ප්රක්ෂේපණ චලිතය

ප්‍රක්ෂේපණ චලිතය සහ විසඳුම් සහිත නියැදි ගැටළු පිළිබඳ ලිපිය

ආරම්භක ප්‍රවේගය (v_o) සහ ආරම්භක ප්‍රවේගයේ සංරචක (v_ox සහ v_oy)

පරාවලයික චලනයන් සැමවිටම ආරම්භක වේගයක් ඇති වස්තුවකි. පරාවලයික චලිතය යනු තිරස් සහ සිරස් දිශාවන්හි චලනයන්ගේ එකතුවක් වන බැවින්, ආරම්භක ප්‍රවේගයට තිරස් සහ සිරස් සංරචක ද ඇත.

රූපය 1 සහ 3 හි මෙන් වස්තුව පරාවලයිකව චලනය වන්නේ නම්, තිරස් දිශාවේ ආරම්භක ප්‍රවේගය (v _ox ) සහ සිරස් දිශාවේ ආරම්භක ප්‍රවේගය (v _oy ) ගණනය කරනු ලබන්නේ සමීකරණය භාවිතා කරමිනි:

v _ගොනා = v _o cos θ

v _oy = v _o පාපය θ

රූපය 2 ලෙස වස්තුව පරාවලයිකව චලනය වන්නේ නම් v _o = v _ox (v _oy = 0)

ප්‍රවේගය (v_x සහ v_y) සහ ස්ථානය (x සහ y)

නිශ්චිත කාල පරතරයකදී තිරස් සහ සිරස් දිශාවන්හි වේගය ගණනය කරනු ලබන්නේ සමීකරණය භාවිතා කරමිනි:

v _x = v _ox = නියතය ( ඒකාකාර රේඛීය චලිතය )

v _y = v _oy + gt හෝ v _y ² = v _oy ² + 2 gh (නිදහස් වැටීමේ චලිතය)

නිශ්චිත කාල පරතරයකදී තිරස් (x) සහ සිරස් (y) දිශාවන්හි වස්තූන්ගේ පිහිටීම ගණනය කරනු ලබන්නේ සමීකරණය භාවිතා කරමිනි:

x = v _ගොනා t

y = v _oy t + 1/2 gt ^​​2

ප්‍රවේගය (v) සහ පිහිටීම (h) හි ප්‍රතිඵලය

නිශ්චිත කාල පරතරයකදී ප්‍රතිඵල ප්‍රවේගය ගණනය කරනු ලබන්නේ සමීකරණය භාවිතා කරමිනි:

නිශ්චිත කාල පරතරයකදී වස්තූන්ගේ දිශාව ගණනය කරනු ලබන්නේ සමීකරණය භාවිතා කරමිනි:

සටහන්:

1. පරාවලයික චලිතයේ තිරස් සංරචකය ඒකාකාර රේඛීය චලිතය ලෙස සලකනු ලැබේ, එබැවින් vox = vx සැමවිටම නියත වේ

2. පරාවලයික චලිතයේ සිරස් සංරචකය නිදහස් වැටීමේ චලිතය ලෙස සැලකේ, එබැවින් වස්තුව පරාවලයිකව චලනය වන්නේ නම්, රූප 1 සහ 3 වැනි, උපරිම උසකදී වස්තුවේ ප්‍රවේගයේ සිරස් සංරචකය ශුන්‍ය වේ (v _y = 0). ඔබ උපරිම උසකදී කිරිගරුඬක් කෙළින් ඉහළට විසි කළහොත්, වස්තුව පහළට හැරවීමට පෙර මොහොතකට (v _y = 0) නිශ්චල වේ. එබැවින්, උපරිම උසකදී පරාවලයික චලනය වන වස්තුවේ වේගය = v _x = v _ox

3. රූපය 2 හි දැක්වෙන පරිදි වස්තුව පරාවලයිකව චලනය වන්නේ නම්, පරාවලයික චලිතයේ සිරස් සංරචකය නිදහස් වැටීමේ චලිතය ලෙස සැලකේ. රූපය 1 සහ 3 හි දැක්වෙන පරිදි වස්තුව පරාවලයිකව චලනය වන්නේ නම්, පරාවලයික චලිතයේ සිරස් සංරචකය ඉහළට සිරස් චලිතය ලෙස සැලකේ.

