حقيقي نمبر سسٽم
حقيقي عددي نظام رياضي ۾ سڀ کان بنيادي تصورن مان هڪ آهي، جيڪو روزمره جي زندگي ۾ اسان جي سامهون ايندڙ تقريبن سڀني مقدارن کي ظاهر ڪرڻ لاءِ استعمال ٿيندو آهي، ڊيگهه ۽ ماس کان وٺي گرمي پد تائين رفتار ۽ وقت تائين. حقيقي انگ رياضي جي مختلف شاخن جهڙوڪ الجبرا، جاميٽري، ڪيلڪيولس، ۽ شماريات لاءِ بنياد آهن، ۽ سائنس ۽ انجنيئرنگ جي بنيادي ٻولي پڻ آهن. حقيقي عددي نظام کي سمجهڻ جو مطلب آهي اهو سمجهڻ ته انگن کي ڪيئن درجه بندي ڪيو ويو آهي، اهي هڪ ٻئي سان ڪيئن لاڳاپيل آهن، ۽ انهن جون خاصيتون اسان کي ڪيئن حساب ۽ ماڊل مسلسل انجام ڏيڻ جي قابل بڻائين ٿيون.
حقيقي انگن کي سمجهڻ
حقيقي انگ انهن سڀني انگن جو سيٽ آهن جيڪي هڪ عددي لڪير تي رکي سگهجن ٿا. ان ۾ عقلي ۽ غير عقلي انگ ٻئي شامل آهن. وجداني طور تي، حقيقي انگن ۾ اهي سڀئي انگ شامل آهن جيڪي هڪ مسلسل مقدار جي "قدر" جي طور تي ظاهر ڪري سگهجن ٿا، مثال طور، هڪ ٽيبل جي ڊيگهه 1 ميٽر، 1,5 ميٽر، يا اڃا به 1,414213 ميٽر ٿي سگهي ٿي.
حقيقي انگن جو سيٽ عام طور تي علامت ℝ سان ظاهر ڪيو ويندو آهي. هر حقيقي انگ کي عددي لڪير تي هڪ منفرد حيثيت حاصل آهي، ڇا اهو منفي هجي، صفر هجي، يا مثبت هجي.
حقيقي عددي نظام ۾ انگن جي درجه بندي
حقيقي عددي نظام اڪيلو موجود ناهي. اهو هڪ سادي عددي نظام جو واڌارو آهي. ان کي سمجهڻ لاءِ، اسان کي انهن انگن جي درجه بندي کي ڏسڻ جي ضرورت آهي جيڪي ان کي ٺاهيندا آهن.
1. قدرتي انگ
قدرتي انگن کي عام طور تي ℕ سان ظاهر ڪيو ويندو آهي. اهي انگ شيون ڳڻڻ لاءِ استعمال ڪيا ويندا آهن ۽ عام طور تي شامل آهن:
1، 2، 3، 4، 5، …
ڪجھ وصفن ۾، 0 کي قدرتي انگن ۾ پڻ شامل ڪيو ويو آهي، پر تعليمي عمل ۾، اڪثر ڪري مڪمل انگن ۽ قدرتي انگن جي وچ ۾ فرق ڪيو ويندو آهي.
2. مڪمل انگ
مڪمل انگن ۾ قدرتي انگ ۽ صفر شامل آهن:
0، 1، 2، 3، 4، …
جڏهن اسان کي ڳڻپ جي حوالي سان "ڪجهه به نه" (صفر) ظاهر ڪرڻ جي ضرورت هجي ته مڪمل انگ ڪارآمد آهن.
3. انٽيجرز
انٽيجرز کي ℤ سان ظاهر ڪيو ويندو آهي ۽ انهن ۾ مڪمل انگ ۽ انهن جا منفي شامل آهن:
…، -3، -2، -1، 0، 1، 2، 3، …
انٽيجرز اهڙن حالتن کي ظاهر ڪرڻ لاءِ اهم آهن جن ۾ هدايتون يا قدر شامل آهن "صفر کان هيٺ"، جهڙوڪ منجمد کان هيٺ گرمي پد، قرض، يا سمنڊ جي سطح کان هيٺ اوچائي.
4. عقلي انگ
ناطق انگن کي ℚ سان ظاهر ڪيو ويندو آهي. هي انگ هڪ اهڙو انگ آهي جيڪو جزوي صورت ۾ لکي سگهجي ٿو:
\[
\frac{p}{q}
\]
\(p\) ۽ \(q\) انٽيجرز سان، ۽ \(q \neq 0\).
