ڪمپليڪس انگن جي اصليت کي سمجهڻ
رياضي جي دائري کي اهڙن تصورن سان ڀريو پيو آهي جيڪي ظاهري طور تي تجريدي ۽ متضاد نظر اچن ٿا، صرف پاڻ کي دنيا کي سمجهڻ لاءِ تمام گهڻي خوبصورت ۽ ضروري فريم ورڪ طور ظاهر ڪن ٿا. اهڙو ئي هڪ تصور پيچيده انگن جو آهي. اهي انگ، جن ۾ هڪ حقيقي حصو ۽ هڪ خيالي حصو ٻئي شامل آهن، شروعات ۾ باطني نظر اچن ٿا. تڏهن به، انهن جون رياضي جي تاريخ ۾ گهڻيون پاڙون آهن ۽ انجنيئرنگ، فزڪس، ۽ سگنل پروسيسنگ جهڙن متنوع شعبن ۾ اهم ڪردار ادا ڪن ٿا. انهن جي اهميت کي سمجهڻ لاءِ، انهن جي اصليت کي ڳولڻ ۽ انهن جي ترقي کي سمجهڻ ضروري آهي.
خيالي انگن جي پيدائش
پيچيده انگن جي ڪهاڻي چورس مساوات سان شروع ٿئي ٿي. قديم زماني کان وٺي، رياضي دان \(x^2 + bx + c = 0\) جي شڪل جي مساواتن کي حل ڪندا آيا آهن. بهرحال، منفي انگن جي چورس جڙڙن سان لاڳاپيل حل اڃا تائين اڻپورا ۽ پريشان ڪندڙ آهن. مثال طور، قديم يوناني رياضي دان ڊيوفينٽوس اهڙا حل نوٽ ڪيا جن ۾ منفي چورس جڙڙا شامل هئا پر انهن کي ناممڪن قرار ڏنو. ساڳئي طرح، ساڳئي وقت، هندستان ۽ چين ۾ رياضي دانن پولينوميل مساواتن جي ڳولا ڪئي، منفي جڙڙن کي مسئلو ڳوليو.
اهو 16 صدي تائين نه هو جڏهن اطالوي رياضي دان گيرولامو ڪارڊانو هڪ قابل ذڪر اڳڀرائي ڪئي. پنهنجي بنيادي ڪم آرس ميگنا (1545) ۾، ڪارڊانو ڪعبي مساواتن کي حل ڪرڻ لاءِ هڪ فارمولو پيش ڪيو. انهن مساواتن تي ڪم ڪندي، هن کي منفي انگن جي چورس جڙڙن جو سامنا ٿيو. جيتوڻيڪ هو انهن حلن کي مڪمل طور تي قبول ڪرڻ ۾ هٻڪندو هو، پر هن انهن کي مڪمل طور تي رد نه ڪيو. ان جي بدران، هن انهن جي وجود کي نوٽ ڪيو ۽ انهن کي الجبري طور تي به هٿرادو ڪيو، بعد ۾ رياضي دانن لاءِ انهن 'خيالي' انگن کي وڌيڪ سنجيدگي سان ڳولڻ جي بنياد رکي.
17 هين ۽ 18 هين صدي ۾ ترقي
اصطلاح "خيالي" 1637 ۾ ريني ڊيڪارٽ پاران ايجاد ڪيو ويو، شروعات ۾ انهن بظاهر فرضي مقدارن کي بيان ڪرڻ لاءِ هڪ بي عزتي واري اصطلاح طور ارادو ڪيو ويو. بهرحال، اصطلاح رڪجي ويو ۽ آهستي آهستي پنهنجو توهين آميز مفهوم وڃائي ويٺو. ان دوران، ترقي جاري رهي جيئن رافيل بمبيلي جهڙن رياضي دانن انهن انگن کي سختي سان بيان ڪرڻ ۽ انهن سان ڪم ڪرڻ شروع ڪيو.
بومبيلي جو ڪم اهم هو. پنهنجي ڪتاب الجبرا (1572) ۾، بومبيلي خيالي انگن کي هٿرادو ڪرڻ جا قاعدا بيان ڪيا. هن ڏيکاريو ته انهن انگن کي ڪيئن شامل ڪجي، گھٽايو وڃي، ۽ ضرب ڪجي، بنيادي طور تي پيچيده انگن لاءِ هڪ ابتدائي الجبرا تيار ڪيو وڃي. بومبيلي جو ڪم رياضي برادري لاءِ خيالي انگن جي تصور کي وڌيڪ خوشگوار بڻائڻ ۾ اهم هو.
18 صدي ۾ ليون هارڊ اولر ۽ ڪارل فريڊرڪ گاس جهڙن رياضي دانن جي تعاون جي ذريعي پيچيده انگن جي قبوليت ۽ باضابطه سمجھ کي هڪ اهم واڌارو مليو. اولر پيچيده انگن کي ايڪسپونٽرن جي صورت ۾ نمائندگي ڪرڻ ۾ اهم ڪردار ادا ڪيو. هن -1 جي مربع جڙ لاءِ نوٽيشن \(i\) متعارف ڪرايو ۽ مشهور اولر جو فارمولو \(e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x)\ قائم ڪيو، جيڪو ٽريگونوميٽري ۽ پيچيده ايڪسپونٽيشن جي وچ ۾ هڪ گهرو تعلق کي روشن ڪري ٿو.