ආදර්ශ ගැටළු:

1. උණ්ඩයක් තිරස් දිශාවකට විදින අතර එහි ආරම්භක වේගය තත්පරයට මීටර් 20 කි. තුවක්කුව බිම සිට මීටර් 5 ක් ඉහළින් තිබේ නම්, තීරණය කරන්න:

(අ) වාතයේ ගත කරන කාලය

(ආ) උපරිම උස

(ඇ) තිරස් දුර

(ඈ) බිමට වැටෙන විට උණ්ඩයේ වේගය

විසඳුමක්:

තිරස් දිශාවේ චලිතය ඒකාකාර රේඛීය චලිතය මෙන් විශ්ලේෂණය කරන අතර සිරස් දිශාවේ චලිතය නිදහස් වැටීමේ චලිතය මෙන් විශ්ලේෂණය කෙරේ.

දන්නා:

v _ගොනා = 20 m/s, v _oy = 0 m/s, h = 5 m, g = 9.8 m/s ²

අ) වාතයේ ගත කරන කාලය

විසඳුම වන්නේ නිදහස් වැටීමේ චලිතයේ කාල පරතරය (t) තීරණය කිරීමයි.

දන්නා: v _oy = 0 m/s, h = 5 m, g = 9.8 m/s ²

අවශ්‍යයි: ටී

b) උපරිම උස

උපරිම උස = h = මීටර් 5.

ඇ) තිරස් දුර (ඈ)

විසඳුම ඒකාකාර රේඛීය චලිතයේ දුර තීරණය කිරීම හා සමානයි

දන්නා: v _ox = 20 m/s, t = තත්පර 1

අවශ්‍යයි: d

d = වීටී

d = (20 m/s)(1 s) = 20 m

ඈ) උණ්ඩය බිම වැදෙන විට වේගය

v _tx = v _ගොනා = 20 m/s

v _ty = ?

පළමුව, අපි අවසාන වේගය සිරස් දිශාවට (vty) ගණනය කරමු. විසඳුම නිදහස් වැටීමේ චලිතයේ අවසාන වේගය තීරණය කිරීම හා සමානයි.

දන්නා: v _oy = 0, g = 9.8 m/s ² , t = 1 s

අවශ්‍යයි: v _ty

v _t = v _o + gt —> vo = 0

v _t = gt

v _t = (9.8 m/s ² )(තත්පර 1)

v _t = 9.8 m/s

බිම වැටෙන විට උණ්ඩයක වේගය:

උණ්ඩයේ දිශාව:

v _tx ධන x-අක්ෂයේ දිශාවට (දකුණට) සහ v _ty සෘණ y-අක්ෂයේ දිශාවට (පහළට) ඇති නිසා,

බිමට වදින විට උණ්ඩයේ දිශාව ධන x-අක්ෂයට -26.1 ^{o වේ (පහත රූපය බලන්න).}

2. කාලතුවක්කුව 60 m/s වේගයකින් තිරස් අතට 30 ^{o ක උණ්ඩයක් නිකුත් කළේය. තීරණය කරන්න:}

(අ) උපරිම උස

(ආ) උපරිම උසින් උණ්ඩයේ වේගය

(ඇ) වාතයේ ගත කරන කාලය

(ඈ) තිරස් දුර

(ඉ) බිමට වදින විට උණ්ඩයේ වේගය. බිම සමතලා යැයි සිතමු. 🙂

විසඳුමක්:

තිරස් දිශාවේ චලිතය ඒකාකාර රේඛීය චලිතය මෙන් විශ්ලේෂණය කරනු ලබන අතර, සිරස් දිශාවේ චලිතය ඉහළට සිරස් චලිතය මෙන් විශ්ලේෂණය කෙරේ.

දන්නා: v _o = 60 m/s, theta = 30 ^o.

දන්නා දත්ත මත පදනම්ව, අපි මුලින්ම ආරම්භක වේගයේ (v _o ) සිරස් (v _oy ) සහ තිරස් (v _ox ) සංරචක ගණනය කරමු.

a) උපරිම උස (h)

විසඳුම ඉහළට සිරස් චලිතයේ උපරිම උස තීරණය කිරීම වැනිය.

දන්නා:

v _ox = v _o cos θ = (60)(cos 30) = (60)(0.87) = 52 m/s

v _oy = v _o sin θ = (60)(sin 30) = (60)(0.5) = 30 m/s

අ) උපරිම උස (h)

විසඳුම සිරස් ඉහළට චලනය වන විට උපරිම උස තීරණය කිරීම වැනිය.

දන්නා:

v _oy = 30 m/s (මෙය උණ්ඩයේ ආරම්භක වේගයයි)

v _ty = 0 m/s (උපරිම උසේදී, උණ්ඩයේ සිරස් ප්‍රවේගය = 0 m/s. මෙය අවසාන වේගයයි.)

