Пример питања о комплексним бројевима
Комплексни бројеви су честа тема у математици, како у средњој школи тако и на факултету. Комплексни бројеви се састоје од два дела: реалног дела и имагинарног дела. Користећи конвенционалну нотацију, комплексни број се пише као \( z = a + bi \), где су \( a \) и \( b \) реални бројеви, а \( i \) је имагинарна јединица са својством \( i^2 = -1 \). Овај чланак ће обухватити неколико примера и њихову дискусију у вези са комплексним бројевима, од основних операција до примена у решавању проблема.
Цонтох Соал и Пембахасан
1. Сабирање и одузимање комплексних бројева
Питање 1
Нека је \( з_1 = 3 + 4и \) и \( з_2 = 1 – 2и \). Израчунајте \( з_1 + з_2 \) и \( з_1 – з_2 \).
Пембахасан
Да бисмо сабрали или одузели комплексне бројеве, једноставно оперишемо реалним делом са реалним, а имагинарним делом са имагинарним.
Додатак:
\[
з_1 + з_2 = (3 + 4и) + (1 – 2и) = (3 + 1) + (4и – 2и) = 4 + 2и
\]
Одузимање:
\[
з_1 – з_2 = (3 + 4и) – (1 – 2и) = (3 – 1) + (4и + 2и) = 2 + 6и
\]
Дакле, \( з_1 + з_2 = 4 + 2и \) и \( з_1 – з_2 = 2 + 6и \).
2. Множење комплексних бројева
Питање 2
Израчунај производ броја \(z_1 = 2 + 3i \) и \(z_2 = 4 – i \).
Пембахасан
Да бисмо помножили два комплексна броја, користимо дистрибутивно својство алгебре:
\[
z_1 \cdot z_2 = (2 + 3i)(4 – i)
\]
Множимо сваку компоненту:
\[
2 ⋅ 4 + 2 (-i) + 3i ⋅ 4 + 3i (-i)
\]
\[
= 8 – 2i + 12i – 3i^2
\]
Пошто је \( i^2 = -1 \), онда:
\[
= 8 – 2i + 12i + 3 = 11 + 10i
\]
Дакле, производ \(z_1 \cdot z_2 \) је \(11 + 10i \).
3. Дељење комплексних бројева
Питање 3
Израчунај количник једначине \(z_1 = 3 + 4i \) са \(z_2 = 1 – i \).
Пембахасан
Да бисмо поделили комплексни број, множимо бројилац и именилац конјугованим делом имениоца комплексног броја. Конјугат броја \( 1 – i \) је \( 1 + i \).
\[
\frac{3 + 4i}{1 – i} \cdot \frac{1 + i}{1 + i} = \frac{(3 + 4i)(1 + i)}{(1 – i)(1 + i)}
\]
Прво израчунајмо именилац:
\[
(1 – i)(1 + i) = 1 – i^2 = 1 – (-1) = 2
\]
Сада израчунавамо бројилац:
\[
(3 + 4и)(1 + и) = 3 + 3и + 4и + 4и^2 = 3 + 7и + 4(-1) = 3 + 7и – 4 = -1 + 7и
\]
Дакле, резултат је:
\[
\frac{-1 + 7i}{2} = -\frac{1}{2} + \frac{7}{2}i
\]
4. Модул и аргумент комплексних бројева
Питање 4
Одредити модул и аргумент једначине \( z = 1 + i \).
Пембахасан
Модул комплексног броја \( z = a + bi \) је:
\[
|z| = √(a^2 + b^2)
\]
За \(z = 1 + i \), имамо \(a = 1 \) и \(b = 1 \):
\[
|z| = 1^2 + 1^2} = 2
\]
Аргумент комплексног броја је угао (θ) који формира позитивна реална оса, мерен од координатног почетка према тачки (a, b).
\[
θ = тангенс^{-1}\лево(\фрац{б}{а}\десно)
\]
\[
\тхета = \тан^{-1}(1) = \фрац{\пи}{4}
\]
Дакле, модул од \(z = 1 + i \) је \( \sqrt{2} \), а аргумент је \( \frac{\pi}{4} \).
5. Експоненцијални облик и Ојлеров образац
Питање 5
Претворите комплексни број (z = 1 + i) у експоненцијални облик.
Пембахасан
Експоненцијални облик комплексних бројева користећи Ојлерову формулу:
\[
z = re^{i\theta}
\]
Где је \( r \) модул, а \( \theta \) аргумент. Из претходне дискусије знамо да:
\[
r = ∫², θ = π4
\]
Дакле, експоненцијални облик је:
\[
z = \sqrt{2}e^{i\pi/4}
\]
6. Корени комплексних бројева
Питање 6
Нађите квадратни корен комплексног броја (z = -1).
Пембахасан
Квадратни корени комплексних бројева могу се наћи коришћењем поларног или експоненцијалног облика. Претварамо \( z = -1 \) у експоненцијални облик:
\[
z = -1 = e^{i\pi}
\]
Квадратни корен од \( e^{i\pi} \) може се записати као:
\[
z_k = \sqrt{r} \cdot e^{i(\theta + 2k\pi)/n}
\]
Са \( r = 1 \), \( θ = \π \), \( n = 2 \) и \( k = 0, 1 \):
\[
з_0 = е^{и(\пи + 2 \цдот 0 \цдот \пи)/2} = е^{и\пи/2} = и
\]
\[
з_1 = е^{и(\пи + 2 \цдот 1 \цдот \пи)/2} = е^{и3\пи/2} = -и
\]
Дакле, квадратни корени од \( -1 \) су \( i \) и \( -i \).
7. Примене у квадратним једначинама
Питање 7
Решите квадратну једначину \( z^2 + 4z + 13 = 0 \).
Пембахасан
Можемо користити квадратну формулу:
\[
z = ∫₀ ...
\]
За једначину \( z^2 + 4z + 13 = 0 \):
\[
а = 1, б = 4, ц = 13
\]
\[
z = -4 + 16 – 52}}{2 + 1} = -4 + -36}}{2} = -4 + 6i}{2} = -2 + 3i
\]
Дакле, решења једначине \(z^2 + 4z + 13 = 0 \) су \(z = -2 + 3i \) и \(z = -2 – 3i \).
Закључак
Комплексни бројеви су веома широк математички концепт са бројним применама. Разумевањем основних операција попут сабирања, одузимања, множења и дељења, као и начина израчунавања модула и аргумента, можемо решавати разне проблеме који укључују комплексне бројеве. Надамо се да ће вам горњи примери помоћи да боље разумете и савладате ову тему.
