Пример питања која се односе на биномну расподелу
Биномна расподела је дискретна расподела вероватноће која описује број успеха у експерименту који се састоји од више независних покушаја са два могућа исхода: успехом и неуспехом. Сваки покушај се назива покушај, а биномна расподела се често користи у ситуацијама када је број успеха у више независних покушаја од интереса. У овом чланку ћемо размотрити основне концепте биномне расподеле и дати примере и решења.
Основни концепти биномне расподеле
Пре него што пређемо на примере питања и дискусију, хајде да разговарамо о неким основним концептима везаним за биномну расподелу.
1. Дефиниција: Биномна расподела је дефинисана као збир успеха у 'n' независних покушаја, где сваки покушај има два могућа исхода: успех (са вероватноћом p) или неуспех (са вероватноћом q = 1 – p).
2. Функција вероватноће: Функција вероватноће биномне расподеле је:
\[
П(Кс = к) = \бином{н}{к} п^к (1-п)^{нк}
\]
Где:
– \( P(X = k) \) је вероватноћа да ће бити k успеха у n покушаја.
– \( \binom{n}{k} \) је комбинација n и k, која је дефинисана као \( \frac{n!}{k!(nk)!} \).
– \( p \) је вероватноћа успеха у сваком покушају.
– \( (1-p) \) је вероватноћа неуспеха у сваком покушају.
3. Очекивана вредност и варијанса:
– Очекивана вредност (средња вредност) биномне расподеле је \( \mu = np \).
– Варијанса биномне расподеле је \( \sigma^2 = np(1-p) \).
Сада, хајде да применимо ове концепте на пример проблема како бисмо пружили дубље разумевање.
Пример питања 1: Основни прорачуни биномне расподеле
Питање:
Компанија производи електронске компоненте са вероватноћом од 0.95 да свака компонента прође тест квалитета. Ако се произведе 10 компоненти, израчунајте вероватноћу да тачно 8 компоненти прође тест квалитета.
Дискусија:
Можемо користити формулу биномне расподеле да решимо овај проблем. Прво, идентификујемо следеће параметре:
– \(n \) (укупан број покушаја) = 10
– \( k \) (број успеха) = 8
– \( p \) (вероватноћа успеха) = 0.95
– \( q \) (вероватноћа квара) = 1 – 0.95 = 0.05
Затим замените ове вредности у формулу биномне расподеле:
\[
P(X = 8) = \binom{10}{8} (0.95)^8 (0.05)^2
\]
Прво, израчунајте комбинацију \( \binom{10}{8} \):
\[
\binom{10}{8} = \frac{10!}{8!(10-8)!} = \frac{10!}{8!2!} = \frac{10 \пута 9 \пута 8!}{8! \пута 2!} = \frac{10 \пута 9}{2 \пута 1} = 45
\]
Затим, израчунајте вероватноће \( (0.95)^8 \) и \( (0.05)^2 \):
\[
(0.95)^8 \приближно 0.6634
\]
\[
(0.05)^2 = 0.0025
\]
На крају, помножите све те вредности да бисте добили:
\[
P(X = 8) = 45 \ пута 0.6634 \ пута 0.0025 \ приближно 0.0744
\]
Дакле, вероватноћа да тачно 8 од 10 компоненти прође тест квалитета је око 0.0744 или 7.44%.
Пример питања 2: Кумулативна вероватноћа
Питање:
И даље са истом компанијом, израчунајте вероватноћу да најмање 9 од 10 компоненти прође тест квалитета.
Дискусија:
Да бисмо решили овај проблем, потребно је да израчунамо кумулативну вероватноћу. Вероватноћа да најмање 9 од 10 компоненти прође тест значи да израчунавамо \( P(X \geq 9) \), што се може написати као:
\[
П(Кс \гек 9) = П(Кс = 9) + П(Кс = 10)
\]
Користећи формулу биномне расподеле:
\[
P(X = 9) = \binom{10}{9} (0.95)^9 (0.05)^1
\]
\[
P(X = 10) = \binom{10}{10} (0.95)^{10} (0.05)^0
\]
Прво, израчунајте комбинацију за сваки случај:
\[
\бином{10}{9} = \фрац{10!}{9!(10-9)!} = 10
\]
\[
\binom{10}{10} = 1
\]
Затим, израчунајте вероватноће за \( P(X = 9) \) и \( P(X = 10) \):
\[
P(X = 9) = 10 пута (0.95)^9 пута 0.05
\]
\[
(0.95)^9 \приближно 0.6302
\]
\[
P(X = 9) = 10 \ пута 0.6302 \ пута 0.05 \ приближно 0.3151
\]
\[
P(X = 10) = 1 \пута (0.95)^{10} \пута 1
\]
\[
(0.95)^{10} \приближно 0.5987
\]
\[
P(X = 10) = 0.5987
\]
Укупна вероватноћа за \( P(X \geq 9) \):
\[
P(X √(9)) = 0.3151 + 0.5987 = приближно 0.9138
\]
Дакле, вероватноћа да барем 9 од 10 компоненти прође тест квалитета је око 0.9138 или 91.38%.
Пример питања 3: Очекивана вредност и варијанса
Питање:
Израчунајте очекивану вредност и варијансу броја компоненти које су прошле тест квалитета од 10 произведених компоненти, са вероватноћом проласка од 0.95.
Дискусија:
Користите следећу формулу:
– Очекивана вредност (средња вредност) \( \mu = np \)
– Варијанса ( σ² = np(1-p))
Са \( n = 10 \) и \( p = 0.95 \):
\[
\mu = 10 \пута 0.95 = 9.5
\]
\[
σ² = 10 * 0.95 * 0.05 = 0.475
\]
Дакле, очекивана вредност броја компоненти које пролазе тест квалитета је 9.5, а варијанса је 0.475.
Закључак
Кроз три горе наведена примера проблема, разговарали смо о томе како израчунати вероватноћу користећи биномну расподелу за различите ситуације: израчунавање тачне вероватноће, кумулативне вероватноће и израчунавање очекиване вредности и варијансе. Познавање биномне расподеле је корисно у различитим областима, као што су производња, медицинска истраживања и друштвена статистика, где се резултати поновљених експеримената са два могућа исхода могу анализирати како би се помогло у доношењу одлука. Надамо се да ће вам дати примери проблема и дискусије помоћи да боље разумете биномну расподелу.
