Príklad diskusnej otázky o rovnici kružnice
Rovnica kružnice je dôležitou témou v analytickej geometrii. Dobré pochopenie rovnice kružnice je mimoriadne užitočné nielen v matematike, ale aj v rôznych technických a vedeckých aplikáciách. V tomto článku si rozoberieme niekoľko príkladov rovníc kružnice a ich riešení. Cieľom je poskytnúť jasný a komplexný prehľad o tom, ako riešiť problémy zahŕňajúce rovnice kružnice.
Všeobecná rovnica kružnice
Najbežnejšia rovnica kružnice v karteziánskych súradniciach je:
\[ (x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2 \]
Ruka:
– \( (a, b) \) sú súradnice stredu kružnice.
– \( r \) je polomer kružnice.
Ak je stred kružnice v bode \( (0, 0) \), rovnica kružnice bude:
\[x^2 + y^2 = r^2 \]
Teraz si poďme pozrieť niekoľko príkladov problémov a ich riešení.
Príklad otázky 1
Otázka: Určte rovnicu kružnice, ktorej stred je v bode (3, -2) a má polomer 5.
Riešenie:
Použite všeobecný vzorec pre rovnicu kružnice:
\[ (x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2 \]
Dosaďte hodnoty \( a = 3 \), \( b = -2 \) a \( r = 5 \):
\[ (x – 3)^2 + (y + 2)^2 = 5^2 \]
\[ (x – 3)^2 + (y + 2)^2 = 25 \]
Takže rovnica kružnice je:
\[ (x – 3)^2 + (y + 2)^2 = 25 \]
Príklad otázky 2
Otázka: Určte rovnicu kružnice, ktorej stred je v počiatku súradnicovej súradnice (0, 0) a má polomer 7.
Riešenie:
Keďže stred kružnice je v počiatku súradnicovej sústavy, môžeme použiť jednoduchú rovnicu:
\[x^2 + y^2 = r^2 \]
Dosadíme hodnotu \( r = 7 \):
\[x^2 + y^2 = 7^2 \]
\[x^2 + y^2 = 49 \]
Takže rovnica kružnice je:
\[x^2 + y^2 = 49 \]
Príklad otázky 3
Otázka: Určte rovnicu kružnice, ktorej stred je v bode (4, -5) a dotýka sa osi Y.
Riešenie:
Kružnica dotýkajúca sa osi Y znamená, že vzdialenosť od stredu kružnice k osi Y sa rovná jej polomeru. Táto vzdialenosť je absolútna hodnota súradnice X stredu kružnice. Polomer je teda 4.
Použite všeobecný vzorec pre rovnicu kružnice:
\[ (x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2 \]
Dosaďte hodnoty \( a = 4 \), \( b = -5 \) a \( r = 4 \):
\[ (x – 4)^2 + (y + 5)^2 = 4^2 \]
\[ (x – 4)^2 + (y + 5)^2 = 16 \]
Takže rovnica kružnice je:
\[ (x – 4)^2 + (y + 5)^2 = 16 \]
Príklad otázky 4
Otázka: Kruh má rovnicu \( x^2 + y^2 – 6x + 4y – 12 = 0 \). Určte stred a polomer kružnice.
Riešenie:
Na vyriešenie tejto rovnice ju musíme previesť do štandardného tvaru \( (x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2 \). Kroky na jej dokončenie sú nasledovné:
1. Zoskupovanie a riešenie dokonalých štvorcov:
Počiatočná rovnica je:
\[ x^2 + y^2 – 6x + 4r – 12 = 0 \]
Skupina \(x \) a \(y \):
\[ (x^2 – 6x) + (y^2 + 4y) = 12 \]
2. Vyriešte dokonalý štvorec:
Pre \(x^2 – 6x \):
\[x^2 – 6x + 9 \]
Pre \(y^2 + 4y \):
\[ y^2 + 4y + 4 \]
Pripočítajte 9 a 4 k obom stranám rovnice:
\[ (x^2 – 6x + 9) + (y^2 + 4y + 4) = 12 + 9 + 4 \]
\[ (x – 3)^2 + (y + 2)^2 = 25 \]
Takže rovnica kružnice v štandardnom tvare je:
\[ (x – 3)^2 + (y + 2)^2 = 25 \]
Z toho vidíme, že stred kružnice je \( (3, -2) \) a polomer je \( r = \sqrt{25} = 5 \).
Príklad otázky 5
Otázka: Určte rovnicu kružnice, ktorá prechádza bodmi (2, 3) a (4, 5) a jej stred leží na priamke x = 3.
Riešenie:
Z otázky vieme, že stred kružnice je (3, b). Kružnica tiež prechádza dvoma známymi bodmi. Keďže kružnica prechádza bodom (2, 3), vzdialenosť od stredu k tomuto bodu je polomer.
Rovnica kružnice je:
\[ (x – 3)^2 + (y – b)^2 = r^2 \]
Bod substitúcie (2, 3):
\[ (2 – 3)^2 + (3 – b)^2 = r^2 \]
\[ 1 + (3 – b)^2 = r^2 \]
\[ (3 – b)^2 = r^2 – 1 \]
Bod substitúcie (4, 5):
\[ (4 – 3)^2 + (5 – b)^2 = r^2 \]
\[ 1 + (5 – b)^2 = r^2 \]
\[ (5 – b)^2 = r^2 – 1 \]
Z týchto dvoch rovníc vieme, že (3 – b)^2 = (5 – b)^2. Takže:
\[3 – b = \pm(5 – b) \]
Ak \( 3 – b = 5 – b \), výsledok nemôže byť pravdivý. Takže:
\[3 – b = -(5 – b) \]
\[ b = 4 \]
Pre b = 4 je rovnica kružnice:
\[ (x – 3)^2 + (y – 4)^2 = 2 \]
Polomer r však môžeme vypočítať zo vzdialenosti medzi stredom a bodom (2, 3) = \(\sqrt{(2 – 3)^2 + (3 – 4)^2} \) = \(\sqrt{1+1}\) = \(\sqrt {2}\)
Rovnica kružnice je:
\[ (x – 3)^2 + (y – 4)^2 = 2 \]
Záver
Pochopenie rovnice kružnice môže zjednodušiť riešenie mnohých matematických problémov. V každom prípade je identifikácia stredu a polomeru kľúčová. Dúfame, že tieto príklady úloh a ich vysvetlenia poskytnú objasnenie a pomôžu vám naučiť sa rovnicu kružnice. Cvičenie robí majstra v matematike, takže neváhajte vyskúšať rôzne úlohy, aby ste si zlepšili svoje zručnosti.
