Пример питања и дискусија о кружним исечцима
Исек круга је важна тема у математици која се често појављује на испитима и вежбањима. Исек је део круга ограничен са два полупречника и луком који их спаја. У овом чланку ћемо размотрити неколико примера проблема о секторима круга, заједно са детаљним објашњењима, како бисмо продубили наше разумевање.
Дефиниција кружног сектора
Исек круга је исек круга ограничен са два полупречника и једним луком. Површина сектора се израчунава на основу дела укупне површине круга. Главна формула која се користи за израчунавање сектора је следећа:
– Површина заокруживања: \[L_заокруживање = \frac{\theta}{360^\circ} \пута \pi \пута r^2\]
– Дужина лука: \[P_b = \frac{\theta}{360^\circ} \puta 2\pi r\]
Где:
– \( \theta \) је величина секторског угла у степенима,
– \( r \) је полупречник круга,
– \( \π \) је константа (приближно 3.14159).
Цонтох Соал и Пембахасан
Питање 1:
Дат је круг полупречника 10 цм и исечак са централним углом од 90°. Израчунајте површину исечка.
пембахасан:
Познато је:
– \(r = 10 \) цм
– \( \theta = 90^\circ \)
Користимо формулу за површину сектора:
\[L_јуринг = \frac{\theta}{360^\circ} \пута \pi \пута r^2\]
\[L_juring = \frac{90^\circ}{360^\circ} \пута \pi \пута (10\text{ цм})^2\]
\[L_јуринг = \frac{1}{4} \пута \пи \пута 100\текст{ цм}^2\]
\[L_juring = 25\pi\text{ cm}^2\]
Ако се узме да је \( \π \) једнако 3.14, онда:
\[L_juring = 25 \пута 3.14\текст{ цм}^2 = 78.5\текст{ цм}^2\]
Дакле, површина сектора је 78.5 цм².
Питање 2:
Исечак круга има полупречник од 7 цм и дужину лука од 11 цм. Одредити централни угао иссечка у радијанима.
пембахасан:
Познато је:
– \(r = 7 \) цм
– Дужина лука \( P_b = 11 \text{ cm} \)
Користимо формулу за дужину лука да бисмо пронашли угао \( \theta \):
\[P_b = \frac{\theta}{360^\circ} \puta 2\pi r\]
Пошто се од нас тражи да пронађемо угао у радијанима, замењујемо 360° са \(2\pi\) радијана:
\[P_b = \theta \пута r\]
11 = θ пута 7
\[\theta = \frac{11}{7}\]
\[\theta \приближно 1.57 \text{ рад}\]
Дакле, централни угао сектора је 1.57 радијана.
Питање 3:
Круг полупречника 16 цм има исечак површине 200 цм². Израчунај централни угао исечка.
пембахасан:
Познато је:
– \(r = 16 \) цм
– \( L_juring = 200 \text{ цм}^2 \)
Користимо формулу површине сектора да бисмо пронашли \( \theta \):
\[L_јуринг = \frac{\theta}{360^\circ} \пута \pi \пута r^2\]
\[200 = \frac{\theta}{360^\circ} \пута \pi \пута (16)^2\]
\[200 = \frac{\theta}{360^\circ} \пута \пи \пута 256\]
\[200 = \frac{\theta \puta 256 \puta \pi}{360^\circ}\]
\[200 \пута 360^\циркум = \тета \пута 256 \пута 3.14\]
72000 = 256 пута 3.14
72000 = θ пута 804.64
\[\theta = \frac{72000}{804.64}\]
\[\theta \приближно 89.45^\circ\]
Дакле, централни угао сектора је приближно 89.45°.
Питање 4:
Израчунај укупан обим сектора који има полупречник од 12 cm и централни угао од 120°.
пембахасан:
Познато је:
– \(r = 12 \) цм
– \( \theta = 120^\circ \)
Прво, налазимо дужину лука:
\[P_b = \frac{\theta}{360^\circ} \puta 2\pi r\]
\[P_b = \frac{120^\circ}{360^\circ} \пута 2\пи \пута 12\]
\[P_b = \frac{1}{3} \пута 2\пи \пута 12\]
\[P_b = 8\pi\text{ цм}\]
Затим, израчунавамо обим сектора (дужина лука + два полупречника):
\[K = 2r + P_b\]
\[K = 2 \пута 12\цм} + 8\пи\цм}\]
\[K = 24\cm} + 8\pi\cm}
Ако се узме да је \( \π \) једнако 3.14, онда:
\[K = 24\cm} + 8 \пута 3.14\cm}\]
\[K = 24\цм} + 25.12\цм\]
\[K = 49.12\text{ цм}\]
Дакле, укупан обим сектора је 49.12 цм.
Питање 5:
Ако круг полупречника 18 цм има исек који заклапа угао од 45°, одредите дужину лука и површину исечка.
пембахасан:
Познато је:
– \(r = 18 \) цм
– \( \theta = 45^\circ \)
1. Дужина лука:
\[P_b = \frac{\theta}{360^\circ} \puta 2\pi r\]
\[P_b = \frac{45^\circ}{360^\circ} \пута 2\пи \пута 18\текст{ цм}\]
\[P_b = \frac{1}{8} \пута 36\pi\cm}\]
\[P_b = 4.5\pi\text{ цм}\]
Ако се узме да је \( \π \) једнако 3.14, онда:
\[P_b = 4.5 \пута 3.14\цм} \приближно 14.13\цм}\]
Дакле, дужина лука је око 14.13 цм.
2. Област сектора:
\[L_јуринг = \frac{\theta}{360^\circ} \пута \pi \пута r^2\]
\[L_juring = \frac{45^\circ}{360^\circ} \пута \pi \пута (18\text{ цм})^2\]
\[L_јуринг = \frac{1}{8} \пута \пи \пута 324\текст{ цм}^2\]
\[L_juring = 40.5\pi\text{ cm}^2\]
Ако се узме да је \( \π \) једнако 3.14, онда:
\[L_juring = 40.5 \пута 3.14\текст{ цм}^2 \приближно 127.17\текст{ цм}^2\]
Дакле, површина сектора је приближно 127.17 цм².
Закључак
У овом чланку смо размотрили неколико примера проблема који се тичу сектора круга и њихових решења. Суштина разумевања сектора круга лежи у савладавању основних формула за израчунавање површине сектора и дужине лука. Честа вежба и разумевање како применити ове формуле на различите врсте проблема ће вам, надамо се, помоћи да побољшате своју способност решавања сличних проблема.