උ = – 9.8 m/s ²

අවශ්‍යයි: h

v _t ² = v _o ² + 2 ග්රෑම්

0 ² = 30 ² + 2 (-9.8) ඌ

0 = 900 – 19.6 පැය

900 = පැය 19.6

h = 900 / 19.6

h = මීටර් 45.9

උණ්ඩය ලබා ගත් උපරිම උස = මීටර් 45.9.

b) උපරිම උසෙහි වේගය

උපරිම උසෙහිදී, සිරස් දිශාවෙහි වේගය = 0 m/s. උපරිම උන්නතාංශයේදී, තිරස් දිශාවෙහි ඇති එකම වේගය ඇත. උපරිම උසෙහිදී තිරස් දිශාවෙහි වේගය තිරස් දිශාවෙහි ආරම්භක ප්‍රවේගයට සමාන වන අතර එය 52.2 m/s වේ. තිරස් දිශාවෙහි ප්‍රවේගයේ දිශාව සැමවිටම නියත වේ, එනම්, ධන x-අක්ෂයේ දිශාවට (ඉහත රූප සටහනේ වස්තුවක චලිතය විස්තර කර ඇත්නම්)

ඇ) වාතයේ ගත කළ කාලය

විසඳුම සිරස් ඉහළට චලනය පිළිබඳ සාකච්ඡාවේදී කාල පරතරය (t) තීරණය කිරීම හා සමානයි.

දන්නා:

v _oy = 30 m/s (මෙය සිරස් දිශාවට උණ්ඩයේ ආරම්භක වේගයයි)

උ = – 9.8 m/s ²

h = 0 m (උණ්ඩය නැවත බිමට පැමිණි විට, සිරස් දිශාවට උණ්ඩයේ විස්ථාපනය = 0 m)

අවශ්‍යයි: ටී

h = v _o t + ½ gt ²

0 = (30) t + ½ (-9.8 m/s ² ) t ²

0 = (30) ටී – 4.9 ටී ²

(30) ටී = 4.9 ටී ²

30 = 4.9 ට

ටී = 30 / 4.9

t = තත්පර 6.12

වාතයේ ගත කළ කාලය = තත්පර 6.12

ඈ) තිරස් දුර (ඈ)

විසඳුම ඒකාකාර රේඛීය චලිතයේ දුර (d) තීරණය කිරීම හා සමානයි.

දන්නා:

v _ගොනා = 52.2 m/s

t = තත්පර 6.12

අවශ්‍යයි: d

d = vt = (52.2 m/s)(තත්පර 6.12) = 319.5 m

e) උණ්ඩය බිම වැදෙන විට වේගය

v _tx = v _ගොනා = 52.2 m/s

v _ty = ?

පළමුව, අපි සිරස් දිශාවට (v _ty ) අවසාන ප්‍රවේගය ගණනය කරමු. විසඳුම වන්නේ සිරස් ඉහළට චලනය වන අවසාන වේගය තීරණය කිරීමයි.

අවශ්‍යයි: v _oy = 30 m/s, g = -9.8 m/s ² , t = තත්පර 6.12

අවශ්‍යයි: v _ty

v _ty = v _oy + gt

v _ty = (30) + (-9.8)(6.12)

v _ty = (30) – (60)

v _ty = -30 m/s

සෘණ ලකුණක් මඟින් අවසාන ප්‍රවේගයේ දිශාව පහළට ඇති බව පෙන්නුම් කරයි. සිරස් දිශාවේ ආරම්භක ප්‍රවේගය සිරස් දිශාවේ අවසාන ප්‍රවේගයට සමාන බව සලකන්න.

බිම වැටෙන විට උණ්ඩයේ වේගය:

උණ්ඩයේ දිශාව:

v _tx ධන x-අක්ෂයේ දිශාවට (දකුණට) සහ vty සෘණ y-අක්ෂයේ දිශාවට (පහළට) බැවින්,

බිමට වදින විට උණ්ඩයේ ප්‍රවේගයේ දිශාව ධන x-අක්ෂය වටා -30 ^{o වේ (පහත රූපය බලන්න).}

3. මීටර් 50ක් උස ගොඩනැගිල්ලක කෙළවරේ සිට 10 m/s ආරම්භක වේගයකින් බෝලයක් විසි කරනු ලැබේ. බෝලය තිරස් අතට 30° ට විසි කරන්නේ නම්, තීරණය කරන්න:

(අ) බෝලය බිමට ළඟා වන කාල පරතරය

(ආ) පන්දුව බිමට වදින විට එහි වේගය

(ඇ) බෝලයට ළඟා විය හැකි තිරස් දුර ගොඩනැගිල්ලේ කෙළවරේ සිට මනිනු ලැබේ.

