Пример питања и дискусија о круговима и тангентама
Кругови и тангенте су две често дискутоване теме у математици, посебно у средњој школи. Разумевање концепта и примене тангенти на кругове је кључно за продубљивање вашег знања из геометрије. Овај чланак ће пружити примере задатака и дискусије о круговима и тангентама како би читаоцима пружио дубље разумевање.
Увод у теорију кругова и тангената
Лингкаран
Круг је скуп тачака у равни које су подједнако удаљене од фиксне тачке која се назива центар круга. Ова фиксна удаљеност је позната као полупречник круга. Математички, круг се може дефинисати једначином:
\[ (x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2 \]
где су \((a, b)\) координате центра круга, а \(r\) полупречник.
Тангента
Тангента на круг је линија која додирује круг у тачно једној тачки. Ова тачка се назива тачка додира. Главна карактеристика тангенте је да је нормална на полупречник повучен од центра круга до тачке додира.
Цонтох Соал и Пембахасан
Питање 1: Одређивање једначине тангентне линије
Питање:
Дат је круг са центром у тачки \( (2, 3) \) и полупречником 5. Одредити једначину тангенте на круг у тачки \( P \) са координатама \( (5, 7) \).
пембахасан:
Корак 1: Уверите се да је тачка \( P \) заиста на кругу.
Да бисте проверили да ли се \( P (5, 7) \) налази на кругу са центром \( (2, 3) \) и полупречником \( 5 \), замените координате \( P \) у једначину круга:
\[ (к – 2)^2 + (и – 3)^2 = 5^2 \]
\[ (5 – 2)^2 + (7 – 3)^2 = 25 \]
\[ 3^2 + 4^2 = 25 \]
\[9 + 16 = 25 \]
Пошто је једнакост тачна, тачка \( P \) лежи на кругу.
Корак 2: Одредити градијент радијуса који пролази кроз \( (2, 3) \) и \( (5, 7) \):
\[ m_{полупречник} = \frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1} = \frac{7 – 3}{5 – 2} = \frac{4}{3} \]
Корак 3: Градијент тангентне линије нормалне на градијент полупречника (градијент производа је -1):
\[ m_{тангенс} = -\frac{1}{m_{полупречник}} = -\frac{1}{\frac{4}{3}} = -\frac{3}{4} \]
Корак 4: Одредити једначину тангентне линије користећи тачку \( P (5, 7) \):
\[y – y_1 = m (x – x_1) \]
\[y – 7 = -\frac{3}{4} (x – 5) \]
Поједноставите:
\[y – 7 = -\frac{3}{4}x + \frac{15}{4} \]
\[ 4y – 28 = -3x + 15 \]
\[ 3x + 4y – 43 = 0 \]
Дакле, једначина тангентне линије је:
\[ 3x + 4y – 43 = 0 \]
Питање 2: Одређивање тачке тангенције из једначине праве
Питање:
Дат је круг са једначином \( x^2 + y^2 = 25 \) и права \( y = \frac{3}{4}x + 2 \). Одредити тачку додира између праве и круга.
пембахасан:
Корак 1: Замените једначину праве у једначину круга:
Једначина круга:
\[ x^2 + y^2 = 25 \]
Унесите \( y = \frac{3}{4}x + 2 \) у једначину круга:
\[ x^2 + \left(\frac{3}{4}x + 2\right)^2 = 25 \]
\[ x^2 + \left(\frac{9}{16}x^2 + \frac{12}{4}x + 4 \right) = 25 \]
\[ x^2 + \frac{9}{16}x^2 + \frac{6}{2}x + 4 = 25 \]
\[ x^2 + \frac{9}{16} x^2 + 3x + 4 = 25 \]
Корак 2: Поједноставите једначину:
\[ 16x^2 + 9x^2 + 48x + 64 = 400 \]
\[ 25x^2 + 48x + 64 – 400 = 0 \]
\[ 25x^2 + 48x – 336 = 0 \]
Корак 3: Проналажење корена помоћу квадратне формуле:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a} \]
\[ а = 25, б = 48, ц = -336 \]
\[ x = \frac{-48 \pm \sqrt{48^2 – 4 \cdot 25 \cdot (-336)}}{2 \cdot 25} \]
\[ x = \frac{-48 \pm \sqrt{2304 + 33600}}{50} \]
\[ x = \frac{-48 \pm \sqrt{35904}}{50} \]
\[ x = \frac{-48 \pm 189.501}{50} \]
Избор валидног \( x \) на основу тачке додира (само један \( x \) ће произвести тачку додира):
\[ x = \frac{141.501}{50} \приближно 2.83 \]
\[ x \ приближно 2.83 \]
Корак 4: Замените \( x \) у једначину праве да бисте добили \( y \):
\[y = \frac{3}{4}(2.83) + 2 \]
\[y \приближно 2.12 + 2 \]
\[ y \приближно 4.12 \]
Дакле, тачка додира између праве \(y = \frac{3}{4}x + 2 \) и круга \(x^2 + y^2 = 25 \) је \( (2.83, 4.12) \).
Закључак
Савладавање концепата кругова и тангенти подразумева разумевање основа геометрије и способност решавања проблема коришћењем математичких једначина. Задаци попут горе наведених помажу ученицима да вежбају примену теорије у конкретнијим ситуацијама. Уз доследну праксу, очекује се да ће ученици лакше разумети и решавати проблеме.
