Článok o Poiseuillesovej rovnici
Poiseuilleovu rovnicu objavil Jean Louis Marie Poiseuille (1799-1869). Ako bolo vysvetlené, každú tekutinu možno považovať za ideálnu tekutinu. Ideálna tekutina nemá viskozitu. Ak predpokladáme, že ideálna tekutina prúdi v potrubí, každá časť tekutiny sa pohybuje rovnakou rýchlosťou (v). Na rozdiel od ideálnej tekutiny má skutočná tekutina, s ktorou sa stretávame v každodennom živote, viskozitu. Pretože má viskozitu, potom sa pri prúdení v potrubí napríklad rýchlosť každej časti tekutiny mení. Vrstva tekutiny, ktorá je v strede, sa pohybuje rýchlejšie (hlboké v), naopak, vrstva tekutiny pripojená k potrubiu sa nepohybuje (v = 0). Takže od stredu k okraju potrubia sa každá časť tekutiny pohybuje rôznymi rýchlosťami. Pre lepšie pochopenie si pozrite obrázok nižšie.
R = polomer potrubia/rúry
v 1 = prietok kvapaliny v strede / osi trubice
v2 = prietok tekutiny, ktorý je r2 od okraja trubice
v3 = prietok tekutiny r3 od okraja trubice
v4 = prietok tekutiny r4 od okraja trubice
r = vzdialenosť
Aby bola prietoková rýchlosť každej časti tekutiny rovnaká, musí byť na oboch koncoch potrubia alebo akejkoľvek trubice, ktorou tekutina prechádza, tlakový rozdiel. Pod pojmom tekutina sa tu myslí skutočná tekutina, napríklad voda alebo olej, ktoré pretekajú potrubím, krv prúdiaca v cieve atď. Okrem toho, že tlakový rozdiel pomáha plynule prúdiť skutočnej tekutine, môže tiež spôsobiť, že tekutiny prúdia v potrubiach rôznych výšok.
Jean Louis Marie Poiseuille, bývalý francúzsky vedec, ktorý sa zaujímal o fyzikálne aspekty ľudského krvného obehu, skúmal, ako faktory, ako sú tlakové rozdiely, prierez trubice a veľkosť trubice, ovplyvňujú skutočnú rýchlosť prietoku tekutiny. Výsledky, ktoré získal Jean Louis Marie Poiseuille, sú známe ako Poiseuilleova rovnica.
Poiseuilleovu rovnicu možno odvodiť pomocou rovnice koeficientu viskozity, ktorá bola vypočítaná predtým. Rovnicu viskozity používame, pretože prípady sú podobné, aj keď nie sú rovnaké. Pri odvodzovaní rovnice koeficientu viskozity uvažujeme o prúdení skutočnej vrstvy tekutiny medzi dvoma rovnobežnými doskami a tekutina sa môže pohybovať v dôsledku príťažlivosti (F). Rozdiel je v tom, že Poiseuilleova rovnica, ktorú odvodíme, uvádza faktory, ktoré ovplyvňujú prúdenie skutočnej tekutiny v potrubí/rúre a tekutinu prúdiacu v dôsledku tlakového rozdielu. Preto je potrebné rovnicu koeficientu viskozity opäť upraviť.
Tekutina môže prúdiť v dôsledku rozdielu tlaku (kvapalina prúdi z miesta s vysokým tlakom na miesto, kde je tlak nízky), potom nahradíme F za p1 – p2 ( p1 > p2 ).
Pri odvodzovaní rovnice koeficientu viskozity si vezmeme do úvahy tok skutočnej vrstvy kvapaliny medzi dvoma rovnobežnými doskami. Každá časť kvapaliny mení svoju pravidelnú rýchlosť až o l. V tomto prípade sa prietok kvapaliny pravidelne mení od osi trubice k okraju trubice. Kvapalina v osi trubice prúdi väčšou rýchlosťou (v). Čím väčší okraj, tým menšia je rýchlosť kvapaliny. Polomer trubice = vzdialenosť medzi osou trubice a okrajom trubice = R. Vzdialenosť medzi každou časťou kvapaliny a okrajom trubice = r. Pretože množstvo každej časti kvapaliny je obrovské a vzdialenosť od okraja trubice je tiež rôzna, potom to píšeme takto:
v 1 = rýchlosť tekutiny, ktorá sa nachádza vo vzdialenosti r 1 od okraja trubice (r 1 = R)
v2 = rýchlosť tekutiny, ktorá sa nachádza vo vzdialenosti r2 od okraja trubice ( r2 < r1 )
v3 = rýchlosť tekutiny vo vzdialenosti r3 od okraja trubice ( r3 < r2 < r1 )
v4 = rýchlosť tekutiny, ktorá sa nachádza vo vzdialenosti r4 od okraja trubice ( r4 < r3 < r2 < r1 )
............................................. ..