(ඈ) බෝලය ළඟා වූ උපරිම උස

විසඳුමක්:

පළමුව, අපි ආරම්භක ප්‍රවේගයේ (v _o ) සිරස් සංරචකය (v _oy ) සහ තිරස් සංරචකය (v _ox ) ගණනය කරමු.

v _ගොනා = v _o cos 30 ^o = (10 m/s)(0.87) = 8.7 m/s

v _oy = v _o පාපය 30 ^o = (10 m/s)(0.5) = 5 m/s

අ) බෝලය බිමට ළඟා වන කාල පරතරය

විසඳුම සිරස් ඉහළට චලනය වන කාල පරතරය (t) තීරණය කිරීම වැනිය. ඉහළට දිශාව ඇති දෛශිකයේ විශාලත්වය ධනාත්මක ලෙස තෝරාගෙන ඇති අතර, පහළට දිශාව ඇති දෛශිකයේ විශාලත්වය සෘණ ලෙස තෝරාගෙන ඇත. එය විසි කරන ලද බෝල පිහිටීම යොමු ලක්ෂ්‍යයක් ලෙස තෝරාගෙන ඇත. බිම් මතුපිට යොමු ලක්ෂ්‍යයට පහළින් ඇති බැවින් h සෘණ වන අතර ගුරුත්වාකර්ෂණ ත්වරණය දිශාව පහළට ඇති බැවින් g සෘණ වේ.

දන්නා:

v _oy = 5 m/s, h = – 5 m, g = – 9.8 m/s ²

අවශ්‍යයි: ටී

h = v _o t + ½ gt ²

-5 = 5 ටී + ½ (-9.8) ටී ²

-5 = 5 ටී – 4.9 ටී ²

-4.9 ටී ² + 5 ටී + 5 = 0

චතුරස්‍ර සූත්‍රය භාවිතා කරන්න:

ගුවනේ ගත කළ කාලය = පන්දුව බිමට විසි කළ දා සිට ගත වූ කාල පරතරය = තත්පර 1.64.

b) බිම මතුපිටට පහර දෙන විට පන්දුවේ වේගය

v _tx = v _ගොනා = v _x = 8.7 m/s

v _ty = ?

පළමුව, අපි අවසාන වේගය සිරස් දිශාවට (v _ty ) ගණනය කරමු. විසඳුම සිරස් ඉහළට චලනය වන විට අවසාන වේගය තීරණය කිරීම හා සමානයි.

දන්නා: v _oy = 5 m/s, g = -9.8 m/s ² , t = තත්පර 1.64

අවශ්‍යයි: v _ty

v _ty = v _oy + gt

v _ty = 5 + (-9.8)(1.64)

v _ty = 5 – 16

v _ty = -11 m/s

සෘණ ලකුණෙන් දැක්වෙන්නේ අවසාන ප්‍රවේගයේ දිශාව පහළට බවයි.

බිම වැටෙන විට උණ්ඩයේ වේගය:

උණ්ඩයේ වේගයේ දිශාව = බිම වැටෙන විට උණ්ඩයේ චලනයේ දිශාව:

බිම වැටෙන විට උණ්ඩයේ වේගය:

vtx ධන x-අක්ෂයේ දිශාවට (දකුණට) සහ vty සෘණ y-අක්ෂයේ දිශාවට (පහළට) ඇති නිසා,

බිමට වදින විට උණ්ඩයේ දිශාව ධන x-අක්ෂය වටා -52° වේ (පහත රූපය බලන්න).

ඇ) බෝලයට ළඟා විය හැකි තිරස් දුර ගොඩනැගිල්ලේ කෙළවරේ සිට මනිනු ලැබේ.

විසඳුම ඒකාකාර රේඛීය චලිතය මත ගමන් කළ දුර (d) තීරණය කිරීම හා සමානයි.

දන්නා: t = තත්පර 1.64, v _x = 8.7 m/s

අවශ්‍යයි: d

d = vt = (8.7 m/s)(තත්පර 1.64) = 14.3 m

d) බෝලය ළඟා වන උපරිම උස

දන්නා: v _oy = 5 m/s, v _ty = 0 m/s ( උපරිම උසින් ප්‍රවේගයේ සිරස් සංරචකය = 0 m/s), g = -9.8 m/s ².

අවශ්‍යයි: h

v _ty ² = v _oy ² + 2 gh

0 m/s = (5 m/s) ² + 2(-9.8 m/s ² )(h)

0 මීටර්/තත් = 25 (මීටර්/තත්) ² + (-19.6 මීටර්/තත් ² )(පැ)

25 (මීටර්/තත්) ² = -19.6 මීටර්/තත් 2 (පැය)

h = 25 (m/s) ² : -19.6 m/s ² = මීටර් 1.3

බෝලය ළඟා වූ උපරිම උස = ගොඩනැගිල්ලේ මුදුනේ සිට මීටර් 1.3 ක් ඉහළින් = මීටර් 1.3 + මීටර් 50 = බිම් මතුපිට සිට මීටර් 51.3 ක් ඉහළින්.