معياري انحراف جو حساب ڪيئن ڪجي
معياري انحراف سڀ کان وڌيڪ استعمال ٿيندڙ شمارياتي ماپن مان هڪ آهي جيڪو اهو طئي ڪرڻ لاءِ ته ڊيٽا ان جي اوسط کان ڪيئن "پکڙيل" آهي. حقيقي زندگي ۾، معياري انحراف اسان کي ڪنهن رجحان جي استحڪام يا تبديلي کي سمجهڻ ۾ مدد ڪري ٿو: مثال طور، ٽيسٽ اسڪور ۾ تبديليون، سيلز جي اتار چڙهاؤ، اوچائي ۾ فرق، ۽ مالي ڊيٽا ۾ خطرا به. معياري انحراف جيترو ننڍو هوندو، ڊيٽا اوسط جي ويجهو هوندو. ان جي برعڪس، هڪ وڏو معياري انحراف ظاهر ڪري ٿو ته ڊيٽا اوسط کان پري آهي ۽ ان ۾ وڏي تبديلي آهي.
هي مضمون معياري انحراف جي معنيٰ، استعمال ٿيل فارمولا، ۽ آسان سمجھڻ واري مثالن ذريعي ان کي دستي طور تي ڳڻڻ جي قدمن تي بحث ڪندو.
1. معياري انحراف جي تعريف
معياري انحراف ويريئنس جو چورس روٽ آهي. ويريئنس پاڻ هر ڊيٽا پوائنٽ ۽ اوسط جي وچ ۾ فرق جي چورس جو اوسط آهي . چورس ڇو استعمال ڪجي؟ ڇاڪاڻ ته ڊيٽا پوائنٽس ۽ اوسط جي وچ ۾ فرق يا ته منفي يا مثبت ٿي سگهي ٿو. جيڪڏهن سڌو سنئون شامل ڪيو وڃي، ته منفي ۽ مثبت فرق هڪ ٻئي کي رد ڪري سگهن ٿا، جنهن جي نتيجي ۾ گمراهه ڪندڙ نتيجا نڪرندا آهن. فرقن کي اسڪوائر ڪرڻ سان، سڀئي قدر مثبت ٿي ويندا آهن، ڊيٽا جي ورڇ جي وڌيڪ صحيح ماپ جي اجازت ڏين ٿا.
بس:
- ويرينس = "چورس" يونٽن ۾ پکيڙ جي ماپ.
- معياري انحراف = پکيڙ جو هڪ ماپ جيڪو ڊيٽا جي اصل يونٽن ڏانهن موٽيو آهي.
مثال: جيڪڏهن ڊيٽا ٽيسٽ اسڪور (پوائنٽ يونٽ) جي صورت ۾ آهي، ته ويرينس پوائنٽس ۾ هوندو، جڏهن ته معياري انحراف ٻيهر پوائنٽس ۾ هوندو، جنهن جي ذريعي ان جي تشريح آسان ٿيندي.
2. آبادي بمقابله نموني معياري انحراف
حساب ڪرڻ کان اڳ، اهو ڄاڻڻ ضروري آهي ته توهان وٽ ڪهڙي قسم جو ڊيٽا آهي:
1. آبادي: ڊيٽا ۾ اهي سڀئي ميمبر شامل آهن جن تي تحقيق ڪئي ويندي.
آبادي جي معياري انحراف جو فارمولو تقسيم ڪندڙ N (ڊيٽا جو تعداد) استعمال ڪري ٿو.
2. نمونو: ڊيٽا صرف آبادي جو حصو آهي، عام طور تي وڏي آبادي جي نمائندگي ڪرڻ لاءِ استعمال ٿيندو آهي.
نموني جي معياري انحراف فارمولا تخميني تعصب کي درست ڪرڻ لاءِ هڪ تقسيم ڪندڙ (n - 1) استعمال ڪري ٿو. هن اصلاح کي بيسل جي اصلاح سڏيو ويندو آهي.