v n = prietok tekutiny vo vzdialenosti rn od okraja trubice (rn <…… < r4 < r3 < r2 < r1 )
Množstvo každej časti tekutiny je obrovské a tiež nevieme presne, aké veľké je toto množstvo v skutočnosti, takže stačí zapísať symbolom n. Každá časť tekutiny pravidelne mení rýchlosť (v) od osi trubice (r1 = R) k okraju trubice (rn). Od osi trubice (r1 = R) k okraju trubice (rn) je rýchlosť každej časti tekutiny menšia (v1 > v2 > v3 > v4 > ….> vn ).
Z vyššie uvedeného vysvetlenia môžeme vyvodiť, že od R do rn sa prietok kvapaliny zmenšuje. Dĺžka potrubia = L. Získaná rovnica:
Pretože to, čo skúmame, je rýchlosť prúdenia tekutiny , rovnica 2 sa stáva:
Toto je rovnica rýchlosti prúdenia tekutiny vo vzdialenosti r od potrubia s polomerom R. Ak si to zmätiete pri pohľade na obrázok vyššie… Upozorňujeme, že tekutina prúdi v trubici, takže si musíme pozrieť prietok objemu tekutiny.
Vo vnútri trubice sa nachádza tekutina. Napríklad tekutinu rozdelíme na drobné časti, kde každá časť má jednotkovú plochu dA, vzdialenú od osi trubice a má rýchlosť prúdenia v. Matematicky sa to dá zapísať takto:
dA 1 = časť kvapaliny 1, čo je vzdialenosť dr 1 od osi trubice
dA 2 = časť kvapaliny 2, čo je vzdialenosť dr 2 od osi trubice
dA 3 = časť kvapaliny 3, čo je vzdialenosť dr 3 od osi trubice
..................................
dAn = časť kvapaliny n, čo je vzdialenosť dn od osi trubice
Častí kvapaliny je veľmi veľa, preto sa zapisuje symbolom n, aby to bolo praktickejšie. Objemový prietok každej časti kvapaliny možno matematicky zapísať takto:
Každá časť tekutiny je vo vzdialenosti r = 0 až r = R (R = polomer trubice). Inými slovami, vzdialenosť každej časti tekutiny sa mení, ak ju meriame od osi trubice. Dostaneme rovnicu objemového prietoku tekutiny v trubici:
Q = Prietok, R = polomer potrubia alebo trubice, η = koeficient viskozity, P1 – p2 = Rozdiel tlaku medzi dvoma koncami potrubia, L = dĺžka potrubia, p1 -p2 / L = Tlakový gradient (prúdenie kvapaliny je vždy v smere poklesu tlaku )
Na základe vyššie uvedenej Poiseuilleovej rovnice sa zdá, že prietok objemu kvapaliny (Q) je úmerný polomeru trubice (R4 ) , tlakovému gradientu (p2 – p1 / L) a nepriamo úmerný viskozite. Ak sa pridá polomer trubice (koeficient viskozity a fixný tlakový gradient), rýchlosť prúdenia kvapaliny sa zvýši 16-násobne.
V základnom koncepte návrhu potrubia použite túto rovnicu. Výtok kvapaliny je úmerný R4 ( R = polomer trubice). Polomer striekačky alebo prstov potrubia je potrebné starostlivo vypočítať. Napríklad, ak zdvojnásobíme polomer ihly (rx2), výtok kvapaliny, ktorý sa strieka = zvýši silu stlačenia palca 16-krát.
Poiseuilleova rovnica tiež ukazuje, že polomer (r4 ) je nepriamo úmerný rozdielu tlaku medzi dvoma koncami potrubia. Napríklad krv prúdi najprv v cieve, ktorá má vnútorný polomer r. Ak dôjde k zúženiu tepien (napr. r/2 = polomer ciev sa zmenší dvakrát),
potom je potrebný 16-násobný tlakový rozdiel, aby krv prúdila ako predtým (aby bola rýchlosť prúdenia konštantná).
