Stojaté vlny – problémy a riešenia

Stojaté vlny – problémy a riešenia

1. 3-metrová šnúra je na jednom konci uviazaná a druhý koniec je pripojený k vibrátoru. Keď vibrátor vibruje, šnúra vytvára stacionárnu vlnu , ako je znázornené na obrázku nižšie.

Určte polohu 5. antinóda od pevného konca.

riešenie:

Vzdialenosť medzi dvoma uzlami = 3 metre / 5 = 3/5 metra.

Vzdialenosť medzi prvým uzlom a pevným koncom = 3/5 metra

Vzdialenosť medzi druhým uzlom a pevným koncom = 2 (3/5 metra) = 6/5 metra

Vzdialenosť medzi tretím uzlom a pevným koncom = 3 (3/5 metra) = 9/5 metra

Vzdialenosť medzi štvrtým uzlom a pevným koncom = 4 (3/5 metra) = 12/5 metra

Vzdialenosť medzi uzlom a antinódom = 1/2 (3/5 metra) = 3/10 metra.

Vzdialenosť medzi piatym antinódom a pevným koncom = vzdialenosť medzi štvrtým uzlom a pevným koncom + vzdialenosť medzi uzlom a antinódou = 12/5 + 3/10 = 24/10 + 3/10 = 27/10 = 2.7 metra.

2. Ako je znázornené na obrázku nižšie, jeden koniec je pripojený k vibrátoru a druhý koniec je upevnený. Ak je dĺžka struny 1.5 metra, nájdite vzdialenosť medzi štvrtým uzlom a vibrátorom.

riešenie:

Vzdialenosť medzi dvoma uzlami = 1.5 metra / 11 = 1.5 / 11 metrov.

Vzdialenosť medzi prvým uzlom a vibrátorom = 1.5 / 11 metrov

Vzdialenosť medzi druhým uzlom a vibrátorom = 2 (1.5 / 11 metrov) = 3/11 metrov

Vzdialenosť medzi tretím uzlom a vibrátorom = 3 (1.5 / 11 metrov) = 4.5 / 11 metrov

Vzdialenosť medzi štvrtým uzlom a vibrátorom = 4 (1.5 / 11 metrov) = 6/11 metrov = 0.54 metra

3. Struna má oba konce pevne napnuté, čím vytvára základný tón s frekvenciou 420 Hz. Určte tretí alikvotný tón.

A. 840 Hz

B. 1260 Hz

C. 1680 Hz

D. 2940 Hz

Známe:

Základná frekvencia (f₁) = 420 Hz

Oba konce sú udržiavané pevné.

Hľadaný: tretí alikvotný tón

riešenie:

Prvý alikvotný tón (f₂) = 2 f₁ = 2 (420 Hz) = 840 Hz

Druhý alikvotný tón (f₃) = 3 f₁ = 3 (420 Hz) = 1260 Hz

Tretí alikvotný tón (f₄) = 4 f₁ = 4 (420 Hz) = 1680 Hz

Správna odpoveď je C.

4. vlnová dĺžka Dĺžka prvého alikvotného tónu struny je 40 cm. Ak je rýchlosť zvukovej vlny vo vzduchu 340 m/s, určte tretí alikvotný tón.

A. 850 Hz

B. 1600 Hz

C. 1700 Hz

D. 3200 Hz

Známe:

Vlnová dĺžka prvého alikvotného tónu (λ) = 40 cm = 0.4 metra

Rýchlosť zvukovej vlny vo vzduchu (v) = 340 metrov/sekundu

Hľadá sa: frekvencia tretieho alikvotného tónu

riešenie:

Nižšie je znázornený obrázok stojatej vlny na strune s obidvoma pevne upevnenými koncami. Najprv vypočítajte dĺžku struny pomocou vlnovej dĺžky prvého alikvotného tónu. Potom, pred výpočtom frekvencie tretieho alikvotného tónu, najprv vypočítajte vlnovú dĺžku tretieho alikvotného tónu.