گاس جو اڳواڻي وارو ڪم
جڏهن ته اولر اسٽيج قائم ڪيو، اهو گاس هو جنهن پيچيده انگن لاءِ سخت بنياد فراهم ڪيو. 19 صدي جي شروعات ۾، گاس الجبرا جي بنيادي ٿيوريم کي ثابت ڪيو، جيڪو چوي ٿو ته هر غير مستقل پولينوميل مساوات ۾ گهٽ ۾ گهٽ هڪ پيچيده جڙ هوندي آهي. هن ٿيوريم پولينوميل مساواتن کي حل ڪرڻ ۾ پيچيده انگن جي مڪمل هجڻ تي زور ڏنو ۽ رياضياتي نظريي ۾ انهن جي جڳهه کي مضبوط ڪيو.
گاس پيچيده انگن جي جاميٽري تشريح پڻ متعارف ڪرائي. هن پيچيده انگن کي هڪ جهاز ۾ پوائنٽن جي طور تي پيش ڪيو، جيڪو هاڻي پيچيده جهاز يا آرگينڊ جهاز جي نالي سان سڃاتو وڃي ٿو (جين-رابرٽ آرگينڊ جي نالي تي رکيو ويو آهي جنهن ان کي آزاد طور تي بيان ڪيو هو). هڪ پيچيده نمبر \(a + bi\) کي هڪ نقطي جي طور تي نقش ڪري سگهجي ٿو جنهن ۾ همراه (a, b) آهن، جتي \(a\) حقيقي حصو آهي ۽ \(b\) خيالي حصو آهي. هن جاميٽري نمائندگي پيچيده انگن جي عملن کي سمجهڻ جو هڪ وجداني ذريعو مهيا ڪيو، جهڙوڪ اضافو، گھٽائڻ، ۽ ضرب.
جديد دور ۾ پيچيده انگ
يولر ۽ گاس جي رکيل بنياد سان، پيچيده انگ رياضي جو هڪ لازمي حصو بڻجي ويا ۽ مختلف سائنسي شعبن ۾ استعمال ٿيا. فزڪس ۾، خاص طور تي برقي مقناطيس ۽ ڪوانٽم ميڪينڪس ۾، پيچيده انگ ناگزير آهن. مثال طور، ڪوانٽم ميڪينڪس ۾ موج جي فنڪشن کي پيچيده انگن جي استعمال سان بيان ڪيو ويو آهي، امڪانن جي حساب ۽ ذرڙن ۾ موج جي خاصيتن جي وضاحت کي فعال بڻائي ٿو.
انجنيئرنگ ۾، خاص طور تي اليڪٽريڪل انجنيئرنگ ۾، اي سي سرڪٽس جو تجزيو ڪرڻ لاءِ پيچيده انگن جو استعمال ڪيو ويندو آهي. انجنيئر فاسورز جي تصور کي استعمال ڪن ٿا، جيڪي پيچيده انگ آهن جيڪي سائنوسائيڊل ڪمن جي نمائندگي ڪن ٿا، سرڪٽ جي رويي کي منظم ڪندڙ فرق مساوات کي آسان بڻائڻ ۽ حل ڪرڻ لاءِ. هي طريقو ريڊيو، ٽيليويزن، ۽ پاور گرڊ جهڙن سسٽم کي ڊيزائن ڪرڻ ۽ سمجهڻ ۾ بنيادي آهي.
ان کان علاوه، سگنل پروسيسنگ ۾، فوريئر تجزيو ۾ پيچيده انگ استعمال ڪيا ويندا آهن - هڪ رياضياتي ٽيڪنڪ جيڪا افعال يا سگنلن کي فريڪوئنسي ۾ ٽوڙي ٿي. اهو ڪيترن ئي ٽيڪنالاجيز لاءِ اهم آهي، جنهن ۾ آڊيو ۽ تصويري ڪمپريشن الگورتھم جهڙوڪ MP3s ۽ JPEGs شامل آهن.
هڪ جاري سفر
پيچيده انگن جو سفر هڪ عجيب رياضياتي عجيب شيءِ کان جديد سائنس ۽ انجنيئرنگ جي بنياد تائين، تجريدي سوچ جي طاقت جو ثبوت آهي. جيڪو ناممڪن مساواتن کي حل ڪرڻ جي ڪوشش جي طور تي شروع ٿيو، ان جي نتيجي ۾ هڪ رياضياتي فريم ورڪ جي ترقي ٿي، جنهن جا دور رس نتيجا نڪتا.
اڄ، پيچيده انگن جو مطالعو ارتقا پذير آهي، جيڪي افراتفري جي نظريي، فلوئڊ ڊائنامڪس، ۽ نمبر ٿيوري جهڙن شعبن تي اثرانداز ٿين ٿا. انهن جي خاصيتن جي ڳولا نه رڳو رياضياتي رجحانن ۾ پر قدرتي ۽ انجنيئر ٿيل دنيا ۾ پڻ بصيرت فراهم ڪري ٿي. پيچيده انگ اسان کي ياد ڏياريندا آهن ته علم جي ڳولا اڪثر ڪري نامعلوم کي قبول ڪرڻ ۽ ناممڪن تي سوال ڪرڻ سان شروع ٿئي ٿي.
بنيادي طور تي، پيچيده انگن جي شروعات ۽ ترقي رياضي جي سوچ جي وسيع سفر جي علامت آهي. قديم رياضي دانن جي جدوجهد کان وٺي منفي جڙڙن کي منهن ڏيڻ کان وٺي اولر ۽ گاس جي بلند عقل تائين، جن انهن کي غير يقيني بڻايو، پيچيده انگ مثال ڏين ٿا ته ڪيئن تجريدي خيال گہرے عملي ايپليڪيشنن ڏانهن وٺي سگهن ٿا. انهن جي اصليت کي سمجهڻ سان، اسان نظريي ۽ عمل ٻنهي ۾ 'تصوراتي' کان غير معمولي ڏانهن ٽپو ڏيڻ جي تعريف ڪريون ٿا.
