هارمونڪ وائبريشن فارمولا ۽ مثال
هارمونڪ وائبريشن فزڪس ۾ هڪ اهم موضوع آهي، جيڪو اڪثر وقتي حرڪت، لهرن، ۽ انجنيئرنگ ايپليڪيشنن جي بحثن ۾ ظاهر ٿيندو آهي. اسان ان کي چشمن، پينڊولم (ننڍن زاوين لاءِ) جي حرڪت ۾، ۽ مادي ۾ ماليڪيولن جي وائبريشن ۾ به ڳولي سگهون ٿا. ان کي "هارمونڪ" سڏيو ويندو آهي ڇاڪاڻ ته ان جي حرڪت هڪ باقاعده نموني جي پيروي ڪري ٿي ۽ ان کي سائن يا ڪوسائن افعال سان ماڊل ڪري سگهجي ٿو. هي مضمون هارمونڪ وائبريشن جي تصور کي سمجهڻ ۾ مدد لاءِ هڪ مختصر تعريف، اهم فارمولا، ۽ مثال طور مسئلن جي حل تي بحث ڪري ٿو.
1. هارمونڪ وائبريشن کي سمجهڻ
سادي هارمونڪ وائبريشن (SHM) هڪ شيءِ جي هڪ توازن واري نقطي کان اڳتي ۽ اڳتي حرڪت آهي جنهن ۾ هڪ بحالي واري قوت آهي جنهن جي شدت بي گھرڻ جي متناسب آهي ۽ جنهن جي هدايت هميشه توازن واري نقطي ڏانهن آهي. رياضي طور تي، ان جي خاصيتن کي هن طرح لکي سگهجي ٿو:
ايف = -ڪڪس
مائنس جي نشاني ظاهر ڪري ٿي ته قوت جو رخ انحراف جي طرف جي برعڪس آهي. جيڪڏهن شيءِ کي ساڄي طرف ڇڪيو وڃي (مثبت x)، ته بحالي قوت کاٻي طرف (منفي) هوندي، ۽ ان جي برعڪس.
GHS جي مثال طور اڪثر ٻه نظام بيان ڪيا ويندا آهن:
1. اسپرنگ-ماس سسٽم (اسپرنگ جي آخر ۾ ماس).
2. سادو پينڊولم (ننڍن زاوين لاءِ، عام طور تي < 15°). 2. هارمونڪ وائبريشن ۾ اهم مقدار ڪجهه مقدار جيڪي هميشه GHS ۾ ظاهر ٿين ٿا: - انحراف (x): توازن واري نقطي کان شيءِ جو فاصلو (m). - طول و عرض (A): وڌ ۾ وڌ انحراف (m). - عرصو (T): هڪ مڪمل وائبريشن (s) لاءِ گهربل وقت. - فريڪوئنسي (f): في سيڪنڊ وائبريشن جو تعداد (Hz). - ڪوئلي جي رفتار / ڪوئلي جي فريڪوئنسي (ω): سائن/ڪوسائن مساوات (ريڊ/s) ۾ هڪ اهم پيرا ميٽر. - مرحلو (φ): حرڪت جي شروعاتي حالتن کي طئي ڪري ٿو. مدت ۽ فريڪوئنسي جي وچ ۾ بنيادي تعلق: f = 1/T ۽ ω جو تعلق T ۽ f سان: ω = 2πf = 2π/T 3. هارمونڪ وائبريشن مساوات وقت جي ڪم جي طور تي انحراف جي عام شڪل لکي سگهجي ٿي: x(t) = A sin(ωt + φ) يا x(t) = A cos(ωt + φ)
sin/cos جو انتخاب ابتدائي حالتن تي منحصر ڪري، برابر صحيح آهي (مثال طور، t = 0 تي، پوزيشن طول و عرض ۾ آهي يا توازن نقطي تي). رفتار ۽ تيز رفتار رفتار بي گھرڻ جو پهريون مشتق آهي: v(t) = dx/dt = Aω cos(ωt + φ) (جيڪڏهن x = A sin) يا شروعاتي شڪل مطابق منفي پڻ ٿي سگهي ٿو. تيز رفتار ٻيو مشتق آهي: a(t) = d²x/dt² = −Aω² sin(ωt + φ) جيئن ته x(t) = A sin(ωt + φ)، پوءِ: a(t) = −ω² x(t) هي GHS جي هڪ اهم ملڪيت آهي: تيز رفتار بي گھرڻ جي متناسب آهي ۽ هدايت ۾ مخالف آهي. وڌ ۾ وڌ رفتار ۽ وڌ ۾ وڌ رفتار - v_max = Aω - a_max = Aω² وڌ ۾ وڌ رفتار تڏهن ٿيندي آهي جڏهن اعتراض توازن نقطي (x = 0) مان گذري ٿو. وڌ ۾ وڌ تيزي تڏهن ٿيندي آهي جڏهن ايمپليٽيوڊ (x = ±A) ۾ هجي. 4. اسپرنگس ۽ پينڊولمز ۾ وائبريشن جو عرصو الف. اسپرنگ – ماس هڪ مثالي اسپرنگ لاءِ جنهن ۾ اسپرنگ مستقل k ۽ ماس m آهي: T = 2π √(m/k) ω = √(k/m) ان جو مطلب آهي ته ماس جيترو وڏو هوندو، اوترو ئي وڏو عرصو (سست). وڏو k (اسپرنگ جيترو سخت هوندو)، اوترو ئي ننڍو عرصو (تيز). ب. سادو پينڊولم (ننڍو زاويه) هڪ پينڊولم لاءِ جنهن ۾ تار جي ڊيگهه L ۽ ڪشش ثقل جي