Vlnová dĺžka prvého alikvotného tónu:

Dĺžka šnúry (L) = 2 λ

Dĺžka reťazca (L) = λ

Dĺžka šnúry (L) = 0.4 metra

Vlnová dĺžka tretieho alikvotného tónu:

L = 2λ

0.4 = 2 λ

λ = 0.4 / 2

λ = 0.2 metra

Frekvencia tretieho alikvotného tónu:

f = v / λ

f = 340 : 0.2

f = 1700 hertzov

Správna odpoveď je C.

5. Rúrka otvorená na oboch koncoch s dĺžkou 40 cm vytvára základný tón s frekvenciou 420 Hz. Určte druhý alikvotný tón.

A. 380 Hz

B. 460 Hz

C. 840 Hz

D. 1260 Hz

Známe:

Dĺžka potrubia (L) = 40 cm = 0.4 metra

Frekvencia základného tónu (f₁) = 420 hertzov

Hľadá sa: Frekvencia druhého alikvotného tónu (f₃)

riešenie:

Ak je základný tón (f₁) = 420 Hertzov, potom druhý alikvotný tón (f₃) = 3 f₁ = 3 (420 hertzov) = 1260 hertzov

Správna odpoveď je D.

6. Zvuková vlna v uzavretej trubici má vlnový obrazec podobný…

A. Šírenie vĺn na strune

B. Šírenie vĺn vo vzdušnom stĺpci

C. Stojatá vlna na strune upevnenej na jednom konci

D. Stojatá vlna na strune upevnenej na oboch koncoch

riešenie:

Uzavretá trubica je trubica, ktorá je na jednom konci otvorená, ale na druhom zatvorená, ako je znázornené na obrázku vyššie.

Správna odpoveď je C.

20 koncepčných otázok a odpovedí týkajúcich sa stojatých vĺn:

1. Otázka: Čo je to stojatá vlna?

Odpoveď: Stojatá vlna je vlnový obrazec, ktorý sa javí ako stacionárny, s uzlami a antinódami, ktorý vzniká interferenciou dvoch vĺn šíriacich sa v opačných smeroch.

2. Otázka: Aký je rozdiel medzi uzlami a antinódami?

Odpoveď: Uzly sú body s nulovou amplitúdou, kde vlna zostáva v pokoji, zatiaľ čo antinódy sú body s maximálnou amplitúdou.

3. Otázka: Môžu stojaté vlny vznikať v akomkoľvek prostredí?

Odpoveď: Stojaté vlny sa môžu tvoriť v akomkoľvek prostredí, ktoré umožňuje šírenie vĺn, ako sú struny, vzdušné stĺpce a voda.

4. Otázka: Ako súvisí frekvencia stojatej vlny s jej harmonickým číslom?

Odpoveď: Základná frekvencia (prvá harmonická) je najnižšia frekvencia stojatej vlny. Vyššie harmonické majú frekvencie, ktoré sú celočíselnými násobkami základnej frekvencie.

5. Otázka: Čo určuje umiestnenie uzlov v stojatej vlne?

Odpoveď: Uzly sa tvoria tam, kde vlny šíriace sa v opačných smeroch deštruktívne interferujú a navzájom sa rušia.

6. Otázka: Ako vznikajú stojaté vlny na strune upevnenej na oboch koncoch?

Odpoveď: Keď sa vlna šíriaca sa po strune odráža od pevného konca, interferuje s prichádzajúcimi vlnami a vytvára stojatý vlnový vzorec, ak frekvencie spĺňajú určité podmienky.

7. Otázka: Aký je vzťah medzi vlnovou dĺžkou a dĺžkou média v stojatej vlne?

Odpoveď: Pre strunu upevnenú na oboch koncoch je dĺžka média celočíselným násobkom polovice vlnovej dĺžky stojatej vlny.