عقلي انگن جون مثالون:
- \(\frac{1}{2} = 0,5\)
- \(\frac{3}{4} = 0,75\)
– \(-\frac{7}{5} = -1,4\)
– 2 کي \(\frac{2}{1}\) طور لکي سگهجي ٿو.
عقلي انگن جي هڪ اهم خاصيت اها آهي ته انهن جي ڏهائي شڪل ختم ٿئي ٿي يا ورجائي ٿي. مثال طور:
- 0,25 اسٽاپ
– 0,333… ورجائي ٿو
5. غير معقول انگ
غير منطقي انگ حقيقي انگ آهن جيڪي \(\frac{p}{q}\) جي صورت ۾ ظاهر نه ٿا ڪري سگهجن جتي \(p\) ۽ \(q\) انٽيجر آهن. ڊيسيمل فارم نه ٿو روڪي ۽ نه ورجائي.
غير منطقي انگن جون مثالون:
- \(\sqrt{2} = 1,41421356…\)
– \(\پائي = 3,14159265…\)
– \(اي = 2,7182818…\)
غير معقول انگ اڪثر جاميٽري (مثال طور، هڪ ڊاگونل جو چورس جڙ) ۽ رياضياتي تجزيي ۾ ظاهر ٿيندا آهن.
6. حقيقي انگ
حقيقي انگ عقلي ۽ غير معقول انگن جو ميلاپ آهن:
\[
\ميٿ بي بي{آر} = \ميٿ بي بي{ق} \ڪپ (\ٽيڪسٽ{غير معقول})
\]
ٻين لفظن ۾، سڀئي انگ جيڪي عددي لڪير تي ظاهر ڪري سگهجن ٿا، اهي حقيقي انگ آهن.
عددي لڪير ۽ کثافت جو تصور
حقيقي انگن کي سمجهڻ جو هڪ بهترين طريقو عددي لڪير ذريعي آهي. هن لڪير تي، هر نقطو هڪ حقيقي انگ جي نمائندگي ڪري ٿو. دلچسپ ڳالهه اها آهي ته، ڪنهن به ٻن حقيقي انگن جي وچ ۾، هميشه هڪ ٻيو حقيقي انگ هوندو آهي. مثال طور، 1 ۽ 2 جي وچ ۾ 1,5 آهي؛ 1,5 ۽ 2 جي وچ ۾ 1,75 آهي؛ ۽ ائين ئي غير معين طور تي.
هن خاصيت کي کثافت سڏيو ويندو آهي. ناطق ۽ غير معقول انگ ٻئي عددي لڪير تي هڪجهڙا گهاٽا آهن: ڪنهن به ٻن حقيقي انگن جي وچ ۾، لامحدود طور تي ڪيترائي ناطق انگ ۽ لامحدود طور تي ڪيترائي غير معقول انگ هوندا آهن.
حقيقي انگن تي بنيادي آپريشن
حقيقي انگ هيٺين بنيادي رياضياتي عملن جي حمايت ڪن ٿا:
1. اضافو: \(a + b\)
2. گھٽائڻ: \(a – b\)
3. ضرب: \(a \times b\)
4. ورهاڱو: \(a \div b\)، شرط سان \(b \neq 0\)
انهن عملن ۾ اهم خاصيتون آهن جهڙوڪ:
- مٽائيندڙ: \(a + b = b + a\), \(ab = ba\)
- ساٿي: \((a + b) + c = a + (b + c)\)
- ورهائيندڙ: \(a(b + c) = ab + ac\)
- سڃاڻپ آهي: 0 اضافي لاءِ، 1 ضرب لاءِ
- هڪ معکوس آهي: اضافي لاءِ \(-a\)، ضرب لاءِ \(\frac{1}{a}\) (\(a \neq 0\) لاءِ)
اهي خاصيتون حقيقي انگن کي حساب جي نظام جي طور تي تمام مستحڪم بڻائين ٿيون.
ترتيب ۽ مطلق قدر
حقيقي انگن جو پڻ ترتيب سان تعلق آهي. اسان ٻن حقيقي انگن جو مقابلو هيٺ ڏنل نشاني سان ڪري سگهون ٿا:
– \(<\) ننڍو آهي - \(>\) وڏو آهي
- \(\le\) کان گهٽ يا برابر آهي
- \(\ge\) کان وڏو يا برابر آهي
ان کان علاوه، مطلق قدر جو تصور آهي جيڪو صفر کان هڪ عدد جي فاصلي کي بيان ڪري ٿو:
\[
| الف| =
شروعات {ڪيس}
a، ۽ \text{جيڪڏهن } a \ge 0 \\
-a، & \text{جيڪڏهن } a < 0 \end{ڪيسز} \] مثال طور، \(|-5| = 5\) ۽ \(|3| = 3\).
