Príklady otázok a diskusia o kruhových výsečiach
Výseče kruhu sú dôležitou témou v matematike, ktorá sa často objavuje v skúškach a praktických otázkach. Výseč je časť kruhu ohraničená dvoma polomermi a oblúkom, ktorý ich spája. V tomto článku si preberieme niekoľko príkladov úloh o výsečiach kruhu spolu s podrobnými vysvetleniami, aby sme prehĺbili naše pochopenie.
Definícia kruhového výseku
Výseč kruhu je výseč kruhu ohraničená dvoma polomermi a jedným oblúkom. Plocha výseče sa vypočíta na základe zlomku celkovej plochy kruhu. Hlavný vzorec používaný na výpočet výseče je nasledovný:
– Plocha Juringu: \[L_juring = \frac{\theta}{360^\circ} \krát \pi \krát r^2\]
– Dĺžka oblúka: \[P_b = \frac{\theta}{360^\circ} \krát 2\pí r\]
Ruka:
– \( \theta \) je veľkosť sektorového uhla v stupňoch,
– \( r \) je polomer kružnice,
– \( \pí \) je konštanta (približne 3.14159).
Vzorové otázky a diskusia
Otázka 1:
Daný je kruh s polomerom 10 cm a výsečou so stredovým uhlom 90°. Vypočítajte plochu výseče.
Diskusia:
Je známe:
– \(r = 10 \) cm
– \( \theta = 90^\circ \)
Používame vzorec pre plochu sektora:
\[L_juring = \frac{\theta}{360^\circ} \krát \pi \krát r^2\]
\[L_juring = \frac{90^\circ}{360^\circ} \krát \pi \krát (10\text{ cm})^2\]
\[L_juring = \frac{1}{4} \krát \pi \krát 100\text{ cm}^2\]
\[L_juring = 25\pi\text{ cm}^2\]
Ak sa vezme \( \pí \) rovné 3.14, potom:
\[L_juring = 25 \krát 3.14\text{ cm}^2 = 78.5\text{ cm}^2\]
Plocha sektora je teda 38 465 cm².
Otázka 2:
Výseč kruhu má polomer 7 cm a dĺžku oblúka 11 cm. Určte stredový uhol výseče v radiánoch.
Diskusia:
Je známe:
– \(r = 7 \) cm
– Dĺžka oblúka \( P_b = 11 \text{ cm} \)
Na výpočet uhla \( \theta \) použijeme vzorec pre dĺžku oblúka:
\[P_b = \frac{\theta}{360^\circ} \krát 2\pí r\]
Keďže máme nájsť uhol v radiánoch, nahradíme 360° za \(2\pi\) radiánov:
\[P_b = \theta \krát r\]
\[11 = \theta \krát 7\]
\[\theta = \frac{11}{7}\]
\[\theta \približne 1.57 \text{ rad}\]
Takže stredový uhol sektora je 1.57 radiánov.
Otázka 3:
Kruh s polomerom 16 cm má výseč s plochou 200 cm². Vypočítajte stredový uhol výseče.
Diskusia:
Je známe:
– \(r = 16 \) cm
– \( L_juring = 200 \text{ cm}^2 \)
Na nájdenie \( \theta \) použijeme vzorec pre výpočet plochy sektora:
\[L_juring = \frac{\theta}{360^\circ} \krát \pi \krát r^2\]
\[200 = \frac{\theta}{360^\circ} \krát \pí \krát (16)^2\]
\[200 = \frac{\theta}{360^\circ} \krát \pí \krát 256\]
\[200 = \frac{\theta \krát 256 \krát \pí}{360^\circ}\]
\[200 \krát 360^\circ = \theta \krát 256 \krát 3.14\]
\[72000 = \theta \krát 256 \krát 3.14\]
\[72000 = \theta \krát 804.64\]
\[\theta = \frac{72000}{804.64}\]
\[\theta \približne 89.45^\circ\]
Stredový uhol sektora je teda približne 89.45°.
Otázka 4:
Vypočítajte celkový obvod výseče, ktorá má polomer 12 cm a stredový uhol 120°.
Diskusia:
Je známe:
– \(r = 12 \) cm
– \( \theta = 120^\circ \)
Najprv nájdeme dĺžku oblúka:
\[P_b = \frac{\theta}{360^\circ} \krát 2\pí r\]
\[P_b = \frac{120^\circ}{360^\circ} \krát 2\pí \krát 12\]
\[P_b = \frac{1}{3} \krát 2\pí \krát 12\]
\[P_b = 8\pí\text{ cm}\]
Potom vypočítame obvod výseku (dĺžka oblúka + dva polomery):
\[K = 2r + P_b\]
\[K = 2 \krát 12\text{ cm} + 8\pí\text{ cm}\]
\[K = 24 cm + 8 pí cm]
Ak sa vezme \( \pí \) rovné 3.14, potom:
\[K = 24 cm + 8 krát 3.14 cm
\[K = 24 cm + 25.12 cm
\[K = 49.12\text{ cm}\]
Celkový obvod sektora je teda 49.12 cm.
Otázka 5:
Ak má kruh s polomerom 18 cm výseč, ktorá zviera uhol 45°, určte dĺžku oblúka a plochu výseče.
Diskusia:
Je známe:
– \(r = 18 \) cm
– \( \theta = 45^\circ \)
1. Dĺžka oblúka:
\[P_b = \frac{\theta}{360^\circ} \krát 2\pí r\]
\[P_b = \frac{45^\circ}{360^\circ} \krát 2\pí \krát 18\text{ cm}\]
\[P_b = \frac{1}{8} \krát 36\pí\cm}\]
\[P_b = 4.5\pí\text{ cm}\]
Ak sa vezme \( \pí \) rovné 3.14, potom:
\[P_b = 4.5 \krát 3.14\text{ cm} \približne 14.13\text{ cm}\]
Takže dĺžka luku je približne 14.13 cm.
2. Oblasť sektora:
\[L_juring = \frac{\theta}{360^\circ} \krát \pi \krát r^2\]
\[L_juring = \frac{45^\circ}{360^\circ} \krát \pi \krát (18\text{ cm})^2\]
\[L_juring = \frac{1}{8} \krát \pi \krát 324\text{ cm}^2\]
\[L_juring = 40.5\pi\text{ cm}^2\]
Ak sa vezme \( \pí \) rovné 3.14, potom:
\[L_juring = 40.5 \krát 3.14\text{ cm}^2 \približne 127.17\text{ cm}^2\]
Plocha sektora je teda približne 127.17 cm².
Záver
V tomto článku sme prediskutovali niekoľko príkladov problémov týkajúcich sa výsečí kruhu a ich riešení. Podstata pochopenia výsečí kruhu spočíva v zvládnutí základných vzorcov na výpočet plochy výseče a dĺžky oblúka. Časté precvičovanie a pochopenie toho, ako tieto vzorce aplikovať na rôzne typy problémov, vám dúfajme pomôže zlepšiť vašu schopnosť riešiť podobné problémy.