8. Otázka: Prečo stojaté vlny neprenášajú energiu cez médium?

Odpoveď: Zatiaľ čo jednotlivé častice v médiu oscilujú, celkový vlnový vzorec zostáva stacionárny, takže nedochádza k žiadnemu čistému prenosu energie v žiadnom konkrétnom smere.

9. Otázka: Dá sa pozorovať stojaté vlny v otvorených trubiciach?

Odpoveď: Áno, stojaté vlny sa môžu tvoriť aj v otvorených trubiciach, ale okrajové podmienky sa líšia od uzavretých trubíc a ovplyvňujú polohy uzlov a antinód.

10. Otázka: Čo sa stane so stojatou vlnou, keď sa zvýši napätie v strune?

Odpoveď: Zvyšovanie napätia zvyšuje rýchlosť vlny, čo môže zmeniť frekvenciu a vzorec stojatej vlny.

11. Otázka: Aký je vzťah medzi rezonanciou a stojatými vlnami?

Odpoveď: Rezonancia nastáva, keď vonkajšia sila alebo vibrácia zodpovedá prirodzenej frekvencii systému, čím vzniká výrazná stojatá vlna.

12. Otázka: Aká je základná frekvencia?

Odpoveď: Základná frekvencia alebo prvá harmonická je najnižšia frekvencia, pri ktorej systém dokáže prenášať stojaté vlny.

13. Otázka: Aký je vzťah medzi alikvotnými tónmi a harmonickými?

Odpoveď: Alikvotné tóny sú frekvencie nad základnou frekvenciou. Prvý alikvotný tón zodpovedá druhej harmonickej, druhý alikvotný tón tretej harmonickej atď.

14. Otázka: Prečo v uzloch nedochádza k posunutiu?

Odpoveď: V uzloch sú dve interferujúce vlny mimo fázy o 180°, čo vedie k deštruktívnej interferencii a nulovému posunu.

15. Otázka: Môžu byť stojaté vlny polarizované?

Odpoveď: Stojaté vlny na strune sú priečne, a preto majú smer kmitania (polarizáciu). Avšak v prostredí, ako je vzduch, sú stojaté zvukové vlny pozdĺžne a nevykazujú polarizáciu.

16. Otázka: Prečo hudobné nástroje využívajú princíp stojatých vĺn?

Odpoveď: Hudobné nástroje často produkujú zvuk vytváraním stojatých vĺn, pričom rôzne harmonické produkujú rôzne hudobné tóny.

17. Otázka: Ako súvisí rýchlosť vĺn s frekvenciou a vlnovou dĺžkou stojatej vlny?

Odpoveď: Rýchlosť vĺn (v) je súčinom frekvencie (f) a vlnovej dĺžky (λ): v = fx λ.

18. Otázka: Môžu dve rôzne frekvencie vytvárať stojaté vlny v tom istom prostredí?

Odpoveď: Áno, pokiaľ frekvencie zodpovedajú podmienkam pre stojaté vlny v danom prostredí. Každá frekvencia predstavuje inú harmonickú.

19. Otázka: Aký je rozdiel medzi stojatými vlnami v uzavretých trubiciach a stojatými vlnami v otvorených trubiciach?

Odpoveď: V uzavretých trubiciach má jeden koniec uzol, zatiaľ čo druhý koniec má antinód. V otvorených trubiciach majú oba konce antinódy.

20. Otázka: Môžu sa v danom prostredí tvoriť stojaté vlny s akoukoľvek frekvenciou?

Odpoveď: Nie, stojaté vlny budú vznikať iba pri špecifických frekvenciách, ktoré spĺňajú okrajové podmienky média.

Pochopenie stojatých vĺn je kľúčové v rôznych oblastiach, od hudby až po telekomunikácie, pretože predstavujú základné správanie vĺn za špecifických podmienok.