رفتار g آهي: T = 2π √(L/g) ω = √(g/L) دلچسپ ڳالهه اها آهي ته ننڍي زاويه جي لڳ ڀڳ ۾، مدت پينڊولم جي ماس تي منحصر ناهي، اهو صرف ڊيگهه ۽ ڪشش ثقل تي منحصر آهي. 5. هارمونڪ وائبريشن ۾ توانائي GHS ۾، ڪل توانائي مستقل رهي ٿي (جيڪڏهن ڪا رگڙ نه هجي): - اسپرنگ جي امڪاني توانائي: Ep = ½ kx² - حرڪي توانائي: Ek = ½ mv² - ڪل مشيني توانائي: E = Ek + Ep = ½ kA² جڏهن x = ±A، v = 0 آهي ته توانائي سڀ امڪاني آهي. جڏهن x = 0، Ep = 0 ۽ توانائي سڀ حرڪي آهي. 6. مثال سوال ۽ بحث مثال 1: بهار جي دور جو تعين ڪرڻ 0,5 ڪلوگرام جو ماس هڪ اسپرنگ تي مسلسل k = 200 N/m سان لٽڪايو ويندو آهي. وائبريشن جي مدت جو تعين ڪريو! ڏنو ويو: m = 0,5 kg، k = 200 N/m پڇيو ويو: T جواب: T = 2π √(m/k) = 2π √(0,5 / 200) = 2π √(0,0025) = 2π (0,05) = 0,1π s ≈ 0,314 s
تنهن ڪري، بهار جي وائبريشن جو عرصو لڳ ڀڳ 0,314 سيڪنڊ آهي. --- مثال 2: فريڪوئنسي ۽ ω جو تعين ڪرڻ سوال 1 مان، فريڪوئنسي (f) ۽ ω جو تعين ڪريو! جواب: f = 1/T = 1/0,314 ≈ 3,18 Hz ω = 2π/T = 2π/0,314 ≈ 20 ريڊ/s (يا سڌو سنئون ω = √(k/m) = √(200/0,5) = √400 = 20 ريڊ/s) تنهن ڪري، فريڪوئنسي لڳ ڀڳ 3,18 Hz ۽ ω = 20 ريڊ/s آهي. --- مثال 3: انحراف جي مساوات هڪ شيءِ 0,10 ميٽر ۽ ω = 5 ريڊ/s جي طول و عرض سان هم آهنگي سان وائبريٽ ٿئي ٿي. t = 0 تي، شيءِ توازن واري نقطي تي آهي ۽ مثبت رخ ۾ هلي ٿي. انحراف جي مساوات جو تعين ڪريو! ڏنو ويو: A = 0,10 m، ω = 5 rad/s شروعاتي حالتون: t = 0 → x = 0 ۽ شروعاتي v مثبت آهي. جيڪڏهن x(0) = 0، مناسب شڪل sine آهي: x(t) = A sin(ωt) جيئن ته v(t) = Aω cos(ωt)، پوءِ v(0) = Aω cos(0) = Aω مطابق مثبت آهي. تنهن ڪري: x(t) = 0,10 sin(5t) (ميٽر) --- مثال 4: وڌ ۾ وڌ رفتار ۽ وڌ ۾ وڌ تيز رفتار مثال 3 مان، v_max ۽ a_max جو تعين ڪريو. جواب: v_max = Aω = 0,10 × 5 = 0,50 m/s a_max = Aω² = 0,10 × 25 = 2,5 m/s² تنهن ڪري، v_max = 0,50 m/s ۽ a_max = 2,5 m/s². --- مثال 5: هڪ چشمي ۾ توانائي هڪ چشمو k = 100 N/m سان A = 0,20 m جي طول و عرض سان وائبريٽ ڪري ٿو. ان جي ڪل ميڪانياتي توانائي جو حساب ڪريو! جواب: E = ½ kA² = ½ (100)(0,20)² = 50 × 0,04 = 2 J وائبريشن جي ڪل ميڪانياتي توانائي 2 جولز آهي. --- مثال 6: پينڊولم جو عرصو هڪ سادو پينڊولم 1 ميٽر ڊگهو آهي. جيڪڏهن g = 10 m/s² آهي، ته ان جو عرصو طئي ڪريو. جواب: T = 2π √(L/g) = 2π √(1/10) = 2π √0,1 ≈ 2π (0,316) ≈ 1,99 s تنهن ڪري، پينڊولم جو عرصو تقريباً 2,0 s آهي. 7. نتيجو سادي هارمونڪ وائبريشن فزڪس ۾ هڪ تمام بنيادي دوراني حرڪت آهي. ان کي سمجهڻ جي ڪنجي بحالي واري قوت جي وچ ۾ تعلق ۾ آهي جيڪا بي گھرڻ جي متناسب آهي (F = −kx)، انهي سان گڏ ان جي رياضياتي ماڊل جي وچ ۾ جيڪو سائن/ڪوسائن فنڪشن جي پيروي ڪري ٿو. اسپرنگس ۽ پينڊولم لاءِ پيريڊ فارمولا، بي گھرڻ-ويلوسٽي-ايڪسيلريشن مساواتون، ۽ توانائي جي تصور کي سمجهڻ سان، توهان لاءِ وائبريشن ۽ لهرن سان لاڳاپيل مسئلن تي ڪم ڪرڻ آسان ٿيندو.
جيڪڏهن توهان چاهيو ٿا، ته مان اضافي مشق جا سوال شامل ڪري سگهان ٿو (پهرين بحث کان سواءِ) يا امتحان لاءِ تيار ڪيل فارمولن جو هڪ خلاصو نسخو ٺاهي سگهان ٿو.
