која је очекивана вредност \( Z \)?
пембахасан:
Стандардна нормална расподела има средњу вредност \( \mu = 0 \), тако да је очекивана вредност \( E(Z) \):
\[ E(Z) = \mu = 0 \]
Пример питања 4:
Претпоставимо да је W нормално расподељена случајна променљива са средњом вредношћу (μ = 75) и стандардном девијацијом (σ = 20). Ако дефинишемо нову случајну променљиву (V = 2W + 3), која је очекивана вредност V?
пембахасан:
Да бисмо пронашли очекивану вредност од \( V \), потребно је да користимо својство линеарности очекиване вредности. Ако је \( V = 2W + 3 \), онда:
\[ E(V) = E(2W + 3) \]
На основу својства линеарности очекиване вредности, можемо одвојити константу од случајне променљиве:
\[ E(V) = 2E(W) + E(3) \]
Знајући да је очекивана вредност константе сама константа:
\[ Е(3) = 3 \]
А очекивана вредност \( W \) је средња вредност нормалне расподеле \( W \):
\[ E(W) = \mu = 75 \]
Дакле,
\[ E(V) = 2 \пута 75 + 3 \]
\[ E(V) = 150 + 3 \]
\[ E(V) = 153 \]
Пример питања 5:
Случајна променљива (Q) прати нормалну расподелу са средњом вредношћу (μ = 40) и стандардном девијацијом (σ = 5). Која је очекивана вредност (Q) ако је U = Q/2?
пембахасан:
Користимо исти принцип као у примеру 4, наиме својство линеарности очекиване вредности. С обзиром да је \( U = Q/2 \), онда:
\[ E(U) = E\left(\frac{Q}{2}\desno) \]
На основу својства линеарности очекиване вредности:
\[ E(U) = \frac{1}{2} E(Q) \]
Знамо да је очекивана вредност \( Q \) средња вредност нормалне расподеле \( Q \):
\[ E(Q) = \mu = 40 \]
Дакле,
\[ E(U) = \frac{1}{2} \пута 40 \]
\[ E(U) = 20 \]
Закључак
У нормалној расподели, очекивана вредност случајне променљиве је увек једнака средњој вредности (µ) расподеле. Горе наведени примери задатака демонстрирају различите услове за израчунавање очекиване вредности коришћењем својства линеарности. Разумевање овог основног концепта олакшава решавање проблема нормалне расподеле у статистици и вероватноћи.
Нормална расподела је кључна у статистици јер се користи у широком спектру практичних примена, укључујући тестирање хипотеза, процену параметара и разне друге статистичке закључке. Добро разумевање очекиване вредности ове расподеле је важан први корак у анализи података.
Надам се да овај чланак пружа јасно и корисно објашњење очекиване вредности у нормалној расподели, заједно са релевантним примерима питања и дискусијама.