روزمره جي عمل ۾ (مثال طور تحقيق، سروي، ڪلاس تجزيو)، ڊيٽا کي اڪثر هڪ نمونو سمجهيو ويندو آهي، تنهنڪري تقسيم ڪندڙ (n - 1) آهي.
3. معياري انحراف فارمولو
الف. آبادي جي معياري انحراف جو فارمولو
فرض ڪريو ڊيٽا: \( x_1, x_2, \dots, x_N \)
آبادي جي سراسري:
\[
\mu = \frac{\sum_{i=1}^{N} x_i}{N}
\]
آبادي ۾ فرق:
\[
\سگما^2 = \فريڪ{\سم_{i=1}^{ن}(x_i – \mu)^2}{ن}
\]
آبادي جو معياري انحراف:
\[
سگما = اسڪوائرٽ {سگما ^ 2}
\]
ب. معياري انحراف فارمولا جو نمونو
نموني جو مطلب:
\[
\بار{x} = \فريڪ{\سم_{i=1}^{n} x_i}{n}
\]
نموني فرق:
\[
s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i – \bar{x})^2}{n – 1}
\]
نموني معياري انحراف:
\[
ايس = \sqrt{ايس^2}
\]
4. دستي طور تي معياري انحراف جي حساب لاءِ قدم
سمجهڻ ۾ آساني پيدا ڪرڻ لاءِ، اسان 5 شاگردن جي امتحان جي اسڪور ڊيٽا جي مثال استعمال ڪريون ٿا:
ڊيٽا: 60، 70، 70، 80، 90
فرض ڪريو ته هي ڊيٽا هڪ نمونو آهي (سکيا جي مثالن ۾ عام آهي).
قدم 1: سراسري حساب ڪريو
\[
\bar{x} = \frac{60 + 70 + 70 + 80 + 90}{5} = \frac{370}{5} = 74
\]
تنهنڪري سراسري اسڪور 74 آهي.
قدم 2: هر ڊيٽا ۽ اوسط جي وچ ۾ فرق جو حساب ڪريو
هڪ فرق ڪالم ٺاهيو \( (x_i – \bar{x}) \):
– 60 − 74 = −14
– 70 − 74 = −4
– 70 − 74 = −4
– 80 − 74 = 6
– 90 − 74 = 16
قدم 3: فرق کي چورس ڪريو
حساب ڪريو \( (x_i – \bar{x})^2 \):
– (−14)² = 196
– (−4)² = 16
– (−4)² = 16
– 6² = 36
– 16² = 256
قدم 4: فرقن جا چورس شامل ڪريو
\[
\sum (x_i – \bar{x})^2 = 196 + 16 + 16 + 36 + 256 = 520
\]
قدم 5: فرق جو حساب ڪريو (هڪ نموني لاءِ، n - 1 سان ورهايو)
جيئن ته n = 5، پوءِ n − 1 = 4:
\[
s^2 = \frac{520}{4} = 130
\]
تنهنڪري نموني جو فرق 130 آهي.
قدم 6: معياري انحراف حاصل ڪرڻ لاءِ ويرينس جو چورس روٽ
\[
s = \sqrt{130} \لڳ ڀڳ 11{,}40
\]
تنهنڪري ڊيٽا جو معياري انحراف تقريبن 11,40 آهي. ان جو مطلب آهي ته، سراسري طور تي، شاگردن جا اسڪور 74 جي اوسط کان تقريبن 11 پوائنٽس انحراف ڪن ٿا.
