Пример питања о аритметичким серијама
Аритметички низови су фундаментални концепт у математици који се често појављује у разним проблемима, како у средњој школи тако и у високом образовању. Овај концепт подразумева низ бројева где је сваки члан резултат сабирања или одузимања константног броја од претходног члана. У овом чланку ћемо размотрити неколико примера проблема и њихових решења како бисмо боље разумели концепт аритметичких низова.
Разумевање аритметичких серија
Аритметички низ је низ који има константну разлику (диференцу) између два узастопна члана. На пример, ако аритметички низ има први члан \(a\) и разлику \(d\), онда се чланови могу написати на следећи начин:
\[ а, а + д, а + 2д, а + 3д, \лдотс \]
Ако желимо да пронађемо n-ти члан овог низа, формула за n-ти члан (\(U_n\)) је:
\[ U_n = a + (n-1)d \]
У међувремену, збир првих n чланова аритметичког низа (\(S_n\)) може се израчунати помоћу формуле:
S_n = (2a + (n-1)d)
Цонтох Соал и Пембахасан
Пример питања 1
Питање: Дат је аритметички низ са првим чланом \(a = 5\) и заједничком разликом \(d = 3\). Наћи десети члан низа.
пембахасан:
Да бисмо пронашли десети члан (\(U_{10}\)), можемо користити формулу за n-ти члан:
\[ U_{10} = a + (10-1)d \]
\[ U_{10} = 5 + (9 \cdot 3) \]
\[ U_{10} = 5 + 27 \]
\[ U_{10} = 32 \]
Дакле, десети члан низа је 32.
Пример питања 2
Питање: Наћи збир првих 15 чланова аритметичког низа чији је први члан \(a = 4\) а заједничка разлика \(d = 7\).
пембахасан:
Да бисмо пронашли збир првих 15 чланова (\(S_{15}\)), можемо користити формулу за збир првих n чланова:
\[ S_{15} = \frac{15}{2} (2a + (15-1)d) \]
\[ S_{15} = \frac{15}{2} (2 \cdot 4 + 14 \cdot 7) \]
\[ S_{15} = \frac{15}{2} (8 + 98) \]
\[ S_{15} = \frac{15}{2} \cdot 106 \]
\[S_{15} = 15 \cdot 53 \]
\[S_{15} = 795 \]
Дакле, збир првих 15 чланова низа је 795.
Пример питања 3
Питање: Познато је да је 5. члан аритметичког низа 20, а 12. члан 48. Наћи први члан (\(a\)) и заједничку разлику (\(d\)) низа.
пембахасан:
Из датих услова:
\[ U_5 = a + 4d = 20 \]
\[ U_{12} = a + 11d = 48 \]
Имамо две линеарне једначине са две променљиве које можемо решити:
1. \( a + 4d = 20 \)
2. \( a + 11d = 48 \)
Из једначине 1, можемо изразити \(a\) преко \(d\):
\[ a = 20 – 4d \]
Сада замењујемо \(a\) у једначину 2:
\[ 20 – 4d + 11d = 48 \]
\[ 20 + 7d = 48 \]
\[ 7д = 28 \]
\[ д = 4 \]
Сада замењујемо вредност \(d\) у једначину \(a = 20 – 4d\):
\[ a = 20 – 4 \cdot 4 \]
\[ a = 20 – 16 \]
\[ а = 4 \]
Дакле, први члан низа је 4, а заједничка разлика је 4.
Пример питања 4
Питање: Колико је чланова потребно да би аритметички низ са првим чланом \(a = 2\) и заједничком разликом \(d = 5\) дао сабир од 200?
пембахасан:
У овом случају, потребно је да пронађемо збир првих n чланова (\(S_n\)) који је једнак 200. Користите формулу за збир првих n чланова:
S_n = n² (2a + (n-1)d) = 200
Замените вредности \(a\) и \(d\):
\[ \frac{n}{2} (2 \cdot 2 + (n-1) \cdot 5) = 200 \]
\[ \фрац{н}{2} (4 + 5н – 5) = 200 \]
\[ \фрац{н}{2} (5н – 1) = 200 \]
\[n (5n – 1) = 400 \]
Ово је квадратна једначина. Да бисмо је решили, мењамо јој облик:
\[ 5n^2 – n – 400 = 0 \]
Користите квадратну формулу \(ax^2 + bx + c = 0\):
\[ n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a} \]
У овом случају \(a = 5\), \(b = -1\) и \(c = -400\):
\[ n = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 – 4 \cdot 5 \cdot (-400)}}{2 \cdot 5} \]
\[ n = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8000}}{10} \]
\[ n = \frac{1 \pm \sqrt{8001}}{10} \]
Вредност \(\sqrt{8001}\) је близу 89.42, онда:
\[ n = \frac{1 \pm 89.42}{10} \]
Узимамо позитивне вредности:
\[ н = \фрац{1 + 89.42}{10} \]
\[ n \приближно \frac{90.42}{10} \]
\[ n \приближно 9.042 \]
Дакле, број потребних чланова је 9 чланова (ако се заокружи).
Закључак
Аритметички низови су кључна тема у математици. Темељно разумевање првог члана, заједничке разлике, n-тог члана и збира првих n чланова је непроцењиво за решавање широког спектра проблема. Коришћењем горе наведених примера и дискусија, надамо се да ће читаоци боље разумети основне концепте аритметичких низова.