5. تڪڙو طريقو: متبادل فارمولو (ڳڻپ)
مٿي ڏنل دستي طريقي کان علاوه، هڪ ڪمپيوٽيشنل فارمولا آهي جيڪو اڪثر حسابن کي تيز ڪرڻ لاءِ استعمال ڪيو ويندو آهي، خاص طور تي جيڪڏهن تمام گهڻو ڊيٽا هجي:
نموني فرق:
\[
s^2 = \frac{\sum x_i^2 – \frac{(\sum x_i)^2}{n}}{n – 1}
\]
هي فارمولا هڪ هڪ ڪري فرقن کي ڳڻڻ کان پاسو ڪري ٿو، پر تڏهن به ڊيٽا جي چورس جي مجموعن جي ڳڻپ ڪرڻ وقت درستگي جي ضرورت آهي.
جڏهن ته، تصوراتي سمجھ لاءِ، قدم بہ قدم طريقو (فرق → چورس → رقم) عام طور تي آسان ۽ غلطين کان محفوظ آهي.
6. معياري انحراف جي تشريح
معياري انحراف صرف انگن تائين نه ٿو روڪي، پر ان جي تشريح ڪرڻ گهرجي:
- ننڍو معياري انحراف: ڊيٽا اوسط جي ويجهو ڪلستر ٿيل آهي، تبديلي گهٽ آهي، نتيجا وڌيڪ هڪجهڙا آهن.
- وڏو معياري انحراف: ڊيٽا سراسري کان پري پکڙيل آهي، تبديلي وڌيڪ آهي، نتيجا گهٽ هڪجهڙا آهن.
مثال طور، فرض ڪريو ٻن طبقن جو سراسري اسڪور ساڳيو آهي، 74. جيڪڏهن ڪلاس A جو معياري انحراف 5 آهي ۽ ڪلاس B جو معياري انحراف 15 آهي، ته پوءِ ڪلاس A ۾ اسڪور وڌيڪ برابر ۽ مستحڪم آهن. ڪلاس B ۾ وڌيڪ تبديلي آهي: ڪجهه تمام گهٽ آهن ۽ ڪجهه تمام وڏا آهن.
7. عام غلطيون
معياري انحراف جي حساب ۾ ڪجھ عام غلطيون:
1. نموني ۽ آبادي ۾ فرق ڪرڻ وساري ڇڏيو، تنهنڪري تقسيم ڪندڙ غلط آهي (N بمقابله n - 1).
2. سراسري جو غلط حساب ڪرڻ، جنهن جي نتيجي ۾ ايندڙ سڀئي مرحلا غلط هوندا.
3. فرق کي چورس ڪرڻ وسارڻ، يا آخر ۾ چورس روٽ وٺڻ وقت غلطي ڪرڻ.
4. انگن جي چورس کي شامل ڪرڻ يا ڳڻڻ ۾ رياضي جون غلطيون.
غلطين کي روڪڻ لاءِ حساب ڪتاب ٺاهڻ ۽ نتيجن کي ٻه ڀيرا چيڪ ڪرڻ سان ڪم ڪري سگهجي ٿو.
پينوٽ اپ
جيڪڏهن توهان قدمن تي صحيح طريقي سان عمل ڪريو ٿا ته معياري انحراف جو حساب لڳائڻ اصل ۾ ڏکيو ناهي: اوسط جو حساب ڪريو، هر ڊيٽا سيٽ جي وچ ۾ فرق ڳوليو، فرقن کي چورس ڪريو، انهن کي گڏ ڪريو، ورهايو (n يا n - 1 سان)، ۽ پوءِ چورس روٽ وٺو. معياري انحراف کي سمجهڻ سان، توهان اندازو لڳائي سگهو ٿا ته توهان جو ڊيٽا ڪيترو مستقل آهي ۽ ڪيترو فرق آهي.
جيڪڏهن توهان چاهيو ٿا، ته مان وڌيڪ ڊيٽا سان اضافي مثال پڻ ٺاهي سگهان ٿو، گروپ ٿيل ڊيٽا جون مثالون (فريڪونسي ٽيبل)، يا ايڪسل/گوگل شيٽس استعمال ڪندي معياري انحراف جو حساب ڪيئن ڪجي.
